OX 'OC

Si la surface du miroir M se trouve à une distance p = C M 1)9), il est facile de voir que la division X vue par la

lunelli' pour une déviation 0 est la mCme que si le miroir lit tourné de l'angle 'J autour du point C et qu'on a

tiomme les drviations sont toujours assez faibles et l>cart p I miroir très petit par rapport à la distance de l'échelle, on

eut remplacer cosô au dénominateur par l'unité. EnSn, lorsque les déviations sont assez petites pour que

I tangente puisse être remplacée par l'arc, il reste

fjuand il s'agit d'observer des déviations extrêmement Siies, on peut placer un miroir fixe M' dans le plan de l'é-

chelle et viser Timage qui provient de deux ou de 2/1 réflexions intermédiaires ('). Le rayon qui suivrait Taxe optique, du réticule à l'objectif, revient au miroir M' sous rincidence 6 et retourne au miroir M sous Tincidence 26; une nouvelle opération

donnerait 4^5 etc. On aurait ainsi en général 2"+* 6=-^ — ->

Si Ton veut éviter le calcul des lignes trigonométriques

dans Téquation (3), on peut poser tang 26 = -z — - = 2/72, et le

développement en série de tang 6 donne

(5) tango r=:w — m^-l- 2/w^ =/w(i — /w^-|-2/w* — ).

Pour une déviation de i5**, Terreur commise en ne prenant que les trois premiers termes du développement reste inférieure au dix-millième.

Si le miroir est une glace étamée sur sa seconde face ou, plus généralement, si une lame de verre est interposée entre la lunette et la surface réfléchissante de manière à être traversée par les rayons dans une direction voisine de la normale, une correction est nécessaire sur la valeur de la distance rf— p. En appelant e l'épaisseur et n l'indice de réfraction de la lame, les rayons qui la traversent se comportent comme s'ils avaient traversé une couche d'air dont l'épaisseur sérail

f> fin — ^ I

seulement -; on devra donc diminuer de e on e la

distance de l'échelle à la surface réfléchissante.

523. Graduation des échelles. — Quand il ne s'agit que de mesures comparatives, la déviation 6 étant donnée par une des équations (4) ou (5), il sufflt d'évaluer approximativemenl la distance de l'échelle au miroir en fonction des divisions de l'échelle. L'erreur relative commise sur cette mesure n'af fecterait que des termes de correction.

Si l'on veut connaître la valeur absolue des angles, on peut faire une table de graduation par un cercle divisé. Dans ce cas, le miroir étant lié par un moyen quelconque à un équipage mobile sur un cercle divisé horizontal ayant même

(«) P1LT8CHIKOFF, Journ. de Phys. [2], t. VIIÏ, p. 331 ; 1889,

axe, on fait tourner le système d*un angle mesuré par les verniers du cercle et on observe en môme temps dans la lunette le déplacement de Téchelle.

Pour utiliser directement les formules, il faut mesurer, avec la même unité, Téchelle et sa distance au miroir.

La mesure de la distance d*une échelle à un miroir mobile présente quelques difficultés quand on veut, comme il est parfois nécessaire, que Terreur ne dépasse pas un dix-millième, ce qui correspond à une approximation de o*""*, i pour une distance de i mètre. On est souvent amené pour cette raison à augmenter, dans des proportions incommodes, la distance du miroir à Téchelle.

On peut atténuer ces difficultés et en même temps se mettre à Tabri des erreurs dues aux petits déplacements de Taxe pendant les expériences, en employant (*) deux miroirs diamétralement opposés et deux échelles parallèles. Si on appelle p et d^ p' et d\ les distances à Taxe de chacun des miroirs et de l'échelle correspondante, et si deux observateurs notent de part et d'autres les déviations x et :v' produites par une même rotation, on aura

tang2Ô = - — '- = -j; '- =z )— jJ. — >/ LJ .

^ rf— p d' —p' (c^-f-r/) — (P4-P )

La somme d-hd' est la distance des deux échelles qui sont fixes; p-4-p' est la distance des deux miroirs qui sont liés Tun à l'autre. Cette dernière distance peut se réduire à l'épaisseur d'une glace argentée sur les deux faces.

524. DigcoBsion de la méthode. — L'exactitude que Ton peut obtenir, dans la méthode de réflexion, dépend uniquement de la lunette d'observation et des dimensions du miroir, et Ton croit souvent à tort qu'on améliore l'observation en augmentant outre mesure la distance de l'échelle.

Lavantage d'une grande distance, avec un miroir plan et une échelle rectiligne, consiste surtout en ce que la lunette peut voir sans changement de point les extrémités de l'échelle et le milieu ; d'autre part, si la lunette a été construite pour

'.'i W. Wbber et ZôLLTiER, Berichte der K. S. GeselL, Leipzi^^, 1880.

12 »li;THODES DL ME8UKIÎ.

viser à l'inUni, il suffira d'un peLil déplacement de l'oculaire pour permettre la vision de l'échelle. Ce sont là des poinls' secondaires; la question priacipale est l'angle minimum de rotation que la lunette permettra d'apprécier.

Supposons que le miroir soit h une distance d de l'échella et à une distance D de l'objectif de la lunette, et désignons^ par ^ l'angle limite que peut distinguer la lunette. L'image de l'échelle étant à la dislance D-t-rf de l'objectif, cet angle, limite correspond à une longueur e de l'échelle telle que; £^^(D + if); la rotation a correspondante du miroir est

,tn

Dans les conditions habituelles, où d~D, il en résulte 31 = ^; la sensibilité est alors exactement la mfime que si Itf lunette d'observation était montée directement sur l'équipage^ mobile et munie de verniers sur un cercle de dimensionfl convenables. Le bénéfice apparent que produit la réflexiooj en doublant l'angle de rotation, est compensé par la distancé double à laquelle se trouve reportée l'image de l'échelle. Ll sensibilité augmente quand on place l'échelle plus loin qui

la lunette ; elle serait même doublée si le rapport j était'

très petit, mais il faudrait alors des échelles de grandes dimensions pour lesquelles il serait difficile d'obtenir un bon éclairage.

Ce raisonnement suppose toutefois que l'on utilise en entier le pouvoir optique de la lunette, c'est-à-dire que le faisceau de rayons qui provient d'un point de l'échelle couvre la totalité de l'objectif, ou au moins le diamètre horizontal perpendiculaire à la direction des traits. En appelant A le diamètre de l'objectif, a la dimension horizontale du miroir, on doit avoir

La largeur minimum ilu miroir est donc la moitié du

'liamèlro de robjeclif pour la disposition ordinaire, et égale iï ce diamètre quand Téchellc est très éloignée.

On doit ajouter encore que la construction des surfaces \ilanes présente les plus grandes difficultés ; tous les défauts du miroir nuisent à la pureté des images et contribuent à Jiminuer la précision des observations.

Quand on se propose seulement d'observer les divisions dune échelle, il suffit que le miroir ait les dimensions définies par la condition précédente, dans le sens perpendiculaire aux traits. En outre, on améliore singulièrement la netteté des images en couvrant Tobjectif d'un diaphragme percé dune ouverture rectangulaire étroite dont la longueur, égale au diamètre de l'objectif, est perpendiculaire aux traits et dont la largeur est rendue aussi petite que le permet Téclairagede l'échelle. Les images des chiffres sont moins bonnes, mais les traits apparaissent beaucoup plus purs.

Si l'éloignemcnt de la lunette n'améliore pas la sensibilité, il modifie le nombre des divisions de l'échelle que Ton pourra voir en même temps. On peut définir la limite pratique du champ par la condition que les rayons émanés d'un point couvrent au moins la moitié de l'objectif. D'après cela, en appelant / la longueur de la portion de l'échelle dont on voit l'image, l'ouverture X du champ est

Avec la disposition habituelle, r/=rD, il en résulte /=:2a; l^ longueur visible de l'échelle est alors égale au double de la largeur du miroir, c'est-à-dire égale au diamètre de robjeclif, si le miroir a sa largeur minimum.

Nous avons admis implicitement que la valeur angulaire du champ X ainsi défini est plus faible que le champ optique que comporte la lunette, ce qui est ordinairement le cas ; si k miroir était très large, la grandeur du champ ne dépendrait que de la lunette.

La méthode du miroir ne permet pas de mesurer de grandes déviations; il n'est pas commode d'évaluer, de part et d'autre de la position d'équilibre, une rotation supérieure

14 MKTIIOIIKS 01. MKSniE.

ù 5°, ou un au^ic loLal plus grand que lo". Comme l'image 4 un déplaceinenl doulilc, l'angle apparent de l'i''chelle vue d miroir doit ôlredau moins 'io";la tangente de io° étant 0,176a il faut alors que la longueur totale de l'échelle soit supA rieure à ojiiiit] de sa dislancs au miroir, c'eat-è-dire envire 40 cenliraètres pour un mètre de distance.

La valeur moyenne des rotations étant ainsi de X, si l'a veut en apprécier le dix-millit-me. la précision du pointé doi êti"e d'environ 1": pour que l'angle de pénétration reste atl dessous de cette limite, il faut un objectif de iti centimètre de diamètre et un miroir de 8 centimètres de largeur, ^uai au pointé, il doit être fait au vingt-millième près de la dis tance rf-f-D, c'est-à-dire à u™'", 1 pour d=I>= 10 mètres.

Avec des éclielles plus longues il serait difficile, à moîni d'augmenter beaucoup la distance, d'observer en même templ le milieu et les extrémités sans modifier la mise au point i la lunette. On peut courber l'écbelle suivant un arc de cerdj

autour de l'axe de suspension; l'expression

- i-eprésenl

alors le double de la déviation elle-même.

L'échelle est ordinairement divisée en millimètres. Lei échelles sur papier ne peuvent être considérées comme suffi santés dans les mesures de précision ; les échelles sur i ou sur métal sont préférables, mais les échelles roétalliquef sont difficiles à éclairer.

On peut Irat-er les divisions sur verre et les éclairer pa derrière au moyen de miroirs réflecteurs. Si le verre efl transparent, les traits apparaissent en noir sur Fond brillaot si le verre est argenté et la division tracée sur la couchl d'argent, les traits paraissent brillants sur fond noir.

L'emploi des lames de verre présente le grand avanlafjp qu'on peut superposer deux échelles en appliquant l'une su l'autre les faces divisées et vérifier ainsi l'exactitude de I graduation par différentes méthodes, sur lesquelles il n'e pas nécessaire d'insister.

Dans certaines circonstances, par exemple pour les ^phé nomènes à longue période qui demandent une installatitri permanente, comme les variations du magnétisme terrestre il est utile d'avoir dans le champ d'observation un repéra

indépendant de la lunette et de Téchelle. Pour cela, on place au-dessous du miroir mobile un miroir fixe tout semblable. Si les deux miroirs étaient absolument parallèles, les deux images de Téchelle, Tune fixe et l'autre mobile, paraîtraient superposées, mais il suffit d'incliner un peu le miroir fixe pour les séparer.

L'angle des plans verticaux passant par les normales aux deux miroirs est donné par la difi'érence des numéros des divisions qui coïncident avec le fil vertical du réticule ; cette différence reste invariable lorsque la lunette et Téchelle éprouvent des déplacements quelconques. L'instrument porte ainsi lui-même son repère, et l'immobilité relative de Téchelle et de la lunette, par rapport aux miroirs, peut être vérifiée à

chaque instant par la position du réticule sur l'image du miroir fixe.

525. Miroirs courbes. — On peut modifier de bien des manières la méthode d'observation par les miroirs ; une des plus commodes consiste à employer un miroir concave, en plaçant l'échelle dans le plan focal et visant vers le miroir avec une lunette réglée pour l'infini.

SoitO (fig. i3o) le centre de courbure du miroir C, V son foyer dans la position initiale, fia longueur focale CF. L'axe ^e la lunette est dans le plan vertical OC et dirigé vers le milieu C du miroir; une échelle circulaire EE' a pour centre le point C. Il est clair que, si le miroir tourne d'un angle 6, on verra dans la lunette l'image du point X de l'échelle, tel que l'arc FX corresponde à l'angle aO. Tous les rayons émanés

du point X forment après leur réflexion un faisceau parallèl à Taxe optique de la lunette et Timage se fait dans le pla. focal. La lunette, une fois réglée pour Tinfini, pourra don être placée à une distance quelconque ; Féloignement anr seulement pour effet de diminuer le champ.

Dans ce cas, le diamètre du miroir doit être égal à celu de Tobjectif, si Ton veut utiliser complètement le pouvoi optique de la lunette.

Enfin on pourra observer une rotation moitié moindre qu Tangle limite de la lunette, car, en conservant toujours le mômes notations, on a

/ if -x

En résumé, les conditions sont les mêmes que si l*on ava un miroir plan avec une échelle située à Tinfini.

Le miroir concave présente quelques avantages pratique D'abord il est plus facile d'obtenir une surface sphériqi qu'une surface plane, sauf à déterminer par expérience longueur focale. Si même, la surface n'étant pas sphériqu les rayons de courbure principaux ne sont pas très différent on peut chercher la direction des plans principaux et mett l'un d'eux parallèlement aux traits de l'échelle ; la pénétratic de la lunette ne s'en trouve pas diminuée. D'autre part 1 échelles, étant plus petites, sont plus faciles à éclairer. Enfi on verrait aisément qu'à éclairement égal, les images dans lunette sont aussi lumineuses qu'avec un miroir plan.

Toutefois si Ton voulait mesurer des déviations un p< grandes, l'échelle devrait alors être courbée suivant une lig non circulaire et la graduation se ferait empiriquement.

Si Téchelle est placée au centre de courbure du miroir, se produit dans le même plan une image renversée < l'échelle et de même grandeur, que Ton peut observer av une loupe ou un microscope. La précision ne dépend alo que du diamètre du miroir, et on appréciera une rotati< égale à la moitié de l'angle limite qui correspond à ce di mètre; c'est la disposition de Brunner (520) pour les boi soles d'inclinaison.

On peut encore remplacer le miroir concave par le système d'un miroir plan et d*une lentille convergente, placés à une faible dislance Tun de Taulre.

Soil f la longueur focale de la lentille et 3 la distance du miroir au centre optique. Pour que Téchelle soit située dans le plan focal principal du système ainsi constitué, il faut que les rayons émanés d'un de ses points, après s'être réfractés dans la lentille, puis réfléchis sur le miroir, semblent partir du foyer principal de la lentille. On trouve aisément que la dislance d' de réchelle à la lentille doit être

et que Ton a, entre les angles a et ^, la relation

Le système est donc sensiblement équivalent à un miroir concave. L'hypothèse 8 = 0 correspondrait au cas d'une lentille plan convexe de distance focale f, qui serait argentée sur la face plane. Avec une construction aussi compliquée, la graduation de la règle doit se faire nécessairement d'une manière empirique.

Lemploi d'une lentille est surtout utile dans les appareils de variations, où l'on veut conserver comme repère Timage fournie par un miroir fixe ; dans ce cas, en effet, il est plus commode de prendre un miroir plan.

526. Appareils de projection. — Pour les expériences courantes, on simplifie beaucoup la méthode du miroir en supprimant la lunette et en projetant directement sur l'échelle l'image réfléchie d'un objet lumineux.

Dans la disposition ordinaire, le plan de l'échelle et celui du réticule de la lunette sont conjugués par rapport au système formé par l'objectif et le miroir; si donc, l'oculaire étant supprimé, on éclaire le réticule, son image se projettera sur l'échelle à la division même qui aurait été lue dans la lunette. Le réticule peut être remplacé par une fente verticale.

Électr, et Magn. — 11. ^

18 METHODES DE MESIBE.

L'emploi d'un miroir concave, ou d'un miroir plan avoi lentille convergente, conduit encore à une disposition pli simple. On place l'échelle et la fente éclairée dans un mên plan passant par le centre de courbure du miroir, ou ai double de la distance focale du système, et à égale dista de part et d'autre de l'axe dans le sens vertical; l'image di la fente se projette alors sur l'échelle en vraie grandeur.

Dans ce mode de lecture par projection, il est néccssaii d'alTaiblir la lumière extérieure pour apercevoir sur l't^chell l'image de la fente ; la lecture des divisions devient ali difiicile. ()n évite cet inconvénient en prenant une fente une ouverture circulaire très large, sur laquelle on tcm verticalement un fd opaque. L'image de l'ouverture se pro mène sur l'éclielle et éclaire la région dans laquelle se trouva l'image du fil. On obtient de très bons résultats avec ui échelle sur verre dépoli, qu'on observe par transparence.

La méthode de projection, permettant l'impression photoi graphique de l'image, est celle dont on fait usage pour h appareils enregistreurs des variations du magnétisme ter restre. En employant deux miroirs, l'un fixe et l'autre mobiU on reçoit sur une couche sensible deux images d"une m«n fente éclairée, l'une fixe qui détermine le zéro, l'autre variafa de position qui donne la mesure de la variation. Si la feuil sensible est mobile dans une direction perpendiculaire t déplacement de l'image, l'épreuve porte une droite corres pondant à l'image fixe et une courbe qui correspond à l'imai mobile, qui correspond aux variations.

OSCILLVTIOSS

527. Équation du mouvement. — On a souvent à considér le mouvement d'un corps solide de part et d'autre dune poi tion d'équilibre, soit sous l'influence d'une force extérieur soit simplement par suite des réactions qui se produisent dai le système quand il a été écarté de sa position d'équilibre.

Considérons un corps de masse K, animé d'un mouveme de translation rectiligne, et désignons par x sa distance à ui

origine fixe pour l'époque t. Nous supposerons que ce corps est soumis à une force extérieure X indépendante de .r, qu*il éprouve une réaction f{x) variable avec la position occupée,

-j- J, qui est fonction de la vitesse u = -j-, La

première réaction fesi directrice et analogue à la tension d*un ressortqui ramènerait le mobile vers sa position d*équilibre; la seconde /l, qui est retardatrice, pourra être produite par la résisbnce des organes ou du milieu dans lequel se fait le mouvement ou encore par des courants induits dans les conducteurs voisins. L'équation générale du mouvement est alors

Par un simple changement dans la signification des lettres, la même équation convient au mouvement de rotation d'un système solide autour d'un axe. La valeur de r représentant Tangle d'écart à partir d'une position arbitraire, la quantité u est alors une vitesse angulaire, les fonctions /l, fel X sont des couples et K est le moment d'inertie du système par rapport à l'axe de rotation.

Nous admettrons d'abord que la force extérieure X est constamment nulle, auquel cas

, ,, d^jc - /dx\ -, .

Lorsque la fonction retardatrice f, est nulle, on peut écrire

:ii

^{^y=-fji')<^'^=^i^)-'A-^)-

tlomme la valeur du second membre de l'équation ne dépend que de la position du mobile, il en est de même pour le premier, c'est-à-dire pour le carré de la vitesse. Le mouvement cstdoncpér/orfîçttcet le système exécuterait indéfiniment des oscillations toutes identiques.

Si Ton prend pour origine la position d'équilibre, f{o) = o,

'20 MÉTllOnES DE MESURE.

et que /*soil une fonction impaire de ï écart j-, Tintégrale ? esl une fonction paire. L*oscillation est alors symétrique par rapport à la position d*équilibre. La vitesse s*anaule pour x = ±:a : la quantité a, ({ui représente le maximum d*écart, est ïamplilude de Foscillation. La période T est le temps qui s*écoule entre deux passages du système par la môme position et dans le même sens.

Les seuls cas utiles à considérer dans la pratique sont ceux où Taction directrice /est de la forme Cx, comme pour la tension d'un ressort, ou de la forme Csin^r, ce qui correspond au couple produit par la gravité sur un pendule oscillant dans le vide, sans frottement au point d'attache.