Formons le polynôme

Y{x) = {x—Xi){x — X2),..{x — x,,„).

L'équation F{x) = 0 admet évidemment pour racines les difl'érentes valeurs conjuguées; elle est du degré 2'", mais peut admettre des racines multiples (8 .

Lcf! coefficients du polynôme Fix), ordonné par rapport à .r, sont rationnels.

Changeons en efi'et le signe d'un des radicaux carrés, ce qui a pour ellet de permuter deux racines, x et x-^- par exemple, puisque les racines de F{x) sont précisément toutes les valeurs conjuguées. Comme ces racines n'entrent dans F{x) que sous la forme du produit

(x— a?x)(a;— xv), on ne fait que changer Tordre des facteurs de F(.rj; donc ce polynôme ne change pas.

F[x) reste donc invariable quand on change le signe de l'une quelconque des racines carrées; il ne contient donc que leurs carrés; il en résulte bien que ses coeflicients sont rationnels.

10. Lorsque inné quelconque des valeurs conjuguées vérifie une équation à coefficients rationnels f[x) = 0. '/ '" est de même de toutes les aidres.

i:0lATIONS HÉSOLIJIILF.S l'Ait lUDICAUX CAHUKS 17

f{x) n'esl pas nécessairement égal à F(^J, et peut :idmetlre d'autres racines en dehors des xi.

Soit Xx = a 4- f^y/fT une des grandeurs conjuguées, y/Q un lorme d'ordre \i\ a et p dépendent encore des autres termes d'ordre [jl et des termes d'ordre iiilV-iiour. Il existe alors une grandeur conjuguée

Exprimons que ar, satisfait ù l'équation f[x) = 0. Mettons fixi) par rapport à y/Q" sous la forme normale

f{x,) = A-j-Bv/Q"; cette expression ne peut être nulle que sous les conditions

simultanées

s'il en était autrement, on aurait

on pourrait donc exprimer /Q rationnellement en fonction des termes d'ordre ij. et des termes d'ordre inférieur contenus dans A et B, ce qui est contraire à l'hypothèse de l'indépendance de toutes les racines carrées (4).

Mais on a évidemment

/•^.r'j = A-Bv/Q"; si donc f(xi] est nul, il en est de même de f{x[). D'où cette première proposition :

Si la grandeur x^ satisfait à Véquation f[x) = 0, il en est de même de toutes les valeurs conjuguées qui se déduisent de Xi par le changement de signe de l'un des termes d'ordre [a,

La démonstration se fait d'une manière analogue pour les autres valeurs conjuguées. Supposons par exemple (ce qui ne restreint pas la généralité du raisonnement) que l'expression X ne dépende que de deux termes d'ordre [jl, v/Q 6t y/Q\ f\Xi) pourra être ramenée à la forme normale suivante :

(a) f{x,) = jj + q^ H- rs/W -ï- s^Q . ^ = 0.

IS l'ill MIKHI", l'AUTlK

Si X dépf'iidaU de plus de driix trimes d'ordre ;i., il faudrait adjoindre à rcxpressiun précédente un plus grand nombre de termes de structure analogue.

L'équation (a) n'est possible que si l'on a séparément

sans quoi y/Q et /Q^ seraient liés par une relation rationnelle, ce qui est contraire à riiypothèse (4).

Soient maintenant v/ÎTet /R^ les termes d'ordre ,a — 1 dont dépend a:,; ils figurent dans ;/, 7, /', s\ on pourra donc mettre ces quantités sous la Ibrrne normale par rapport à v/R et ^r7 (en supposant qu'il n'y en ait que deux;. On obtient ainsi des équations de la forme

et d'autres équations analogues pour 7, /■, s.

L'hypothèse, déjà plusieurs fois utilisée, de l'indépendance des radicaux, nous donne de suite les conditions

/.-, =0, /, = 0, ?n, = 0, »! = 0. etc.

11 en résulte que les équations (c) et par suite aussi fi^x) = 0, sont vérifiées, lorsque, au lieu de Xi, on emploie les valeurs conjuguées qui s'en déduisent par les changements de signe de v/RTet ^W- l>onc :

L'écjuation f[x) = 0 est aussi vrri/icr j}ar toutes 1rs ca~ leurs conjuguées qui se déduisent de Xi en changeant le signe de l'un des termes d'ordre jji — 1.

Le même procédé de démonstration s'applique évidemment aux termes d'ordre [jl — :2, ,a — 3, etc., ce qui prouve entièrement la proposition énoncée.