LONGUEURS, MASSES ET ANGLES

518. Longueurs. — Nous n^avons pas h insister ici sur la mesure des longueurs rectilignes ; ce sont les opérations les plus fréquentes de la physique et elles ne présentent aucune difficulté particulière quand on ne cherche pas à atteindre les dernières limites de la précision. Nous nous bornerons à rappeler quelques-unes des corrections qu'elles entraînent.

La règle employée pour la mesure des longueurs est habituellement divisée en millimètres. Quelle que soit d*ailleurs la valeur des divisions, on évalue les fractions de division, soit par un vernier, soit par une lunette à micromètre ; il est clair aussi que Texactitude donnée par un mode quelconque de subdivision ne peut pas dépasser la précision avec laquelle la règle a été graduée.

Électr. et Magn, — ii. i

La règle doit donc ôtre étudiée au poiut de vue de l'égalilv des divisions el l'on fera, au besoin, une table de leurs rapports à la valeur moyenne a.

D'autre part, il faul connaître la correction ï, positive ou négative, de la r^glp à zéro, c'esl-à-dirc la différence de la valeur nominale L à la longueur réelle L, L — Z,-f-i. ou la température normale t,„ généralement peu éloignée des températures ordinaires, pour laquelle la régie devient exacic. On a alors, en appelant X le coefficient de dilatation linéaire,

La longueur réelle & zéro d'une division moyenne de valeur nominale a est — -^— el sa longueur à la température / peut s'écrire, avec une approximation suffisante,

■ La longueur / d'un objet mesuré ainsi par n divisions, ou une lecture m = na de la régie, est donc

Si cet objet se trouve lui-même ù la température (' et que X' soit son coeHicient de dilatation, sa longueur à zéro est

Te! est le cas, par exemple, des observations barométriques. La hauteur réelle de la colonne de mercure étant donnée par l'équation (i), si ot est le coefficient de dilatation cubique du mercure, la hauteur /«de la colonne à zéro qui ferait équilibre à ta même pression est

Pour le verre et les métaux usuels, les valeurs du cocflicicnt

de dilatation varient de 8.10-» à 20. lo"**; une variation de température de 10" donnerait donc au maximum une correction de 2 dix-millièmes, qui sera le plus souvent négligeable. La dilatation du mercure est voisine de i8.io~^.

519. Masses. — La balance permet de constater Tégalité de deux poids apparents. Si P est le poids réel du corps pesé, ct les poids marqués qui lui font équilibre, D, A et 3 les poids spécifiques du corps, des poids marqués et de Tair, on a

•■"[-Ki-é)]-

Le rapport des valeurs V et ri représente le rapport des masses du corps et des étalons.

Pour donner une idée du terme de correction, on a réuni dans le tableau suivant les valeurs relatives à différents corps, quand on suppose Taira la température de zéro et à la pression normale de 76 centimètres :

Poids en laiton.

Poi.Js en platine.

« 94,io-«

Sig »

— iîî33 »

Platine 21 ,3o

Mercure 1^^,59

Cuivre 8,85

Laiton 8,40

Aluminium. . . 2,^3

Eau 1 ,00

Avec des poids en laiton, le terme correctif dans les pesées de métaux reste beaucoup au-dessous du dix-millième, sauf pour le platine d'un côté et l'aluminium de l'autre. Il n'y a pas d'ailleurs à tenir compte des changements de densité résultant des variations de la température, car ils n'amènent pas de modifications de l'ordre des millièmes dans les termes correctifs eux-mêmes.

Ces corrections aux pesées ont une importance relative

-4 MÉTHODES DE MESUHE.

beaucoup plus grande quand le corps que l'on a en vue fait partie il'un système beaucoup plus lourd et que le poids doit en être obtenu par difTérencc, comme dans les analyses chimiques, par exemple.

520- Mesures angulaires. — L'évaluation d'un angle, qui est en réalité un nombre abstrait, se ramène à la mesure d'une longueur, ou plus exactement à la comparaison de deux longueurs. Comme ce problème se pr(!!'sente souvent et dans les conditions les plus variées, il est utile d'en examiner rapidement les traits généraux.

Dans la plupart des cas, on mesure un angle par le déplacernent d'un équipage mobile sur un cercle divisé. L'équipage porte : i ' une ligne de visée, définie par des alidades ou . par une lunette à réticule que l'on amène alternativement dans la direction des deux côtés de l'angle : -2" un index ou un vernier dont on observe le déplacement par rapport à la division du cercle.

La précision des mesures dépend de l'exactitude avec laquelle on pointe la ligne de visée et, d'autre part, de la graduation du cercle. Dans un instrument bien compris, l'approximation de visée doit être au moins équivalente à celle que donne la graduation. Si, par exemple, le cercle avec les verniers permet d'apprécier 1 o secondes, il est nécessaire que les lunettes qui servent à la visée comportent elles-méme une erreur inférieure à 10 secondes.

(^)uand on observe avec une lunette un point lumineux, sans dimension apparente appréciable, sur un fond obscur, comme une étoile dans le ciel, l'image produite au foyer de la lunette n'est pas un point: elle est formée d'une tache centrale circulaire, entourée d'un anneau obscur, puis d'une série d'anneaux concentriques irisés.

Pour que l'on puisse distinguer deux étoiles très voisines, il faut que les images centrales qui correspondent à chacune d'elles soient partiellement séparées. D'après les lois de diffraction, l'angle apparent de la tache centrale, vue du centre optique de l'objectif (ou du miroir dans le cas du télescope), est en raison inverse du diamètre de l'objectif. On ne peut pas pi-éciser à priori le degré d'empiétement des taches centrales, c'est-à-dire laugle minimum de deux étoiles en deçà

duquel l'œil ne pourra plus affirmer l'existence, en tant qu*objets distincts, de deux astres voisins, mais il est certain que cet angle limite est en raison inverse du diamètre de l'objectif; c'est ïangle de pénétration de l'objectif. Le pouvoir optique est l'inverse de l'angle de pénétration, il est proportionnel au diamètre de l'objectif.

L'étude des instruments d'optique montre qu'un objectif parfait de 1 2<^ de diamètre permet de séparer deux étoiles ou de distinguer deux traits parallèles dont la distance angulaire est supérieure à i''. On comprend encore qu'il soit possible, pour la mesure des angles, de pointer le fil d'un réticule sur l'image d'un objet avec une erreur moindre que l'angle de pénétration de la lunette, surtout quand on peut multiplier les pointés. C'est ce qui a lieu en particulier dans les observations de passage au méridien et dans les triangulations géodésiques : l'erreur du pointé est alors au moins dix fois plus faible que l'angle de pénétration de la lunette.

Toutefois, on n'atteint pas cette approximation quand il s'agit d'images mobiles ou d'observations que Ton ne peut répéter à volonté ; on évitera tout mécompte dans la pratique, en admettant que l'erreur de pointé est de même ordre que Ïangle de pénétration de l'objectif.

D'autre part, un cercle divisé de 80 centimètres de diamètre, quand il est bien construit, donne directement les 2" par la lecture des verniers et permet d'apprécier la partie complémentaire avec une erreur moindre que 1''; un cercle de ce diamètre devra donc être associé à une lunette d'au moins 12 centimètres d'ouverture. D'une manière générale, on peut dire que le diamètre du cercle doit être environ ; fois celui de l'objectif.

L'angle de i', qui vaut 0,48. io~\ correspond sur une circonférence de 8o<^ de diamètre à 4o*^.o,48.io-5 = 2*^.10"* ou 2 microns. Telle est la limite au-dessous de laquelle doivent rester les erreurs du tracé, à moins qu'on ne fasse une étude spéciale des divisions du cercle.

i)uand il s'agit d'appareils mobiles et légers, comme une aiguille aimantée reposant par une chape sur un pivot vertical, une aiguille d'inclinaison mobile autour d'un axe cylindrique qui roule sur un plan, un fléau de balance tournant

sur Tarète d'un couteau, ou un équipage quelconque suspendu par un ou plusieurs fils, il n'est pas possible de munir ces organes de verniers qui se mouvraient le long d'une division circulaire, parce qu'on doit éviter tout frottement et que les verniers ne sont vraiment utiles que lorsqu'ils peuvent être placés au contact des échelles. Il n'est pas pratique, non plus, de monter une lunette sur l'équipage mobile, ce qui en augmenterait le poids inutilement.

Le moyen le plus simple est d'employer un index, en forme d'aiguille très aiguë, qui se déplace au-dessus d'un cercle divisé. On doit alors viser l'aiguille dans un plan normal au cercle, pour éviter toute erreur dite de parallaxe.

Une disposition avantageuse à ce point de vue consiste h faire mouvoir l'aiguille devant une division tracée sur une lame de verre argentée sur la seconde face. L'observation se fait en visant dans une direction telle, que l'aiguille se superpose à son image.

Ce mode de pointé est loin de donner la même approximation que l'emploi des verniers. Avec un cercle de 16 centimètres de diamètre, la minute d'angle correspond à o'""*,o24 et il est difficile d'apprécier cette quantité par estime ; c'est à peu près le cas des boussoles d'inclinaison de Gambey.

Cette méthode d'observation a été singulièrement améliorée par Brunner pour les boussoles d'inclinaison. Le cercle divisé vertical est mobile autour d'un axe coïncidant avec celui de l'aiguille et porte un petit miroir concave dont le centre de courbure décrit la même circonférence que la pointe de l'aiguille. Quand la pointe se trouve au voisinage du centre de courbure du miroir, il se produit une image renversée; on observe à la loupe l'aiguille et son image, et on les amène par la vis de rappel dans le prolongement l'une de l'autre. Si le diamètre du miroir est de 12°»", son angle de pénétration est 10''; pour un rayon de courbure de 4 centimètres, la distance correspondante est de 2 microns ; l'approximation est sensiblement la même qu'avec les verniers.

521. Méthode du miroir. — PoggendorfFC) a eu l'idée ingénieuse d'attacher à l'appareil mobile un miroir plan dans

(ï) PoooBNnoRKK, Pogg, Ann., t. VIÏ, p. 121; 1826.

lequel on observe les déplacements de l'image d'un objet extérieur. Cette méthode s'est rapidement généralisée à la suite des beaux travaux de Gauss et de Weber ; il est nécessaire de l'examiner avec plus de détails.

Supposons que la partie mobile tourne autour d'un axe vertical et porte un miroir plan passant par l'axe.

Soit M le miroir (fig. 127), MN la direction de la normale en son milieu, lorsque le système mobile est dans la position d'équilibre, ou celle que l'on prend comme position initiale, etCC'DD'le plan vertical passant par cette normale et l'axe de rotation. Une échelle divisée horizontale EE' est placée à une certaine distance du miroir, au-dessous de l'horizontale MN et perpendiculaire à sa direction. Au-dessus de l'échelle

Fig. 127.

^st une lunette L, mobile autour d'un axe horizontal, de maïiièreque son axe optique décrive le plan CC'DD'. On dirige la lunette vers le miroir et on la règle de façon qu'elle donne une image nette de l'échelle vue par réflexion.

Les conditions d'ajustement seront remplies pour la lunette si» par un simple jeu de l'oculaire et une rotation autour de 'axe horizontal, on peut faire coïncider successivement avec le réticule le fil de suspension du miroir et l'image donnée' parce miroir d'un fil à plomb DD' tendu devant le milieu de l'objectif; l'échelle est réglée, si ses deux extrémités E et E/ sont à la môme distance du miroir, et si, pendant les oscillations, l'image de ces deux extrémités se fait à la même hauteur dans le plan du réticule.

La position du miroir est définie par la division de l'échelle

qui fait son image sur le ri'ticulc de la luiioUe. Si l'ajustement est parfait, le zéro de l'appareil correspond à la division de l'échelle qui, dans la lunette, se trouve cachée par le lU à plomb DD'.

On peut numéroter les divisions de l'échelle des deux côtés, l\ partir du milieu ; mais, pour éviter les erreurs qu'entraînent souvent les lectures de signes contraires el les changements de sens, il est préférable de placer le zéro de la graduation à l'une des extrémités de la règle.

Les chiffres tracés sur l'échelle sont habituellement renversés et symétriques de leur forme normale ; dans la lunette,ils paraissent alors redressés et corrects. '

522. Calcul de la déviation. — On peut remarquer d'abbrd que tous les points d'une droite horizontale de l'échelle n'ap-

paraissent pas à la même hauteur. Kn effet, le miroir étant supposé vertical et dans l'axe de rotation, soit M le point où sa surface est coupée par l'axe optique de la lunette, ç l'inclinaison de cet axe optique sur l'horizon et if la distance MN au plan vertical de l'échelle- Lorsque cette droite est normale au miroir, la distance verticale a du point N au point visé de l'échelle est a^rflang?.

Si le miroir tourne de l'angle 0 (fîg. 128), l'angle <l de la nouvelle position CN' de la normale avec l'axe optique est cos iJ/^^cosipcosO. Le point visé en X fait avec cette normale

le même anele Oi: la distance horizontale CX est d'= r

° cosa6

et la distance n' du point visé au plan horizontal passant par

!e point N a pour valeur a' = d' tjiiiftç.

«thrilKS MÉCANlQL'IiS. U

l> Toutvrois, lorsque l'un des fils du riMiculf est vertical, fainsi que les divisions de lu règle, celte cause d'erieui- u'in- Blcrvient pas dans les observations.

I Désignant par.r et p les distances à 1 origine des divisions Htuées en \ pt 0, on a

tiingaf»: