Voici enfin une proposition encore plus générale

Lf iioinhrr e nr peut vérifier inv idmiitr do la foriin'

C'„+C',<-^-hC'.<-^+ ... =0,

dans laquelle les coef/icicnls aussi bien que li's i Xjiosauts sonl des nombres ahjébriques quelconqurs.

Formons on elTet tous les polynômes qu'on peut (h'duire du précédent en remplaçant chacune dos racines C.' par l'une des racines connexes

n-2 ri rsi-

LA TltA.NSCKMlANCi: IJI' M).\IllHi: -

lo {irodilit (les polynoinos ainsi fnninl'S csl

; cj + cy + cifr +

■i = 1, 2, ..., .N, V = 1, 2, ..., Ni

Les coenicienls de ce polynôme sont des fondions syuK'triques des (luantitt's

Cl, Cl ..., (Vs

et par suite ce sont des nombres rationnels. Nous retombons donc sur le corollaire démontré précédemment; cette expression ne peut être nulle ; il en est donc de même de chacun de ses facteurs.

6. De tous les théorèmes qui procèdent, il résulte que non seulement c n'est pas un nombre algébrique, mais que ce n'est même pas un nombre iiiti'rsc<nid(utl, si on appelle ainsi, avec Leibniz, les nombres de la l'orme x''-, À étant une irrationnelle algébriiiue. C'est donc un nombre transcendant d'ordre supérieur.

La réciproque suivante est maintenant évidente : N/ /(' nombre e n'rifii' inir' idciililé de la forme

Co + C,e'' -+- C.e"" + . . = U,

il est impossible que tous les coefficients et tous les exposants soient des nombres alijébriques.

7. Transcendance du nombre -. — Nous avons déjà rappelé que le nombre e vérifie Téqualion remarquable

Les coetlicients de cette équation sont algébriques ; donc l'exposant /- ne l'est pas (0) ; donc le nombre - est transcendant.

02 DEUXIÈME l'ARTIE