MM, MC

Dans CCS conditions, les use il la lions primitives sont pro- ^ndémeot altérées; les premières ont des amplitudes et des Gfférences de phase variables, mais l'amortissement ne tarde its à éteindre ces perturbations et il s'établit finalement un igimc d'oscillations ri'-gulières, de même période T' que telle des impulsions el d'amplitude constante c.

537. Actions de courte durée. —L'action extérieure a toujours une durée finie 'J. mais il est facile de reconnaître qu'elle tijuivaut dans tous les cas à une percussion instantanée.

Comme on ne considère que des oscillations faiblement ■niorties. si la durée 0 est petite par rapport à la période T, on peut supposer la vibration primitive sinusoïdale ('). Il résulte des équations (13) et {12)' que, pour une percussion tùz, les valeurs relatives à l'origine du temps sont, en posant

Sn^ — n'siiiî= — isino, f,,^;n'cosï = « -i-rcosî,

M MKTIIODES Dt: SlESliRK.

et la vitesse maximum est

■ = »'M+.rî) = »-|(« + -)"-4» = .n."5J-

On aurait, île mCme, pour une série d'actions instantanées, respectivement définies par des quantités z et :,

(,:t)' =i=p=.i»8)'+p^co.s)==(i:.-)>-4ï

L<> résultat est identique à celui que produirait une perçus sion instantanée définie par =», à l'époque /„ = — ■

Un effet quelconque, représentant une série de percussions qui se succèdent suivant une certaine loi, équivaut ainsi k une: percussion unique provoquée à une époque intermédiaire.

Si l'action est continue el capable de produire sur un système sans vitesse initiale, ou de très longue période, l'accélération M' = cj'3, l'accroissement de vitesse pendant le temps (h serait

n'dt = ta z (Util ^z tu zdi.

Les sommes que renferment les équations (i3j' doivent être remplacées par des intégrales étendues à la durée totale ^7=ii — t, des observations, c'est-à-dire h riDter\'alle des angles ^i — m/, et 3i=iu(i, ce qui donne

j=,..i„i.,=y=si„5rf=,

f ;,„C08:„, = / zcosîrfî.

Supposons que la quantité z soit < l'impulsion uniforme, et posons

t.,ii=.(i,.

instante, c'est-à-dire

On a alors

^z I 8in5(

^nSinOjK^r/ sinoaomj, — ^ ^ — sin

sin

Om=z I cosodo=Zi — ^^ ^ — cos »

Jl 52 — C| 2

^ ^ sm sin —

On voit par ces résultats que Faction continue équivaut à une percussion lojsm» indépendante des conditions du mouvelisent primitif, produite à Tépoque moyenne.

Considérons encore une impulsion sinusoïdale, prise seuleoient pendant la demi-période où elle conserve le même sens ; telle serait Faction du courant induit dans un cadre tournant à vitesse constante dans un champ uniforme, si on utilise ce courant pendant une demi-période entre deux passages par zéro.

Pour la période T' = 2Ô du phénomène, w'6=:i: et Taccroissement de vitesse peut être représenté à chaque instant par

(i5) fv sin («>'(/ — ti)dt = ii)zsin— (? — S|)rf8.

Pendant le temps t^ — 1^= 6, la variation 82 — S| de Tangle 8 eslw ($j — 5,)=z(i); il en résulte

in8^ = ri — / sin — (8 — 8|)sin8éf8,

Znt sm s» =

rmCOS

z„t^=iz^— I sin— (0 — 0,) cosôéto.

40 MÉTHODES DE MESt'IiE.

En remplaçant les produits de sinus et cosinus par des sommes ou des différences, on trouve aisément

. ^ Cl) •* C2 — C, . C| -I-C2

Zm smc;,! = z, (I) —r- ^ cos sm y

^ Cl) ''* C2 — 0| 5| -+■ 5*»

x;otCOS0;„=:::,(i)— ^- cos cos =•

L*ciTet est encore le même que si Ton avait provoqué, à Tépoque moyenne, une percussion déflnie par

(1)0 ,jj . . ., cos —

(1) ' C2 ô| • tl

(l5) i;^=:;;,u)-7- -cos = Z,U)

538. Tracé de Tindicatrice. — Pour contrôler ces résultats, M. Cornu a imaginé une expérience qui permet d'obtenir Tenregisirement photographique de la courbe indicatrice.

L'appareil oscillant est un pendule battant à peu près la ^conde. Un barreau aimanté perpendiculaire à la tige est disposé de manière que Tun des pôles se meut dans une bobine à circuit fermé, qui permet de modifier Tamortissement; l'autre pôle se meut dans une bobine qui reçoit à chaque période un courant de courte durée, fermé par une horloge astronomique. Ce courant exerce sur le pôle correspondant une attraction destinée à produire le synchronisme-

Des aiguilles aimantées, attachées au même pendule, oscillent dans des solénoïdes et produisent un courant induit dont rinlensité est, à part les effets de self-induction, proportionnelle à la vitesse. Ce courant traverse ensuite un cadre oscillant dans un champ magnétique (galvanomètre Deprez-d'Arsonval) réglé de manière que, dans le régime stable, ses écarts soient sensiblement proportionnels au courant.

Un a ainsi deux appareils, pendule et galvanomètre, dont l'un reproduit les écarts du pendule et l'autre sa vitesse. Si on les munit de miroirs oscillant dans des plans rectangulaires, et qu'on observe l'image d'une source de lumière après double réflexion, on obtiendra les figures utilisées en acoustique.

La figure est en général elliptique, mais il est facile de la

MESVUES MtCANigLES. fl

imener à la forme circulaire en modifiant, la résistance du ftjrcuil induit, llsuflit maînlenaot de cacher la source par un obturateur, s'efface à chaque passage du courant de synchronisation, l'ensemble des points observés, dans l'inLcrvalle de transition i précède rélablîssemenl du synchronisme, a pour coorfcnni'es l'écart du pendule et la vitesse modifiée; c'est la nirbe indicatrice. Une plaque sensible placée au foyer de la hnelLe conserve la trace de tous ces points dont la succession cjI bien la spirale fournie par le calcul.

539. Observation des oscillations. —Toutes les circonstances J mi mouvement oscillatoire sont déterminées par la valeur et irpo()Ue des élongalions successives. Comme la vitesse est Diille au moment des élongations, les intervalles correspondants ne pourraient être évalués avec exactitude; il est préférabk- de choisir les positions où le système a sa plus grande vitesse, c'est-à-dire celles qui sont voisines de IVquilibre,

Pour étudier ce mouvement, on ob.servera, soit le passage 'iua index devant une échelle divisée, soit l'image d'un trait MT un micromètre placé au foyer d'une lunette, soit l'image d'ijoe échelle divisée sur le réticule, que celte échelle ait été tracée sur le système mobile ou provienne de la rédexion par un miroir, etc. On note les passages du système par une [Hisition déterminée et on évalue les élongations.

^uelleque soit d'ailleurs la position de repère. la dilTèrence des époques de deux passages successifs dans le même sens < ;>i'ésente la période ou le double de la durée de l'oscillation -uii|ile, telle qu'on la considère habituellement.

A moins que l'amortissement ne soit rapide, cette période '•obtiendra très exactement par l'intervalle d'un grand nombre '!<■ passages. Quand les oscillations sont de très longue durée, comme celles du pendule, la méthode des coïncidences de Borda permet de résoudre le problème avec toute la précision liésirable. D'ailleurs, la manière d'observer dépend beaucou[i du caractère que présente le phénomène.

Si le mouvement est observable pendant quelque temps. BD quart d'heure par exemple, ou pourra déterminer la durée ^^oscillations de la manière suivante.

ipposons, comme dans le cas d'une aiguille aimantée, que

MKTIIQIIILS r

la durée des oscillations soit cie '.i à ."i secondes et que les divi sions d'une échelle passent sur le iV-ticule d'une lunette, choisit comme repère une division voisine de celle qui cop respond à l'équilibre. Avec un compteur à pointage, on nol< l'époque /„ à laquelle cette division passe sur le fil en marchao dans un certain sens, soit de gauche h droite, c'est le passag d'ordre zéro; puis on compte les oscillations suivantes et q note l'époque /, du ■lo"' passage, lequel s'effectue dans le seu primitif, c'est-à-dire de la lo" période. En même temps, on i observé les divisions extrêmes qui correspondent à l'oscill» tien initiale et celles de la ao", d'où l'on déduira les élongations correspondantes "v et a,. Il n'est plus nécessaire dfl( compter les oscillations suivantes, car on sait que le io' pa» sage aura lieu au voisinage de l'époque t, -i-{f, — U)- On m prépare à l'observation un peu avant et on note exactemenl l'époque r,du 4»' passage, puis l'éiongation correspondante a» On déterminera, de mCme, les époques /,, /|, /i, et les étong) lions «j, a», rt; des fjo", 80" et 100" passages.

On en déduit les voleurs /, — t^, t-i — t,, de la durée.d

ao oscillations pendant les séries successives, et les élongt

tions moyennes — . correspondantes.

Si les durées successives ne diffèrent pas d'une maniJa appréciable, pour de grandes variations dans les écarts, 0 en conclut que le couple directeur est proportionnel h la d< viation ; la durée de l'oscillation sera donnée alors par le c« tiémedc la dilTérence totale.

Dans la plupart des cas, le couple directeur est propi tionnel au sinus de la déviation; la durée d'oscillation vsri alors avec l'amplitude, suivant la loi du mouvement pendt laire (529). La durée t' d'une oscillation simple se déduir alors de la durée - relative aux oscillations infiniment petite par l'équation (3)', que l'on peut écrire

Pour simplifier les opérations, on a calculé des tables qn donnent les valeurs de la parenthèse 1 -1- ^ pour dilTéreaU angles d'écart. Voici, par exemple, les valeurs de cette table*

MEMRES MÉCANIQI^:ES. K

k 3 ea a degn^s. jusqu'il tio degrés, les quantités înlermérdùircs pouvant se déterininer par iiilcrjtolatJon (') :

Tahk

pour la rédaclion tles oscillations penrlulaires anifles infiniment petits.

OOOI

oooi)

,oi>4i)

i,oi3o

i,oi;4

l.oiliS

i,o;i4i) i,ù:i8i 1.0418 i,o45(> .,0497 ,, 03:19 I ,o:"»84 I ,oti3o 1 .0678

<iamine l'amplitude diminue d'une manière continue, on

iiise chaque durée partielle t\—ta, h — /,, par le nombre

... qui convient à l'écart correspondant réduit

< iiiigle et on obtient des valeurs approchées ',', l'.,, de la

liréede -iu oscillations infiniment petites. Si elles nediiïércnt

' i> d'une manière systématique, c'est que le phénomène est L'uiier et la correction exacte. On prendra enfln comme durée

i 'scillation la moyenne de toutes ces valeurs.

U'une manière générale, si /,', f, t'^, sont les durées

•luiles de m séries de n oscillations, c'est-à-dire si l'on a bsené un nombre total mn = N d'oscillations, la durée t relavcaux amplitudes inliniment petites est

Les erreurs commises sur l'époque des passages intermé- <iiaire» ji'alTeclent pas d'une manière appréciable la valeur de •et la précision dépend surtout de l'exactitude avec laquelle otiapointé le passage initial et le dernier. Si ces observations ■i; UuiDiiiieAL' et CHHVAi-iBn, 103,11/6 'le Li Uonite. ubiervatiom iiiaynéliiiaet.

METHORKS DE MESl R

sont faites à o'.i près, on aura, pour un quart d'heure, i approximation relative d'environ 0,0002.

Quand il n'y a pas intt-rfil à vérifier l'exactitude de 1 rection des écarts séparément pour les différentes sénés, od peut faire la réduction d'une manière plus rapide. Soient /*!, /'a.-.., /'m l»îs nombres des oscillations infiniment petit^.s de durées -, qui seraient effectuées pendant les durées (| fi — '1, 'n — 'a,... des n oscillations qui forment les séries s cessives ; on a

'< — l,=lh-=--n-{'+hU •■■■

En nppclanl N — mn le nombre lolal des oscillations I t' — -^!^-^ — - leur durée moyenne, on en déduit

N-' = TÏ,, = „T(», + i:,,)=.NT

Lorsque les déviations ne dépassent pas it5°, la valeur df

se réduit sensiblement au premier terme -^- Si la suite

amplitudes est assimilable à une progression géométritj la correction se fera par une autre méthode.

En posant a= e j = e ", les durées propres de ti oscilt lions successives sont

on a donc

MLSlIltS MKtlVMyiKS. Cl

l'our déterminer le t^rme de correction, ou prendra le rai»- [Kirl de deux amplitudes n' et «" séparées par m oscillations. 111 la moyenne des rapports analogues empruntés aux meil-

■ures observalious,

ce (|ui donne 3'"= ^, = ( — ] ■

Lorsque l'amortissement est faible, on a très sensiblement I— i — Xt; si le nombre des oscillations n'est pas trop gran<l, df" façon (|ue le produit «Xt reste de l'ordre des centièmes. un peut écrire

Nous prendrons comme exemple l'observation d'une boussole d'intensité horizontale faite h Pondichéry le 7 juin iSit^ parDgrundenu et Chevalier, Les observateurs avaient pointé ijw oscillations par séries de 5o; nous donnerons seulement Ifs Icrtiires relatives aux différentes centaines.

:j(>jrvi

aoo

joo

joo

la ,5

(ioo

Ml ,3

3tia .u

3oo

-ioo

atia ,a7

Moy.