Exemples. — La proportionnalité de la résistance à la
"?ssc rend compte très exactement de l'action de l'air sur
mouvements du pendule et de la plupart des systèmes
vaillants dont la vitesse absolue est modérée. II en est de même pour le déplacement relatif d'un aimant d'un conducteur voisin (414), puisque les courants induits leur réaclion sur le système mobile sont proporlionnels à
rilesse du mouvemenl relatif.
La travaux (te M. Caniu, aiixqucla in résumas dans un miimoire in»M ai SUetrUient. t. XI. p. \bi; iKUt,
'2H MfmiODES l>E >IESURE.
Dans les ^Ivanomètres où l'aiguUle csl placée à l'intérieur d'un c^dre de lils, si le circuit, de résistance R. renferme une^ force éleclroraolrice coiislatite E, la déviation d'équilibre r«< ne dépend que du courant permanent I, mais l'aiguille éprouve une série d'oscillations avant d'arriver au repos et l'écart ii la position d'équilibre esta chaque instant
En appelant M et H les composantes perpendiculaires à l'axe' du moment magnétique de l'aiguille et du champ extérieur, O la constante du cadre, l'aimant tend k revenir vers sa position d'équilibre sous l'action du couple M[GI/'(.i) — Hsin^], avec In condition G(/(.i„} = Hsin.ra. Pour des oscillations de faible amplitude, le couple directeur peut donc être représenté par,
C(.r-j-,)=M[GI/'(u-.)-Hco8.ro](j--j-,).
D'autre part, le flux de force émis par le système magnétique dans le cadre est de la forme Mç (.ri ou Mi(.r — j,) et sa
dérivée par rapport au temps M'V (.r — .Jo)-^ , la fonction 'J
différant peu d'une constante '^'{o).
Si l'on néglige les effets de self-induction, lesquels contribuent encore à l'amortissement, le courant induit i produit par l'aiguille se superpose simplement au courant principal. On a
Rj = M'l'(o)-7- et son action sur l'aiguille est sensiblement
L'équation différentielle peut donc s'écrire
K^-^f(o)A..,§-+M['jf7-(.0-He„.,,.,],,.-,,.., = ,
st périodique ou apériodiq nd facteur, et l'on a
^'> = -KR-')'{«)A-^o),
.4['îfn-M-Heo..].
Le mouvement est périodique ou apériodique, suivant' l'importance du second facteur, et l'on a
MrGE
Toutes choses égales, ramortissement croit avec le moment magnétique de Taiguille et la conduclivité du circuit.
CoQsidërons encore un cadre de n fils, faisant partie d*un circuit fermé, mobile autour d'un axe dans un champ magnétique uniforme, et supposons que, par leffet d'un couple extérieur, comme la torsion d'un fil métallique, le cadre soit en équilibre dans une direction parallèle au champ.
En appelant S la surface moyenne de chaque spire, le flux de force émis dans le cadre, pour la déviation .r, est Il/iSsin.r
et sa dérivée H/iS cosj* -i- ou sensiblement II/iS-^ •
dt dt
Si l'on néglige encore les effets de self-induction, le courant induit est Ri = H/iS -j- et l'action du champ
„^. H^S^» dx W^S^dx
Hbicos.r = — =r— COSJ:-!- = ^=r r-«
R rf/ R dt
Le couple directeur de torsion étant représenté par Csin.r ouCr, on a, toujours pour les petites oscillations,
On obtiendrait des résultats analogues, par rapport à une 3ulre position d'équilibre, si le circuit du cadre renfermait Que force électromotrice constante.
534. Perturbations. — Lorsque le système est soumis à "lie action étrangère X indépendante de l'écart x, avec les ")T)olhèses précédentes sur les actions retardatrice et diripfiante, l'équation (8) doit être remplacée par
U cas le plus simple est celui où la valeur de X est cons- Isinte et toujours opposée au mouvement, comme serait le frottement d'une chape sur son pivot. En posant X= — C.ro, l<^quation devient
MCTHOriKS OK MKlîLB
Si l'on choisit l'origine du temps à )V-poque où le syslèni est abandonné sans vitesse à l'élongalion a. le mouvemenl de la première oscillation est, avec les mêmes valeurs i précédemment pour les constantes X, lo et f.
«in(o.M
lit si 11= 5^"
La vitesse s'annule de nouveau à l'époijue iat = T., de sort que la période T n'est pas modifiée.
La nouvelle ôlongation u,, du côté opposé, est
Apres n oscillations simples, l'élongation devient
a„ = ae ' -.v^\i-i-e -■ ;.
Cette quantité doit rester positive, mais le mouvemea peut s'arrêter en dehors de la position normale d'équilibre. Le nombre maximum des oscillations qu'effectue le systèmi est déterminé par la condition fl„~o ou
D'une manière plus générale, si l'action perturbatrice X m une fonction quelconque du temps, à retours périodiques, 01 peut la représenter par la série de Fourier
dans laquelle n prend toutes les valeurs i de n = 1 jusqu'à n — oc .
itières positives,
UESCIIES MÉCAMOl i:s. 31
a solution de rt-quation (çjj csL alors, en faisant un choix convenable de l'origine du temps,
(lo)' j;:=(ie"'"sinf.)/-!- — Ansin(nn'( — x„).
Le premier terme du second membre annule le premier membre de l'équation (g). Chacun des termes de la dernière expression est une solution relative au terme de période correspondante compris dans le développemenl. (i<>).
Si l'on désigne par b\ ^' et w' les valeurs de B», 3» et nu* relatives .'i une période T', la solution correspondante est
III) .t'--=rt'sin(..i'(-
L'cqualion {9) devient alors
Cesl une forme déjà discutée (393). En désif^nant par ; perle de phase »'— ? , on a
tungî'
Un remarquera d'abord que l'amplitude a' diminue très npidemenl, toutes choses égales, à mesure que u' augmente, e'est-à-dire que l'on considère un terme d'ordre plus élevé ilans la série (10).
Si w'<[u ou T ;>T, la perte de phase î' est nulle pour X= o tlX^ac ; elle passe par un maximum i^ pour la condîtioa »' — «'*, ou
h perte de phase 3 reste donc comprise entre o et 90°,
♦- : ■\'-r: '- . t; rfilin. pour (•• ~ w.
»2 :r-.:«::::a..-. i^-r ;iu\ réactions propres -. *- T . -S" mS iji» .".r-. !.r . r^eaiier terme du second . ^ ',..»;■ i: :trrs..^rr- n.iéaQiment. La vibra-
• . .' ii«; :.:•- s r-.T i- p«?rturbations pério- . '.:■ :' i i/- r .jt» i 'iz rôiTÎine régulier. »•"* ':>^ !!r'j': f.'^sr.-*. > :eruie leml vers zéro
:■.. > jiis •; :n.."> l'iiiT. •^n rôalitê prali-
:- ^ . . . iti i-'iso:' ClI^ .r-e les tenues pério-
^ - ^i ::' '. .!>o:'".-^. rucLes «jue soient ses n'-ac-
fc $ iiczli^juisaîiua — . ': ^>c .r.^?: oo:iduit au problème
^v. .1 : L. i irfs .s^-illatioas propres, lel
.!. - i.ii' .• •',;-.:r ;> vibration arbitraire
\> . « ••'■..••'>. ' rS>à-i:rti- de maintenir le
.t .i\ > "^ '■::•:'> •..:Trrî:":its.
i.t -i J-'^^v - r\:-^r:r»ure est elle-même
. . .1 rL-.i. : iu système ne tarde
w . «*. ;i ••■■i- «i "■■ " . fJ-
^ ^. . . ,; • <\s:t'::'.r- -^.rendra la période ^ \ 'V :> :•■ -:":.irbations dues aux
.'. A ■ »■'■ •• .iv.arvil svnohronisani
., . . ^ ^ ^. •'.• •;: -.eu de le faire agir
.1 ><' V'--*.r produire des impul-
^ . ..: . % .1 .t*> Viruli-.Ts
. ,. . , .V '. n.-.- »*.':■>.:•.: e<t presque toujours X . K 1'^ * '.^:.::.:/ -, est devenue
.,^ vx S -.v^- .vvv<x,t '^/> -,nir ipie l'amplitude
5oil réduite au millième, ce qui équivaut pratiquement à l'extinction, est
£., looo 6,908
XT
AT
Pour les oscillations libres d'un pendule battant la seconde, ouT=r:A, le décrément logarithmique XT n^atteint pas
ce qui produirait la réduction des amplitudes au millième après /i=i i3 8ï6 périodes —27632 secondes =7**40*".
Avec le décrément de 0,001, un diapason de 400 périodes par seconde s'éteindrait au bout de 6908 périodes ou 17".
Fijç. i33.
On peut donc se borner à considérer les cas où le décrément XT est inférieur à 0,01. Dans ce cas, on aurait
et langle 9 n'est inférieur que de 5' à 90°.
Langle de conjugaison de la spirale logarithmique (532) qui figure le mouvement amorti est donc presque droit et les spires successives diffèrent extrêmement peu de circonféi^nces de cercles.
536. PercuBsiong périodiques. — Considérons d'abord le ^as où Tamortissement est nul, la vibration étant asino)/, et supposons que le système reçoive à l'époque tt une impulsion instantanée qui lui imprime un accroissement de vitesse ç^
Électr. et Magn, — u. 3
M MÉTIIODF-H DE MF^LiRE.
ce qui correspond sur la courbe représentalive à un accroissement d'ordonnée MM'— s- - (fig. i.'iî). Si le mouvemei
continue sans trouble ultérieur, la nouvelle amplitude et II— OM', la phase a diminué de l'angle M'OM=ï et les équations du mouvement deviennent
Le triangle MO M donne
!(;'cosE=:rt-t-scoswî, , a'sÎDE^zsindif,; 2sin(j/, (l'J — rij + iî + anjcosiui,, tange = —
Lorsque l'impulsion (- = (11: est très faible par rapport à la vitesse maximum oi« du mouvement primitif, on peut i^crire
- \azi\xi^ -^^{a + zf -
Il en est de môme quand l\ est très pelil par rapporta T; dans ce cas, l'amplitude a' ne dilTère de la somme a-^z que par une quantité du second ordre, comme on le voit directement sur la figure (').
Si l'impulsion v se reproduit au bout du temps T'— —r
l'angle décrit par le point figuratif M' dans l'intervalle est (dT'= 2:H-ii) (T— T), et sa position M, au moment de la seconde impulsion est définie par l'arc MM, ~ «'w (T'—T).
Admettant encore que la fraction — tv. — est très faible, les
longueurs MM' et MM, pourront ^tre traitées comme des infiniment petits.
(1 R Wbisb, Journal rfe pAt/J. [3], l. IV, p. 130; I8»5.
MESUHES MÉCANIQUES. 35
On peut chercher maintenant, avec les restrictions précédentes, quel est le lieu des points MM| , lorsque Timpul-
sionpest répétée périodiquement aux intervalles T'.
Menant la droite M C perpendiculaire à Tare MM|, le triangle fini CMO et le triangle infiniment petit MM| M' sont semblables el donnent les relations
