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sn "1 (m+m')p?— mp?

mp? (m0 É LOS IN

541. Balance unifilaire. — La balance unifilaire, ou balance de torsion, a été imaginée par Coulomb qui en a montré les précieuses ressources pour la mesure des petites forces (!); elle se compose essentiellement d'un fil élastique, ordinairement de métal, fixé à sa partie supérieure et soutenant un système quelconque tel qu'une aiguille légère terminée par une boule électrisée, un barreau aimanté, une sphère métallique, un plateau, etc.

Le fil est attaché par sa partie supérieure à un tambour divisé; ce tambour, mobile en face d’un repère ou d'un ver. nier, permet de mesurer la rotation qu'on imprime à l'extrémité du fil. Lorsque le système est libre et n'a pas par luimême de couple directeur, la position d'équilibre correspond au cas où le fil est sans torsion. S'il existe une action extérieure, comme celle du champ terrestre sur un aimant, on peut toujours, par une rotation convenable du tambour, amener le système dans la position qu'il prendrait sous la seule action directrice. Cette condition est évidemment réalisée si la position d'équilibre ne change pas quand on supprime l'action extérieure, quand, par exemple, on remplace le barreau aimanté par un barreau de cuivre de même poids. Tout déplacement angulaire « du corps, à partir de cette position, détermine une torsion de même angle dans le fi. En outre, si l’on a fait tourner le micromètre supérieur d'un

(1) Couroms, Mém. des savants étrangers, t. X; 1771.

angle À compté en sens contraire, la torsion totale du fil est la somme algébrique A + « des deux angles.

948. Lois de la torsion. — Si le fil porte un système soustrait à toute action étrangère et qu'on abandonne l'appareil à lui-même après l'avoir écarté de sa position d'équilibre, 1l exécute une série d'oscillations plus ou moins amorties. Les expériences de Coulomb ont montré que, dans des limites assez étendues, ces oscillations sont très sensiblement 1isochrones. Il en résulte que le couple qui tend à ramener le fil tordu à sa position d'équilibre est proportionnel à l'angle d'écart x; on peut donc le représenter par Cx.

La constante C représente le couple qui serait nécessaire pour tordre le fil d’un angle égal à l'unité, si la loi de proportionnalité s'étend jusqu'à cette limite ; c’est le coefficient de lorsion du fil. L'expérience montre que sa valeur est sensiblement indépendante du poids du corps suspendu, autrement dit, de la tension du fil.

Lorsque le fil est cylindrique et de section circulaire, de longueur / et de diamètre d, on peut écrire, en désignant par & une constante,

(6) Cet

Le coefficient de torsion d'un fil est donc en raison inverse de sa longueur et proportionnel à la quatrième puissance du diamètre, ou au carré de la section : le facteur constant y ne dépend que de la nature du fil et de sa température.

PoOurd net = onaurat Cu. Laïvaleur x est:done l'expression numérique du couple capable de tordre d'un angle égal à l'unité un cylindre ayant un centimètre de diamètre et un centimètre de hauteur. Ce coefficient & est le quotient d'une force par une surface, ses dimensions sont L''MT ‘; il ne diffère que par un facteur numérique de ce qu'on appelle ordinairement la rigidité ou le second module d'élasticité.

Considérons, en effet, un cylindre droit de section S$, et supposons que, l’une des bases étant fixée d’une manière invariable, on soumette tous les éléments de l’autre à des forces tangentielles, égales et parallèles, dont la somme est F.

Chaque section parallèle aux bases se déplace d'une quantité proportionnelle à sä distance à la base fixe ; le cylindre s'incline donc d’un angle « indépendant de sa hauteur. La déformation étant très faible, l'angle « est proportionnel à la force par unité de section et l’on peut écrire

Rue ?

Le coefficient + est le second module d’élasticité ; 1l représente physiquement la force qui serait nécessaire pour incliner, d'un angle égal à l’unité, un cylindre dont la section serait égale à l'unité.

Supposons maintenant qu'un cylindre circulaire, de lonsueur / et de diamètre d, soit tordu d'un angle x; chacune des génératrices primitives devient une hélice. La base inférieure étant fixe, le déplacement d’un point de la base supérieure, situé à une distance r de l'axe, est égal à rx, et l'in-

TETE clinaison de l'héhice correspondante sur l'axe est arr la

réaction élastique par unité de surface est a? et son moment par rapport à l'axe cor. |

Le moment des réactions relatives à la surface d’une couronne circulaire comprise entre les rayons r et r+ dr a pour valeur 27aor?dr. |

Enfin, le couple de torsion Cx est l'intégrale de cette expression étendue à toute la base du cylindre, ce qui donne

549. Coeîficients d'élasticité. — Les fils élastiques ont de si nombreuses applications dans les appareils de torsion qu'il est utile d’examinér de plus près les propriétés des différentes substances auxquelles on peut avoir recours.

Lorsqu'une tige cylindrique est tendue par un poids compris entrè certaines limites, elle éprouve un allongement tem-

poraire à proportionnel à sa longueur primitive /, au poids tenseur P et en raison inverse de la section S :

Cane SAERA TAC

Le coefficient E, que l’on appelle premier module d'élasticulé, ou module d’ Y oung, représenterait la tension nécessaire, par unité de section, pour doubler la longueur du cylindre ;

il a les mêmes dimensions que le second APE g.

En fait, on ne tarde pas à dépasser les limites d’élasticité et le cylindre, une fois déchargé, ne reprend plus ses dimensions primitives, 1l a éprouvé un allongement permanent qui modifie ses propriétés. |

Quand on augmente la charge, il arrive enfin que le fil se rompt. La lénacilé est la tension maximum T par unité de section correspondant à la rupture; c’est encore une grandeur de mêmes dimensions.

La détermination du coefficient de torsion C d’un fil, ou du second module +, par les méthodes qui précèdent, ne laisse pas que de présenter des difficultés sérieuses.

Les fils de métal doivent être recuits avec le plus grand soin, de manière à faire disparaitre toute trace de torsion antérieure ; sans cette précaution, la position d'équilibre se déplacerait avec le temps et la réaction élastique ne serait pas la même de part et d'autre.

Les expériences de Coulomb tendent à montrer que le coefficient C est indépendant de la tension, mais cette loi n'est qu'approchée. En réalité l’élasticité d’un fil diminue quand la tension augmente, déduction faite de la variation qui résulte des changements de longueur et de diamètre HD

Un fil tordu d’ At puis laissé libre, conserve une torsion résiduelle qui disparait ensuite lentement. D'après M. Wiedemann (2), cet effet se produirait même sous les angles les plus petits; dans le mouvement oscillatoire d’un système suspendu par un fil métallique, la position d'équilibre serait à chaque instant déplacée par les oscillations.

(1) Sir W. THomsox (LorD KELvVIN), E SERA Brit., ar PRE « «Elasticity », », $ 8

(2) G. WIEDEMANN, Wied. Ann., t. vi! D. 185 : 1879.

De même, les oscillations ne sont pas absolument 1sochrones; la période croît avec l'angle d'écart, de sorte que la rigidité est d'autant plus grande qu'on la détermine par des oscillations de moindre amplitude. On peut attribuer à la même cause une partie des écarts entre les valeurs des coefficients trouvés par la méthode des oscillations ou par la méthode statique ; ces derniers, qui sont les plus petits, ont toujours été déduits de torsions plus considérables.

La rigidité diminue quand on maintient la torsion. Dans une expérience citée par lord Kelvin, une torsion permanente de 10 tours faisait perdre, à un fil de cuivre de 3",50 de longueur et de ot.154 de diamètre, la fraction 0,05 de sa rigidité ; pour 100 tours, la diminution dépassait 0,1 et elle croissait d'une manière plus lente jusqu’à la rupture du fil. Un allongement permanent produit le même effet.

Une autre remarque importante, due à lord Kelvin, est que la rigidité d'un fil diminue temporairement après une longue période d’oscillations ; il se produit dans le métal une sorte de fatique élastique.

Les amplitudes successives varient sensiblement en progression géométrique, au moins entre certaines limites, car l'amortissement croît d’une mianière manifeste pour les grands écarts. La cause retardatrice est donc à peu près proportionnelle à la vitesse. Le frottement de l'air n'y intervient que pour une faible part; le phénomène est dû à une sorte de viscosité métallique, qui est l’analogue du frottement dans les liquides. Un corps ne peut changer de forme, fûüt-il absolument élastique, sans qu'il y ait dépense ou dissipation d'énergie. La viscosité augmente avec la tension et la fatigue du fil; toutes choses égales, les oscillations s'éteignent plus vite avec un fil maintenu pendant longtemps en vibration que sil était resté en repos pendant le même temps.

La viscosité du zinc est exceptionnellement grande et on ne peut Jamais, avec un fil de ce métal, compter qu'un très petit nombre d'oscillations.

Les propriétés élastiques des métaux sont ainsi très complexes (!) et varient beaucoup avec le mode de préparation

(1) W. Peonte, Plhul. Mag, [5], t XXXVIII, p. 36: 1894.

MESURES MÉCANIQUES. fi

el le degré de pureté; les résultats obtenus par divers observateurs présentent les plus grandes divergences.

Les nombres du tableau suivant, que l’on doit ainsi considérer à titre d'indications approximatives, sont rapportés au centimètre et au poids du gramme. Pour avoir leurs valeurs en unités C.G.S., c'est-à-dire en dynes par centimètre carré, il suffit de les multiplier par g, ou 98.

Nature 1 module Rigidité

du métal. d'Young. 2° module. Ténacilé. E o E VE E o sh @ de LC Œ

Aluminium 673.105 265,2.10° » 2,94 » » »

Argent AR ET 00 02,00, 100 0, 2,79 91,8 250 15,8 Or DIR 200 D 2,70 0 2,89 104,1 301 TD Zinc 1000 0 Ro 1567 DO LT; 0 400 22,0 Laiton CE Eat PE TR ET PE De DE PC 2,82 102,0 288 120 Bron EU I038 x, 00314,5 p°2,56 ,» 3,30 122,8 405 JO

Pl.-Arg. (?) 1050 » 200.9 :.0 » 2,84 » » »

Cuivre FAO PAC, OUEENE - 4,292, Due 104,4 284 16,8

Maillechort 1300 » 493,7 » » 2,63 » » »

Platine MODEM 00e MS: HMS 2210 189,0 420 20,7 Fer 2000 POMMLTAAT 0): 040105 2,59 136 QUE 17,6 Acier POI TOR 40 ou Jr 0002 3,16 86,0 279 16,5

Le rapport des modules E et # s’écarte peu de la valeur 5 que M. Voigt attribue aux corps parfaitement isotropes.

Toutes choses égales d’ailleurs, un fil sera d'autant plus sensible que, pour un couple de torsion déterminé, il pourra porter la plus grande charge, c'est-à-dire que le rapport des coefficients + et T sera plus petit. L'argent semble préférable à ce point de vue et il présente d’autres qualités qui l'ont fait souvent employer dans les appareils de torsion, mais sa viscosité paraît un peu trop grande.

550. Influence de la température. — Les propriétés élastiques varient beaucoup avec la température. D'après les expériences de M. Kolhrausch (*) sur quelques métaux, le coefficient de torsion à la température t s'obtient en multi-

(1) Alliage formé de 88 Cuivre + 12 Étain.

(2) Alliage formé de 2 Argent + 1 Platine.

(3) F. Kozarauscx, Pogg. Ann. [3], t. CXLI, p. 481; 1870.

pliant sa valeur à zéro, par un facteur de la forme 1 — at — 6e. On aurait, par exemple :

x 5 Fer 4,47.1074 5,2.10—7 Cuivre 5,20 2,0 , Laiton 4,28 13,4

Comme le coefficient de torsion, pour un même fil à différentes températures, est proportionnel à son volume, si À est le coefficient de dilatation linéaire, le coefficient C relatif à la température £ sera donné, en fonction de sa valeur C, à zéro, par la formule

(= Co (x grrol "À ae: Be) (x + SX) = Cor — (ax — 3 À) “A

Pour le cuivre, on a 3À—0,51.10 -‘; la variation résultant du changement d’élasticité est donc 10 fois plus grande que celle qui est due à la dilatation.

991. Fils de verre et de quartz. — Fils de cocon. — On a quelquefois remplacé les fils métalliques par des fils de verre, que l’on étire aisément d’une grande finesse et d’un diamètre assez régulier ; leur viscosité est plus grande que celle des métaux tels que le fer, l'argent ou l’aluminium.

M. Boys (!) a ainsi étudié les fils de différents minéraux fusibles ; il les prépare en attachant une flèche au corps et lançant la flèche quand l’action du chalumeau a produit une goutte de matière en fusion.

Le quartz est la substance qui paraît donner les meilleurs résultats. On obtient ainsi des fils parfaitement cylindriques dont le diamètre peut être inférieur à o"",002 ou même oMm,0003, C'est-à-dire moindre qu'une longueur d'onde lumineuse. C'est avec ces fils de quartz que M. Boys a répété avec une grande habileté la célèbre expérience de Cavendish sur la densité de la terre.

Le verre conserve encore des traces sensibles de déforma-

(1) C.-V. Boys, Phil. Mag. [6], t. XXIIT, p. 489; 1887; t. XXXVII, p. 463; 1894. — Phil. Trans. L.R,S. t. CLXXXVI, À., p. 1; 1895.

tion résiduelle, mais plus faible quand il a été réduit. Pour un fil tordu d’une circonférence et maintenu dans cet état pendant une minute, la position d'équilibre ultérieuré a changé d'environ 0,0004 de la torsion p'imitivé et cette altération est réduite au tiers au bout de trois minutes.

Avec un fil de quartz, le déplacement du zéro est huit fois moindre et se réduit encore d’un tiers en quatre minutes.

Pour le quartz fondu (!), le premier module d'Young rapporté au poids du gramme serait 528.rof et la rigidité 294. 10°. Les fils fins ont uné tenacité voisine de 5.rof, c’est-à-dire comparable à celle du fer. |

Les fils de sote, tels qu'ils sortent du cocon, sont bien cylindriques, très réguliers et très résistants.

D'après les nombres cités par Coulomb (?}, un fil simple peut porter 10 grammes sans se rompre. Un pétit cylindre de cuivre de 1 pouce de longueur (2°,507) pesant 6 grains (08",3187), suspendu à un: fil de cocon de 1 pouce de long, avait une période de 180 secondes. On déduit de ces nombres que le coefficient de torsion d’un fil de soie simple de 1 centimètre de longueur est, en unités C. G.$S., de 0,003254.

Un fil d'argent de même coefficient n'aurait qu'un diamètre de o%%,00595 et ne pourrait supportér un poids supérieur à o8",818, tandis que le fil de cocon peut porter jusqu à 10 grammes, C'est-à-dire 13 fois plus. Pour la même charge, il faudrait une section 13 fois plus grande; le coefficient de torsion serait alors 169 fois celui du fil de cocon.

L'influence de la température et de l'état hygrométrique sur les fils de soie seraient deux fois moindres environ que sur les cheveux (?). |

Ces propriétés montrent l'avantage des fils de cocon dans toutes les’suspensions, comme celle des aimants, où le système mobile a par lui-même une force directrice et où 1l y à intérêt à diminuer autant que possible celle de la suspension. En associant ces fils parallèlement entre eux et de manière que tous éprouvent sensiblement la même tension, on peut obtenir un faisceau aussi résistant qu'il est nécessaire et

(4) R. Tarezrazz, Ph. Mag. [5], t. XXX, p. 99; 1890. (2) CouromB, Mém. de l’Acad. des sc. pour 1777. Te (3) FResxez, Ann. de chim. et de phys. [2], t. XXVI,:p. 367; 1824.

dont le couple de torsion est à peu près la somme des couples relatifs à chacun des fils.

Ajoutons que l'on doit d'abord laver ces fils à l'eau chaude pour enlever la matière agglutinante de la surface.

Les fils de cocon d'araignée, si employés pour la construction des micromètres, pourraient aussi servir dans les appareils de suspension, mais ils ont l'inconvénient d'être trop élastiques, car on peut aisément tripler leur longueur sans risquer de les rompre.

D'une manière générale, quand on cherche à diminuer le couple de torsion, un faisceau de fils parallèles vaut toujours mieux qu'un seul fil ayant la même section totale. Si l’on pouvait négliger l'effet provenant de la distance des points d'attache, le couple résultant serait, avec un fil unique, proportionnel au carré de la section, c'est-à-dire au carré »? du nombre des fils équivalents, et par suite z fois plus grand que le couple constitué par ces » fils.

552. Balance bifilaire. — On peut au contraire, profiter de la distance même des fils pour produire le couple de torsion. Tel est le principe de la balance bifilaire, employée d'abord par Snow Harris {!) mais en réalité introduite dans la pratique par les travaux de Gauss et de Weber (?).

Dans la balance bifilaire, le système mobile est suspendu à deux fils voisins dont les points d'attache en haut et en bas sont habituellement à la même hauteur. Lorsque l'appareil est dévié de sa position d'équilibre, le poids du système donne naissance à un couple horizontal qui tend à le ramener à sa direction primitive.

Nous supposerons d’abord que les deux fils de suspension sont égaux entre eux, les deux points d'attache supérieurs B et B'(fig. 139) à la même hauteur, et que le centre de gravité du corps suspendu est sur la verticale qui passe par le milieu O de la distance des deux points d'attache A et A’ des extrémités inférieures des fils. Si les fils n'ont pas de torsion propre, l'équilibre existe quand les quatre points d'attache sont dans le même plan vertical, les lignes AA’ et BB’ étant parallèles, et que, par suite, les deux fils sont symétriques

(1) Sxow Harris, Phil. Trans., 1836. p. 417.

(2) Gauss et Weger, Resultale aus den Beob. des Magn. Vereins, 1637.

par rapport à la verticale passant par le centre de gravité du système. h Lorsqu'on fait tourner le levier AA’ d’un angle x autour de la droite O0”, son milieu O s'élève en O, et les fils prennent les positions BA, et B’A;. Appelant 2 la distance 0°O, —BD,

Fig. 139.

{ la longueur AB des. fils, 2& et 2b les distances AA’ et BB” des points d'attache, on a

a 5 ab cos x: 2 (b 2 {ab : De —œl2—{(b— a? —4absin?—;, D) kRdh="àbsinrdr:

Si Q est le moment par rapport à l'axe du couple nécessaire pour maintenir cette déviation x, le travail Qdx du couple relatif à une rotation infiniment petite est égal et contraire au travail correspondant de la pesanteur sur le poids P du système, ce qui donne

ab sin x h

absinx