INTRODUCTION

Le présent opuscule doit son existence au désir de rattacher les études mathémaliques de l'université à celles des écoles secondaires, et d'établir entre elles un contact plus intime que de coutume. Les leçons qu'on va lire ne sont pourtant pas destinées aux commençants, car les matières (jui en font l'objet sont traitées à un point de vue plus élevé que celui où on se place dans l'enseignement élémentaire. Par contre, elles ne supposent que peu de connaissances préliminaires. Il ne sera fait usage que des éléments de l'analyse, par exemple du développement en série de la fonction exponentielle.

Nous allons traiter des constructions géométriques ; notre objet ne sera pas la recherche de la solution qui convient à chaque cas particulier, mais plutôt le problème de la possibilité ou de l'impossibilité d'une solution géométrique. Trois problèmes, qui ont déjà fait l'objet des recherches des géomètres anciens, nous intéresseront d'une façon particulière. Ce sont :

1° Le problème de la duplication du cube, appelé aussi le problème de Délos;

2° La trisection ou division en trois parties égales d'un angle quelconque ;

3° La quadrature du cercle, c'est-à-dire la construction de TT.

Les géomètres anciens ont vainement essayé de résoudre

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ces problèmes avec la règle 'et le compas, et c'est précisément parce que leur solution semblait exiger l'intervention de moyens d'un ordre plus élevé, que ces questions sont devenues célèbres. iNOus montrerons en ed'et qu'il est impossible d'en trouver une solution avec la rètrle et le compas.

L'impossibilité du troisième problème n'a été démontrée qu'à une époque relativement récente. Celle du premier et du second résulte implicitement de la théorie générale de Galois, telle qu'on la trouve développée aujourd'hui dans les traités d'algèbre supérieure. Mais il n'en existe pas de démonstration explicite, sous forme élémentaire, si je fais abstraction des livres d'enseignement de Petersen, qui me semblent d'ailleurs remarquables sous bien d'autres points de vue.

Insistons d'abord sur la différence entre constructions pratiques et constructions théoriques. S'agit-il de construire un cercle divisé pour un instrument de mesure, cette opération ne se fait en réalité que par tâtonnements. La division exacte du cercle en parties égales (par la règle et le compas) n'était autrefois possible que pour les nombres 2", 3, 5 et leurs divers multiples. Gauss y a ajouté d'autres cas en montrant la possibilité de la division en p parties, lorsque p est un nombre premier de la forme

et l'impossibilitt' d»' la divisiDii dans tous les autres cas.

La pratique ne peut tirer aucun profit de ces résultats ; les considérations de (iauss ont une signilieation purement théorique; il en est de nit-me des développements (pii font l'objet de ces leçons.

Le premiiM" problème ([U(^ nous nous proposons est le suivant :

Quels jtrohiriiii's peiil-oii ou ne jn'ul-ou piis noislruire iléi))iirtriqui'inenl '.'

I,\ rUnlil CrioN 11

l*récisons d'abord lo sons du mol " rniisliiiiri- •>, et h cet eUV't indi(iuons les inslruinonls doiiL nous innis servirons le cas échéant. Ce sont :

1° La règle et le compas ;

±' Le compas seul ;

3" La règle seule ;

-4" D'autres appareils que nous joindrons à la règle et au compas.

Il est singulier que la géométrie élémentaire ne suffise pas pour répondre à la question posée. Le secours de l'algèbre et de l'analyse devient nécessaire, et il faut par suite nous demander comment s'exprime dans leur langue l'emploi de la règle et du compas pour les constructions. Ce nouveau tour qu'il faut donner à nos idées tient à ce que la géométrie élémentaire ne possède pas de méthode générale, pas d'algorithme, comme les deux sciences que nous venons de nommer.

Dans l'analyse on trouve d'abord les opérations rationnelles, addition, soustraction, multiplication et division. Deux longueurs étant données, on sait immédiatement • xéculersur elles, au moyen de quatrièmesproportionnelles, ces différentes opérations, à condition de joindre aux longueurs données une longueur unité, dans le cas de la multiplication et de la division.

Nous trouvons ensuite les opérations irrationnelles ; elles se divisent en algébriques et transcendantes. Les opérations algébriques les plus simples sont l'extraction des racines carrées, des racines d'indices supérieurs à 2, la résolution des équations algébriques non résolubles par radicaux, comme celles du 5" degré et celles de degré supérieur. Comme on sait construire \/ah, on saura donc construire, avec la règle et le compas, les résultats de toutes les opérations irrationnelles où il n'entre que des racines carrées.

Donc toute formule rationnelle, ou ne renfermant que des

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radicaux carrés, peut <Hre construite avec la règle et le compas.

D'autre part, toute construction géométrique isolée, qui revient à Tintersection de deux droites, d'une droite et d'un cercle, de deux cercles équivaut à une opération rationnelle ou à l'extraction d'une racine carrée ( * i.

La construction (par la règle et le compas) des irrationnelles d'ordre supérieur est donc impossible, à moins qu'on ne puisse les ramener à l'extraction d'une suite de racines carrées. Il va de soi que dans toutes les constructions le nombre des opérations doit être limité.

De ce qui précède résulte donc ce théorème fondamental :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une expression analytique puisse être construite avec la règle et le compas, est qu'elle se déduise des grandeurs connues par des opérations rationnelles ou par des racines carrées en nombre fini.

Par conséquent, pour démontrer qu'une grandeur ne peut être construite avec la règle et le compas, il sullira de faire voir que l'équation qui la fournit n'est pas résoluble par un nombre fini de racines carrées.

A plus l'orte raison en sera-t-il ainsi lorsque l'équation du problème n'est pas algébrique, l'n nombre qui ne vérifie aucune équation algébrique, s'appelle un nombre iranscrndant. Ce cas se présente pour les nombres e et -, ainsi que nous le montrerons.

(') Car au point de vue analytique, l'intersection de deux droit'-s équivaut à la résolution du système

ax -+- b\i -(- c = 0.

a'x H- b'y -+- c' = 0 ; oelie d'iMic droite et dun cercle, à celle du système

et de même celle de deux cercles; ces systèmes fournissont manifestement des valeurs rationnelles ou des radicaux carrés. J. (1.