C ,,, 'AT, /K

K' ' -"^=""^vr/

La période T est indépendante de Tamplitude ; les oscilla' lions sont dites isochrones.

Le mouvement défini par les équations (4)' comporte a^^ traduction géométrique très simple. Si l'on trace une circonT^' renée de rayon a (fig. lih) et qu'un mobile M suive cefrt^ courbe, dans le sens de la flèche, avec une vitesse angulaire *^ '

MESURES MÉCANIQUES. '2i

le manière que langle du rayon vecteur OM avec Taxe des r soil wr, on aura

OP =ij; =z a sin b) t

PM =zr=za cos (ùt=z-

•^ Cl)

A chaque instant, Tabcisse OP du mobile représente Técart du mouvement vibratoire et Tordonnée PM est proportionnelle à la vitesse n.

FiK. i3r.

529. Mouvement pendulaire. — Si Faction directrice est proportionnelle au sinus de l'écart, on a

K^^-f-Csinj::=:o,

— 1-7-1 -|-L(co8a — cos.rj =

Tant que les écarts restent assez petits pour que le sinus puisse être remplacé par Tare, on retrouve Téquation (4) et les <>scillalions restent isochrones avec la période T.

Dans le cas général, la période T' a pour expression

2C«/o ^cosj:

dx

ycosx — cos a

Développant en série l'expression comprise sous le radicj on en déduit, par uu calcul connu,

Pour des écarts très faibles, on peut réduire la série à s deux premiers termes et écrire

C'est le mouvement du pendule libre dans le vide. Si M e la masse du pendule, /c son rayon de giratîon et / la distance du centre de gravité à l'axe de rotation, on a

530. Amortissement des OBCilIations. — Pour simplilier les calculs, nous aduicltrons toujours que l'action dirigeante f (force ou couple) est proportionnelle h l'écart et de la forme Cf. ce qui convient à la plupart des problèmes.

Dans la pratique, il est impossible de supprimer absolument les causes retardatrices. L'hypothèse la plus simple est de les considérer comme proportionnelles à une puissance n de h vitesse et l'équation (a) peut s'écrire

ou. en posant

Tel serait le cas des oscillations d'une colonne de mercure renfermée dans un tube en U, que l'on abandonnerait à elle-

MF.siiRns MK(.ANiyi lis. 23

Véme après avoir établi une difTérence de aivcau enlre les ieu.\ branches. La fonction /"est à chaque inslnnt proporlion- KJIeà la différence de niveau et l'aclion retardatrice est due ix flTels de capillarité ainsi qu'aux frottements du liquide ir lui-même ou sur les parois du tube.

fl peut arriver alors, suivant la relation qui existe entre les utstantes X et ta-, que le système (écarté de sa position d'équiire y revienne sans oscillations, au bout d'un temps infini en éorii', mais pratiquement limité, auquel cas le phénomène ldtlapériodi(/ne. Si la posîtioa d'équilibre est dépassée, le «lème exécute une série d'oscillations dont l'amplitude Diinue constamment Jusqu'à ce qu'il arrive au repos. La nature de la quantité x exprimée en fonction du temps entièrement différente suivant qu'il existe ou non des oscillions régulières.

531. Loi dn carré de la vitesse. — Poisson (') a examiné le cas où n ^ -i. Si l'on donne d'abord au système l'écart — a, la valeur de .r à une époque quelconque est une fonction de a ei peut être développée en une série convergente de la forme

dans laquelle ;i,i sont des fonctions du temps. En substituant dans l'équation (()) et égalant à zéro les coefficients des difTérentes puissances de a, on obtient une suite d'équations

ililTérentiellesqui serviront à déterminer les fonctions^,,;,

Uujind on néglige les termes d'ordre supérieur au carré de 1 reste

Ktr-

I el -T- = o pour ( -

. Mfeaniifue, t. I, p. iOS; 1«1

IV-vi-Io(ifi»iil fil s/riie IVxprcssion fompri?rm en ilf'nliiit, jmr un lulcul r-oniiu.

l'otir il(!S /•citris Iri-a taihlv.s, ou peut i (ifiix [irctiiicrs hernies (;l ^Trire

O'csl Ir- iiKHivriiiunl du pendule lilir In iniissr du ix^iidiilc. fi son rayon dr du D'uln- fie. frvnviU- à l'axe de rolal

K Mk