COUPLES
544. Moments d'inertie. — Le couple qui tend à ramener vers sa position d'équilibre un appareil mobile autour d’un axe pourrait être déterminé par l’action d'un couple antagoniste, tel que celui que l’on obtiendrait par un poids attaché à l'extrémité d'un bras de levier de longueur connue; cette méthode directe a été employée par Wertheim (!') pour étudier l’élasticité de torsion des barres métalliques, mais elle est rarement applicable. Dans la plupart des expériences, surtout quand il s’agit d'appareils légers, la valeur des couples de torsion se déduit de l'étude des oscillations.
Lorsque le couple Cx est proportionnel à l'angle d'écart x, ce qui est généralement le cas pour les oscillations de très faible amplitude, et que l'amortissement est négligeable, la période T des oscillations infiniment petites donne (528), en appelant N la fréquence, c'est-à-dire le nombre des périodes par seconde,
(1) WERTHEIN, Ann. de Ch. et de Phys. (3),t. L, p. 195 et 385; 1857.
Si les oscillations sont amorties, en conservant le caractère d’isochronisme, on a (532)
C — 12 PUrEE 2 N°2 2 KT OH À2— AT + À?,
La valeur du couple C relatif à l’unité d'angle sera ainsi déterminée par le moment d'inertie K du système et par l'étude des oscillations.
Le moment d'inertie d'un système rigide autour d'un axe est la somme des produits de chacune des masses 7»? par le carré r? de sa distance à l'axe. On peut toujours poser
K—Z2mr? — 2m — k2M.
La quantité À ainsi définie est le rayon de giration ; c'est la distance à laquelle devrait être portée la masse totale M du système pour que le moment d'inertie restât le même.
Ces moments d'inertie jouent un rôle si important dans les expériences qu'il est utile d'en rappeler ici les principales propriétés.
Considérons un système quelconque rapporté à des axes rectangulaires d’origine O. Soient x, y, z les coordonnées d'une masse élémentaire 72 et «, 8, y les cosinus directeurs d’une droite quelconque passant par l'origine. La distance r de l'élément 77 à la droite considérée est
= 224 ps (ar +8 y +yz) = (Êz—y7) + (yx az) + (ay —Bx), et le moment d'inertie du système par rapport à cette droite
(1) MA—o2m(z+y?)+82Em(x+e?) +yEm(y?+ x?) —2af2mxy—2$yÈmyz—2ya mazx.
Les quantités Zm (z?+7y?), sont des constantes et représentent les moments d'inertie du système par rapport aux axes de coordonnées ; les quantités Zmxy, ...…. sont également des constantes et l’on peut écrire
MA—A@+BG+Cy2—2A 6y—2B'ya—2C'af.
Portant sur la droite une PRE égale à l'inverse du rayon de giration Æ et appelant £, n, € les coordonnées de l'extrémité de cette longueur, on a
CENT NAT rte, (2) M—AË+Bm+CÉ —2A"nt—2BEE—2C'én.
Comme le second membre de l'équation (1) est essentiellement positif, l'équation (2) représente un ellipsoïde ; un rayon vecteur quelconque est l'inverse du rayon de giration du système par rapport à la direction correspondante.
Si les axes de coordonnées sont parallèles aux axes de
l'ellipsoïde (2), les coefficients A”, B’, C’ sont nuls et les coefficients À, B, C positifs. Il en résulte, en posant
ANT END = NES ACTE (3) RE + k2n +R = 1.
Les quantités 4, k:, k,; sont les rayons principaux de giration relatifs aux droites passant par l'origine. Le rayon de giration À relatif à une droite de direction (2, 6, y) est alors
(4) 12 — Jo + Rp + 202,
Menons par le centre de gravité G du système (fig. 138) un plan perpendiculaire à un axe de rotation pour lequel le rayon de giration est À. Soit r la distance d'une masse » à cet axe et p sa distance à un axe parallèle au premier passant par le centre de gravité. En appelant d la distance OG, et x la projection GP du rayon & sur la droite OG, on a
| PRE m1 Dme?+ dim+odEmx.
Le facteur È x est nul en raison des propriétés du centre de gravité ; en appelant 4, le rayon de giration relatif à la droite considérée passant par le point G, il en résulte
(5) le = kè+ d.
La valeur de # est la même pour toutes les génératrices d'un cylindre circulaire droit dont l'axe passe par le centre de gravité.
Dans le cas d’un pendule composé oscillant autour de la droite O supposée horizontale, la période T des oscillations infiniment petites a pour expression
La quantité d'est la distance, sur la droite OG, du centre de gravité à un point O0’ appelé centre d'oscillation. Comme on a dd'—k, il en résulte que si l’on fait osciller le système autour d'une droite parallèle à la première et passant par le point O’, la longueur du pendule simple synchrone ne serait pas changée; c’est le principe du pendule reversible.
545. Exemples. — Sans reproduire des calculs connus, il suffira d'indiquer la valeur des rayons de giration principaux de corps homogènes ayant certaines formes simples.
Pour un parallélipipède rectangle, dont les côtés sont 24, 2b et 2c, le rayon de giration relatif à une droite parallèle au côté 2c est
pe a? + b? |
Les rayons principaux de giration sont parallèles aux arêtes et respectivement proportionnels aux diagonales des faces perpendiculaires.
Lorsque l’une des dimensions transversales, b par exemple,
est très petite, comme dans le cas d’une lame allongée, on peut écrire
Pour un cylindre circulaire droit, à bases perpendiculaires à l'axe, de rayon 4, le rayon de giration k, relatif à l'axe est Ù a
égal à
Si l’on désigne par 2/ la longueur du cylindre,
le rayon de giration #; par rapport à une droite perpendiculaire à l'axe est
mad 2 F. Li … BE 0 72 Li sors) 4 EN
Dans ce cas, l’ellipsoïde des rayons de giration est de révolution. Si l'on veut qu'il devienne sphérique, c'est-à-dire que tous les rayons de giration aient la même valeur, il suffira d’égaler les rayons principaux, ce qui donne la condition
