Forme normale de x

Si l'expression ar est une somme de termes de dénominateurs différents, on les réduira au même dénominateur ; x se présente alors sous la forme du quotient de doux fonctions entières.

Soit y/Q un des termes d'ordre ,u ; il ne peut ligurer dans 0* que sous forme explicite, puisque ;jl est l'ordre maximum. D'autre part les puissances de Q s'expriment en fonction de /Q et de Q qui est un terme d'ordre inférieur à ;jL. La valeur de x peut donc se ramener à la forme

a, b, c, d ne contiennent plus que (« — 1) termes d'ordre jj. et les termes d'ordre inférieur.

Multipliant les deux termes par c — rfy'Q", le dénomi-

ÉQUAÏIii.VS HKSOLl Itl.KS l'Ait KAIUCALX t:AIîHKS lo

natour ni' ctnilit'ul \\\ns ^'Q ; il viriit cic — hdQ -h {bc — ad) \/Q

:iv/Q;

a et p ne ronfennent plus que n — Ij termes d'ordre \x.

Si on avait considéré un autre terme d'ordre jjl, par

exemple y/Q,, on aurait de même pu ramoner la valeur

de X à la forme

X = a, -i-3,iv/Qi, etc.

On peut donc transformer x de manière que cette expression ne renferme an terme donné d'ordre i± qu'à son numérateur et qu'elle ne le contienne que Hnéairem,ent .

Remarquons d'ailleurs que, dans cette transformation, peuvent figurer les produits des termes d'ordre .a. En effet, a et p dépendent encore de n — 1 termes d'ordre a. On pourra donc faire en sorle que

et par suite

X = ( a„ -\- a,, v^Ql) + (Su + ?i-2 V^i) V^Q •

6. Nous procéderons d'une façon analogue pour les différents termes d'ordre \x — 1, qui se présentent explicitement dans Q, Q,, etc.; chacune de ces quantités devient alors une fonction linéaire et entière par rapport au terme d'ordre i^^ — 1 considéré. Nous passons ensuite aux termes d'ordre inférieur, et nous finissons ainsi par mettre x et ses termes des divers ordres sous forme de fonctions rationnelles, linéaires et entières, par rapport aux radicaux qui y figurent explicitement. Nous dirons alors que x est mis sous la forme normale.

7. Soit m le nombre total des radicaux carrés indépendants (4"^ qui figurent dans cette forme normale. En attribuant le double signe à ces radicaux et les combinant de toutes les manières possibles, nous obtiendrons un système

16 PREMIÈRE PAKTIK

(le 2'" valeurs,

.Ti, Xi, . . . , x,,„,

qui seront désignées par le nom de valeurs conjufjiiées. ?sous allons cliorcher une é(iuulion admettant ces valeurs conjuguées comme racines.

8. Ces valeurs ne sont pas nécessairement toutes dislinctos; car, si on a par exemple

X = y a + y/ZT -H y a — \/h , cette expression ne change pas quand on change le signe de