LEÇONS SUR LATTRACT[ON
infini, car r = o pour Félément qui coïncide avec le point P ; nous ne pouvons plus, sans explication, définir X, Y, Z par les formules (I). Nous allons montrer que, dans ce cas, les intégrales du second membre conservent une valeur finie, et par conséquent qu'elles peuvent encore représenter les composantes de l'attraction de la masse attirante sur un point pris h rintérieur de cette masse.
Fig. 2.
Pouj le prouver, prenons des coordonnées polaires dans Tespace avec le point P pour origine.
Par le point P (Jïg. 2) menons trois axes Pa?', Py', P^' respectivement parallèles aux- axes oa?, oy, oz et définissons la position d'un élément M par le segment PM ou r et par les
deux angles 6 = MPP et <p = a?'PM', M' étant la projection du point M sur le plan des a/y\ Les formules du changement
d'axes sont :
mais, en remarquant que PM' = r sin 6, nous avons ;
œ' =zr 8in0.cos(p,
y' = r sinô.sincp, (1)
^ = r cos6,
donc
CD — tt = r sinô.cos^, y — p = r sin 6. sin (p, z — Y = '^ ^'^s 6 ;
X — tt, y — p, -«^ — Y sont les coordonnées du point M par rapport aux nouveaux axes.
Dans ce système de coordonnées, un élément dv de volume a pour expression :
dv = r^dr sin 6.ci?66?(p,
car cet élément de volume peut être assimilé à un parallélépipède rectangle ayant pour arêtes dr, rd^ et r sin 6c?(p ; il est en effet compris d'abord entre deux sphères décrites de l'origine comme centre, avec r et r -|- ^^ pour rayon ; ensuite entre deux plans passant par l'axe des z^ et faisant entre eux un angle égal à d^ ; enfin entre deux cônes ayant leur sommet à l'origine et dont les génératrices font avec l'axe des z' les angles 6 et 6 -|- ^^»
Nous pouvons encore démontrer cette formule en faisant le changement de variables indiqué par les formules (I)
LEÇONS SUR l'attraction il
dans Texpression / / / dxdy'dz' qui exprime le volume dx> dans le système ^œ'y'z\ nous aurons :
JJJdœ'dydz' = f f f j"^) dr.df^.d^ = r^ sin ^,drd^.d^.
Gela posé, remplaçons a? — a, y — p, ^ — y et do par ces valeurs dans les expressions de X, Y, Z, nous aurons après avoir divisé le numérateu»* et le dénominateur par r^ :
X = fif. I j 1 pdr, sin^ 6 cos cp dM^, (II) y Y = fi^fff?^^' sin^ 6 sin (p d^d^,
Z = /]x / / / çidr. sin 6 cos ô c?Ôc?<p,
Nous voyons sur ces formules que les intégrales ont leurs éléments finis et comme elles sont étendues à toutes les valeurs de r, 6 et cp qui sont finies, elles ont elles-mêmes des valeurs finies.
Les valeurs de X, Y, Z étant finies pour tous les points de l'espace, ainsi que le montrent les formules (ï) et (II), il en résulte que Tatlraclion de la masse considérée est bien déterminée pour tous les points de Tespace.
Nous verrons plus loin que X, Y, Z varient d'une manière continue avec la position du point P.
De la fonction potentielle. — Laplace a remarqué qu'on pouvait faire dépendre d'une seule intégrale, appelée fonction potentielle^ les trois intégrales triples qui représentent X, Y, Z.
Considérons en effet la fonction
dv
Ê2?, (iil)
c*est-à-dire la somme des quotients obtenus en divisant la masse de chaque volume attirant par sa distance au point attiré.
r a pour expression :
• r = sl[co- a)2 + (y - p)^ + (^ ~ ^)\
Les intégrales de la formule (III) sont étendues à toutes les valeurs de a?, y, z^ qui sont les variables d'intégration ; lorsque nous l'aurons effectuée, u sera une fonction de a, p, y.
Distinguons maintenant deux cas, suivant que le point P est à l'extérieur ou à l'intérieur de la masse attirante.
Premier cas. — Le point P est extérieur à la masse attirante. Nous venons de voir que u était fonction de a, p, yî 1^^ limites des intégrales sont indépendantes de a^y? l'élément différentiel ne devient pas infini puisque le point attiré est en dehors de la masse attirante, r ne peut pas être nul, nous
pouvons donc différencier sous le signe / par rapport à a ;
remarquons que p ne dépend pas de a, p, y ; ^ seul en dépend ; nous aurons donc :
par suite :
de môme :
2iu
Pour légitimer Temploi de la règle de différenciation sous le signe / , il faut encore que nous prouvions que les
valeurs de r-' tt' t" oi^t ^^ sens bien déterminé.
doL dp ûy
Or cela est évident, car nous avons vu que X, Y, Z étaient finis dans tout Tespace, donc r-> rrj :r- qui sont égales à
<)a dfJ dy
--?---> T- le sont aussi.
fl*- fv- fv-
De ce qui précède il résulte que, lorsque Ton a calculé la fonction potentielle w, il suffit pour avoir X, Y, Z de prendre
les dérivées partielles r-î rr-î r- et de les multiplier chacune
dot dp dy
par /{x.
La fonction potentielle u est finie dans tout V espace, — Cela est évident lorsque le point P est extérieur parce que r est différent de o.
Si P est à Vintérieur de la masse attirante, r s'annule, un des éléments de l'intégrale qui représente la fonction potentielle devient infini ; pour prouver que l'intégrale conserve encore dans ce cas une valeur finie, nous ferons, comme précédemment, un changement de coordonnées et en prenant des coordonnées polaires.
Nous aurons alors :
r r C^dv rrrpr^dr sln ô dbdQ
" vjj " "JJJ '
