DES AIMANTS
804. Couples directeurs. — On a supposé jusqu'à présent, dans plusieurs applications, que le magnétisme d'un aimant reste invariable, mais on doit souvent tenir compte de Taimantation temporaire due à diflTérentes circonstances.
Considérons un aimant mobile autour d'un axe dans un champ uniforme. Soit V son volume, A la composante perpendiculaire à l'axe de l'aimantation moyenne, M=AV le moment magnétique rigide correspondant et H la composante, efficace du champ.
Si l'aimant est dévié de l'angle a, et que l'intensité du champ ait une valeur modérée, on peut admettre que l'aimantation induite se compose de deux parties, l'une A, longitudinale et l'autre A2 transversale, respectivement proportionnelles aux composantes Hcosa et Hsin a ; on écrira donc
A|=/lHcosa, A2=/2Hsina.
Les coefficients /i et ^ d'aimantation moyenne varient avec
la forme de Taimanl et la nature de Tacier; il est évident d'ailleurs que Taiinantation longitudinale est relativement plus facile et qu'on a toujours f^ >/j.
On voit aussi que Taimantation induite équivaut à deux autres, Tune /IjH parallèle au champ et l'autre (/î—^) H cosa longitudinale.
En posant f^if^—f^y l'aimantation apparente est donc A -4- /H ces a et le couple produit par l'action du champ
V(A-4-/Hcosa)Hsina= MH( i -^f-r cosa J sina.
Lorsque les déviations restent très faibles, comme dans le cas des oscillations, on peut remplacer cosa par l'unité. Si le barreau est porté par un fil de torsion négligeable et que K soil le moment d'inertie du système mobile, le nombre n d'oscillations simples par seconde, toutes réductions faites pour l'amplitude et l'amortissement, donne la relation (293)
(i) /i27:2K=rMH/^i+/'5'\=MH(n-x).
A part le terme x de correction, cette expérience fournil une méthode très simple pour comparer deux champs différents, comme le faisaient Biot et Savart (315) ; elle permel aussi de déterminer en valeur absolue le couple directeur MH relatif à l'aimantation rigide.
Nous verrons plus loin comment il est possible d'évaluer le coefficient /*. Pour un barreau d'acier à section carrée dont la longueur est lo fois le côté, on a environ /i =0,98 et ^=0,20; par suite, f=fi—f\ = o,'jH, Si la valeur moyenne A de l'aimantation rigide est égale à 200, valeur qu'on ne dépasse guère dans les aimants ordinaires, et que les oscillations soient produites par la composante horizontale du champ terrestre, qui est voisine de 0,195 à Paris, il en résulte
Dans ce cas, la correction est inférieure à -j^, mais elle
CONSTANTES d' AIMANTATION. 657
eviendrait très sensible avec des champs plus intenses et une Qoindre aimantation rigide.
Le rapport des moments magnétiques M et M' de deux bareaux s'obtiendrait en observant leurs oscillations dans un nème champ ; on a ainsi la relation approchée
Les moments d'inertie K et K' des deux systèmes pourront être déterminés par les dimensions et le poids des barreaux 3u par une expérience de comparaison (546).
On éliminera cetle mesure accessoire en montant les deux aimants sur le môme équipage, avec leurs axes magnétiques parallèles, d'abord de même sens, puis de sens contraires. Les noments magnétiques du système mobile étant alors M + M' *t M — M', les nombres d'oscillations n et n' correspondants donnent
Si les axes magnétiques des aimants font un angle 6, il suffira encore d'observer la déviation a de l'un d'eux par rapport au champ pour la position d'équilibre ; on a, en effet,
UM • u\M' ' /ft \ ^* sin(e — g) HM sma = HM sm(0 — a), \T' ^ ^ '
M sm a
Dans le cas où les barreaux sont orientés à angle droit, il reste simplement (*)
M'= Mtanga.
Il est à remarquer toutefois que des aimants trop rapprochés réagissent l'un sur l'autre, ce qui contribue à augmenter l'aimantation temporaire. La réaction est plus faible, sans ôlre négligeable, quand les axes sont à angle droit.
Une autre méthode consiste à porter l'aimant par une balance de torsion, unifilaire ou bifilaire. L'appareil mobile étant
(») E. BouTY, Ann. de l'École yorm, Snp. [2], t. IV, p. 9; 1875.
Électr, el Magn, — ii. i^
muni (l'une aiguille de repère ou d*un miroir réflecteur, on le charge d'abord d'un poids égal à celui du barreau et on règle la suspension de manière que la substitution de l'une des charges à l'autre ne modifie pas l'équilibre. L'axe magnétique du barreau est alors parallèle au méridien, dans la position naturelle ou inverse, suivant que les deux directions sont de même sens ou de sens contraires.
En désignant par C le coefficient de torsion du système, le couple directeur, dans les deux cas, est C-l-MH etC — MH; cette dernière quantité doit être positive pour que l'équilibre soit stable. Les nombres n et n d'oscillations correspondants donnent alors
(4) 7. = 7^ ' MH = c ^-; 7- = Cp.
Le couple directeur Mil est ainsi déterminé par le coefficient C et le nombre p que fournit l'expérience.
Dans le cas actuel, on doit admettre que l'aimantation induite est plus faible pour la position inverse, de sorte que les moments magnétiques apparents peuvent être représentés par M(i-|-a:) et M(i — x'), avec x' <Cix.
On déduit alors des expériences d'oscillations, en remarquant que les termes de correction sont très petits,
MH
IH / x-\-x x — x^
Quand on fait osciller un aimant porté par un fil de soie ou un paquet de fils, les efl^ets de torsion interviennent en partie. Pour en tenir compte, on remplace l'aimant par un barreau de cuivre de même poids et de même moment d'inertie. En désignant par n et no les nombres d'oscillations relatives à l'aimant et au barreau de cuivre, on a
^ . C^^MH(i-^.r) C
"' ni
CONSTANTES d' AIMANTATION. 659
Le nombre /lo ayant été déterminé par expérience, Téquaon (i) devra être remplacée par
V MH(n-j')=:(/|2-/i2)7:2K.
Supposons enfin que Taimant ait été réglé d*abord dans sa osition naturelle et qu'on donne au système une torsion 8. .'aimant est dévié d'un angle a et prend une position oblique u champ (*). Abstraction faite de Taimantation induite, la Dndition d'équilibre devient, suivant que la suspension est nifilaire ou bifilaire,
( MHsina==C(0 — a), ( MHsina=:Csin(6 — a).
On dit que Taimant est dans une position Iransverse quand i déviation a est de 90°. Dans ce cas particulier, l'équilibre ne épend plus que du magnétisme rigide, puisque l'aimantation iduite longitudinale est nulle et que l'aimantation transverale ne donne pas de couple.
C'est encore une méthode pour déterminer le couple direceur MH ou le rapport des moments magnétiques.
805. Champ magnétique d'un aimant. — Considérons un imant rectiligne régulier, dont le milieu se trouve à l'origine les coordonnées, et prenons Taxe des x parallèle à son axe nagnétique. Désignons par X et Y les composantes du champ produit à la distance R, dans une direction qui fait l'angle a ivec l'axe magnétique, par Fn et ¥c les composantes parallèle t normale au rayon vecteur R.
Lorsque l'aimant est très petit, on a (108)
^ M ces a ,, Msina
X = FnCosa — F^sinain |j^(3cos2a — 1),
Y =FnCOS0L-^-FeCOS0L= ^ 3cosasina.
(1) Gauss. Hesultaie aus den Beob. des May. Ver.\ 1837. — Œuvres^ p. 137.
Si Taimaat a une longueur notable et qu*on puisse lassiiD 1er à deux masses magnétiques du m'situées à la distance 2 L le moment magnétique est M = 2mL. Les distances du poini considéré aux masses -^-m et — m étant r etr', le potentiel
correspondant a pour expression Y=ml , J et Ion a
En posant L =X R et s = =r: — r; cos a i= :- cos a, il esl
facile d'en déduire
2 M cos a r ^ hÈ.~i{l}L.\
On remarquera, en particulier, que dans l'équateur de l'aimant, oix x= 90*", on a i; = o, Y= F« =0 et
— A2 = rf= 5 = 5-
Le champ est alors simplement en raison inverse du cub^ de la distance aux pôles.
Suivant la direction de Taxe magnétique, la valeur de : est
2X (Vale à — ^^—TTy • On a d'ailleurs directement
m m /M r I I "I aM
(R-L)»~(R+L)»-R^L(i->>)»~(TTX)*J=Ri[r47'
Les quantit(^s qui ont été désignées par X, et Xa sont les fnleurs principales du champ de l'aimant.
806. Couple réciproque des deux aimants. — Supposons [u'un second aimant de moment M', situé dans le même plan
que le premier, ait son centre au point 0' (lig. 245) et que son [e magnétique fasse l'angle a' avec la droite 00' = R. Si ce ^cond aimant est très court, le couple produit parle champ du premier est M'(Fusin a — Ficosa).
En appelant î l'angle 90" — «' — a que fait le barreau M' avec 'éqoateur du premier, le terme principal de ce couple est
MM
MM[ j
sina — siiiacosa), L^aJcoBÎ — 3siDacosasiD£|.
Si l'on veut tenir compte des longueurs magnétiques aL et L ' des deux aimants supposés réduits h leurs pôles, le couple ïéciproquc C pourra s'exprimer par un développement en ;rie de la forme
(fi)
dans lequel les numérateurs /'a, h,, .,., sont respectivement des fonctions homogènes du •.•.', .(•'... degré en L et L', ne renfermant que des puissances paires de ces deux longueurs. En fffet, si on change le signe de L ou de I,'. ce qui revient à Wtoumer l'un des aimants, le couple C doit conserver la iQéme valeur au signe près.
Si Taimant a une longueur notable etquV* 1er à deux masses magnétiques dz//isituée> le moment magnétique estM = !i/wL. Le?= considéré aux masses -^-m et —m étani
correspondant a pour expression V = /?/
a L R En posant L=XR et z = p^ .
facile d'en déduire
. valeurs cor- \{, les cou/Je* .ipales, son'
, sMcosa r /.- F„= 1\ I--
- ,«n':,4-»isin'=''J'
Msina
R»(H Xï)
On remarquera, en p manty où a = 90^, on a
ss isccies du second ou :«* V. et a", on mellra
Le champ est 0 delà distance au* Suivant la dir
égale à
ir
^©i — Çjl,
nr*Itt wut être rimportance
d'abord que le se-
nar rapport à la dis-
« 9?!îdteeaMe ; ces termes
"i'^ l.i lonirncur aL du pre- ;. il «Ti résulte
'^^ '/i .*"/,*:= 0,000 jiîa;
:':•■ |n'i[)('iuliculaires entre eux, on 'îuh's i flans les termes decorrec-
-- on ;i alors
- I, 7, — .Ta» ( 1 — 5,1-2 -h ~^-.r» j;
" trrnies du quatrième ordre soient nuls, il faut ' ' dos longueurs magnétiques soit la racine poi"lilu que l'unité, de Tune des équations
« — Kr^-h -— j:* = o, x= r — iK.\iyj,
t'jiisant .r = 0,3 on a /^a ::= o et le terme 71 est très petit. Ja même valeur X— J, il vient alors
^, =ro,oi(j5!3i, y« = — o,oooo()j; p2=^o, (j'2 = — o,ooo()8j.
in, si les aimants sont presque parallèles, on remplacera lus des angles s par Tunité, ce qui donne
662 MESURE» MACXénQUES.
Lee numérateurs h peuvent être calculés, soit par les <> des composantes Fn et Fr du premier aimant sur l(^> pôles du second, soit directement par les quatre acii pôles deux à deux.
Lamont (') a poussé le calcul jusqu'aux termes du degré pour les cas où le milieu du second aimant > des positions principales par rapport au premier. sur la ligne des pôles ou dans le plan de l'équat' étant égal à zéro ou à 90°. En appelant 3, et 3, les respondantcs de 3 et posant L=XR, L' = ).'I' Cl et C< relatifs à ces deux positions princi|
C,= ^^ cosS. fi + aX'- 3V»( I - 5 ain» S, -i5).»V>(i-5sin»3,)-l-^V«(i-i4
MM' -r 3,, 3,,,,, Cj= ^cosî, I— -'^ +-'■ (4 —
,5 — >.*a''(6— a3sin*it)+ i3).'*(i
Désignant par pt et pt ou qt et r/:
du quatrième ordre en fonction des ces expressions sous la forme
oi-aM
