Considérons la fonction

on sait que

et il semble que cette identité soit en contradiction avec notre théorème. Il n'en est rien; il suffit en effet de remar- (juei que nous avons implicitement exclu le cas de l'exposant nul ; dans ce cas, la fonction ■l{x) perdrait ses principales propriétés, et nos conclusions ne seraient plus exactes.

Excluons donc ce cas particulier (a? = 0, y = 1); le théorème de M. Lindemann prouve alors que, dans l'équation y = e^, y et .x, c'est-à-dire lo nombre et son logarithme ne peuvent pas être algéhriques sinniltanément . A une valeur algébrique de x correspond une valeur transcendante de y et réciproquement. C'est là évidemment une propriété très remarquable.

Construisons la courbe y = e^, et supposons marqués tous les points algébriques du plan, c'est-à-dire tous les points dont les deux coordonnées sont des nombres algébriques; la couibe passe entre eux, sans en contenir aucun, sauf le point a? = 0, ?/ = 1- Le théorème reste d'ailleurs vrai, même quand x ei y prennent des valeurs imaginaires. La courbe exponentielle est donc une courbe transcendante, et cela dans un sens beaucoup plus élevé qu'on n'a coutume de le penser.

9. Une autre conséquence du corollaire de M. Lindemann est la transcendance de la courbe

1/ = arc sinx

et de toutes les autres courbes analogues.

La fonction y = arcsina: est la fonction implicite définie par l'équation

2ix = r'" — e-'!':

l.A lllA.NSCK.NDA.NCK \)[ NOMIÎltK " [):i

les cucllicicnls do coltc équation sont alyébiiques, si x est un nombre algébrique. Donc y n'est pas algébrique. Il y a bien entendu exception pour a- = 0, ^ = 0.

On peut donc énoncer sous forme géométrique la i)rnposition suivante :

Lacimrhe y = arc s 171 x ne passe par aucun pot ni du plan dont les deux coordonnées sonl des nombres alyèbriques .

ClIAriTIÎI- V L'Intégraphe et la construction géométrique de -.

1. Le théorème do M. Lindemann démontre la transcendance du noml)re tt ; ainsi se trouve démontrée Timpossil)ililé de la (juadraturo du cercle, non seulement au sens où l'entendaienl les anciens, mais d'une manière beaucoup plus générale.

Il est impossible de construire - avec la règle et le compas; il n'existe même pas de courbe d'ordre supérieur, définie par une équation algébrique, pour laquelle - soit l'ordonnée correspondant à une valeur rationnelle de l'abscisse.

Une véritable construction géom(''trique de ~ ne peut donc être efrcctuée qu'à l'aide d'une courbe transcendante. Comme d'ailleurs il s'agit d'une véritable construction, il faut posséder un appareil transcendant permettant de tracer la courbe en question d'un trait continu.

2. Cet appareil, c'est Vinirymplœ, qui a été récemment inventé et décrit par un ingénieur russe, M. Abdank-Abakanowicz, et construit par M. Coradi ;i Zurich.

Cet instrument pormet de tracer la anirhc iiit/'i/ralr

([uand on connail la courbe dilTérentielle

A cet elTet, on conduit l'intégraphe de telle manière que la pointe dirrclricr décrive la courbe dill'érentiolle : une autre poinl(\ la polnlr Inirunlr ilécrit alors la courbe iiité-

L'i.NTKCr.AI'lli: i).J

^lalc. Niiiis iciivoyiiiis au iiii'iiiuirc oi'i,i;iii:il en alIfiiiaiMl chez 'Icubiicr, 18Hi); en fraiirais chez (laiitliici-Villars pour la dcsciii>ti(»u de cet in.i;(''iiieux iiislnimeiU.

Indiquons seulement son principi,'. Klant donné un point

(.r, ;/ 1 de la couibf> dinv-i'cnlii'llc

.'/ = lU-)^ construisons le triangle auxiliaire, qui a pour sommets les points (a?, ?/), (.T, 0), (x — 1, 0). L'hypoténuse de ce triangle l'ectangle fait avec l'axe des x un angle dont la tangente est égale il y.

Cellr hi/polihuisc est donc parnllrlc à la Inni/rnli' à la courbe inlrgralc au poinl i X, Vj, correspondant au point {x, y).

I/appareil devra donc être construit de telle façon, que la pointe traçante se déplace parallèlement à la direction variable de cette hypoténuse, pendant que la pointe directrice décrit la courbe différentielle. On réalise ce mouvement en reliant la pointe traçante à une roulette à arête vive, dont le plan, toujours vertical, est constamment parallèle à cette hy[)oténuse. l'n poids presse cette roulette sur le papier, et par suite son point de contact ne peut se déplacer que dans la direction du plan de la roulette.

On utilise l'intégraphe ou intégrateur à calculer pratiquement des intégrales définies. Pour nous, il est particulièrement intéressant au point de vue de la construction géométrique de ir.

3. Prenons comme courbe différentielle le cercle X- -\- y- = r'.

La courbe intégrale est alors

Y = / \/r'^ — x^.dx =: -y- arc sin i \/r'^ — x^.

Cette courbe consiste en une suite de branches égales entre elles (fig. \~). Les points où elle rencontre l'axe OY ont pour ordonnées

DEUXIKME l'AUTIE

sur les droites X = dz /•, les points d'intersection ont pour ordonnées

Si donc on suppose /■ = 1, les ordonnées de ces points

dintersection feront connaître le nombre - ou ses multiples.

Remarquons que le tracé de notre courbe n'a rien d'approximatif; l'appareil donne un dessin net et précis, surtout si on remplace le crayon par un tire-ligne.

Voilà donc une construction géométrique qui permet la quadrature du cercle. On voit de plus qu'elle la réalise dans l'ordre d'idées où s'étaient engagés les géomètres anciens; notre courbe intégrale n'est qu'une modification des quadratrices considérées par eux.