PREMIÈRE LEÇON

La loi de la gravitation universelle s'énonce : Deux points matériels s'attirent en raison directe de leur masse et en raison inverse du carré de leur distance.

Soient deux points de masse w et fx, situés à la distance r Tun de l'autre, l'action mutuelle de ces deux points sera exprimée par la formule

f étant un coefficient qui devient numérique quand on a choisi les unités fondamentale^ de longueur et de masse, et qui représente l'action de l'unité de masse sur l'unité de masse à l'unité de distance.

Attraction d'un corps sur un point. — Éludions d'abord l'attraction d'un ou de plusieurs corps où la matière est supposée répandue d'une manière continue, sur un point P (fig, 1).

Rapportons le système à trois axes de coordonnées rectangulaires supposés fixes ; soient a^y les coordonnées du point ,P, {X sa masse.

Prenons dans la masse attirante un élément de volume infiniment petit dv, désignons par œyz les coordonnées d*un point quelconque de cet élément, par m la masse qui y est comprise et par p la dcnsilé delà matière considérée au point qui a pour coordonnées œyz.

Fig. 1.

On a

m dv

en écrivant que la densité en un point est la limite du rapport de la masse d'un élément au volume de cet élément lorsque ce volume tend vers o ; ou

m = ^dv ;

p est connu : c'est une fonction supposée continue des coor-

données ocyz d'un point variable de la masse attirante soit :

si la matière est homogène, p est constant.

L'élément dv va attirer le point P ; l'intensité de cette attraction sera exprimée par la formule :

dans laquelle :

Cherchons les projections de cette attraction sur les trois axes de coordonnées.

Les cosinus du segment Pm avec les trois axes sont :

nous aurons donc pour projection de l'attraction d'un élément m Texpression :

fm^L X — (X

ou :

fm^ [x — (x) ^

remplaçons m par sa valeur pcfv, il vient :

/"[xp (g? — g) fl?p

Les attractions élémentaires se composent en une seule F qui est l'attraction de la masse continue sur le point P. Soient

X, Y, Z les composantes de cette attraction résullante suivant les trois axe? ; nous aurons, en écrivant que X est la somme des projections des attractions élémentaires,

/[xp (a? — d) dv ^

dv est l'élément de volume ; la sommation doit être étendue à tout le volume, d'où l'intégrale triple.

De même ;

(y — P) dv — : — ' — •>

z = / / / /yp (^ - y) dv

Mettons /}a en facteur; nous aurons :

Ces expressions ont un sens bien déterminé tant que P est à Veœtérieur de la masse attirante, car tous les éléments de rinlégrale ont une valeur finie, puisque r est différent de o pour chaque point.

Cas où le point P est à V intérieur de la masse attirante. — pans ce cas, il y a un des éléments de Tintégrale qui devient