Q=P AT

LE

Hd Pur —P?

Lorsque les deux fils sont à peu près parallèles dans la position d'équilibre, on fera a —b et il reste

a? sin x

ps —P A T (8) ETS SON IL — — E sin?

Dans la plupart de ces cas, les distances & et b sont très petites par rapport à la longueur / des fils, et l’on peut écrire

(9) Q=— sinx —C'sinr.

Le facteur C' peut être appelé coefficient de lorsion du bifilaire ; c'est le couple qui produirait une déviation de 90°. Ce couple est proportionnel à la charge, au produit des dislances des points d'attache et en raison inverse de la longœueur des fils.

La torsion ne peut pas dépasser 90°, parce que le couple irait ensuite en diminuant. Snow Harris évitait cette restriction en employant un long bifilaire dont il réunissait les fils à différentes hauteurs par plusieurs traverses, de longueurs égales à la distance des points de suspension ; l'appareil constituait ainsi une série de bifilaires ajoutés bout à bout. Pour x bifilaires identiques et une déviation totale x, le couple de torsion serait

PRE PART Sin —7C'sin-

On peut encore tenir compte de la rigidité des fils, laquelle ni est pas toujours négligeable. Lorsque le système éprouve une déviation x, chacun des fils est tordu sensiblement du ême angle. Si donc ils étaient sans torsion dans la position initiale, 1l suffit d'ajouter au couple C'sinx les deux couples de torsion Cx qui agissent dans le même sens; l'équation d'équilibre devient alors

’ Mid Lui (rer Q—=C'ainr ACRELC Sin INeee > .

Cesinr

Comme l'angle x est inférieur à 90°, si le rapport des facteurs C et C'est très petit, on peut considérer les termes compris dans Ia parenthèse comme constants. Le système obéit encore sensiblement à la loi du sinus et le coefficient de torsion C, devient

+ a Ni Œ > \ / à] Cr tas) + 9 C.

C' sinx

Les conditions de symétrie ne peuvent jamais être remplies d'une manière absolue et il est nécessaire d'examiner les conséquences d'un défaut d'ajustement. Quel que soit le mode d'attache, la position d'équilibre correspond au cas où

les fils sont dans un même plan vertical contenant le centre de gravité du système. Pour une déviation x produite par un couple extérieur, les composantes verticales des tensions des fils font équilibre au poids, les composantes horizontales constituent un couple qui, avec les couples de torsion, fait équilibre au couple extérieur ; ces composantes sont donc égales, parallèles et de sens contraires.

Il résulte de là que si on projette le système sur un plan horizontal (fig. 140), les projections des deux fils A,D et A, D’ sont toujours parallèles; les projections DD'et A, A, des lignes qui joignent les points d'attache se coupent en O, sur la verticale qui passe par le centre de gravité du système, et sont partagées par ce point en parties inversement proportionnelles aux composantes verticales des tensions.

Soient p et p' ces composantes verticales, q la valeur commune des composantes horizontales, h et 2° les projections

Électr. et Maqgn. — vw. 6

verticales des deux fils, À et À’ leurs projections horizontales,

enfin a et 2b les projections des distances des points d'attache; on a les relations

sente HAUT ET, D: TE nt er ET EC

D'autre part, en appelant k la perpendiculaire commune EE’ aux projections des deux fils, on a aussi AGhSIRTE (A Era X') tue 9 À fe cr ) , P P car les deux premières expressions représentent la surface du parallélogramme D FD'F’.

Le moment Q du couple des forces q4 a pour valeur

(10) Q= gh= ET sine:

+ PRE celte formule se réduit à l'expression (7) pour A=k'etp —p, c'est-à-dire quand les conditions de symétrie sont remplies.

En appelant z la distance verticale des milieux des deux lignes qui joignent les points d'attache, on peut écrire

Posons de même, en remarquant que la plus grande valeur de p correspond à la plus petite valeur de k,

MON (TE A US 1 -1E Âz 1+EcÙ — — — — ne So DD. PA Tite DOTE Pr = (5 A Ce (r1) OZ PE ses UE TT e0

Comme à est un nombre positif, le maximum de Q correspond à 3—0o. Les conditions de symétrie sont donc celles pour lesquelles l'appareil a le minimum de sensibilité, c’est-à-dire celles qui donnent les oscillations les plus rapides. On utilise cette propriété pour achever le réglage.

* En général, les points d'attache supérieurs sont à la même hauteur et, d'autre part, le levier AA’ est par construction

perpendiculaire à la droite qui joint son milieu au centre de gravité du système mobile ; il ne reste plus alors qu'à donner aux fils la même longueur. La difficulté n'existe pas si on ne conserve que deux points d'attache, en haut ou en bas, avec un fil unique qui passe de l’autre côté sur une poulie.

S1 le fil est fixé à ses points d'attache de manière que le premier élément, à chaque bout, soit maintenu vertical, 1l ne reste plus rigoureusement rectiligne (‘). Sous l’action d'un couple horizontal, le système subit alors un déplacement moindre que si le fil était parfaitement flexible. Pour une suspension symétrique, l'extrémité inférieure d'un fil flexible se déplacerait, l’autre extrémité étant supposée fixe, d'une

quantité ar Quand les deux éléments extrêmes sont

maintenus verticaux, on trouve que le déplacement a sensiblement pour valeur

1e ei | 2 RER EC ame 1/1 NL Pers À 9 P P AY

expression dans laquelle E désigne le premier module d'élasüicité et K le moment d'inertie de la section du fil par rapport à un axe passant par son centre de gravité et perpendiculaire au plan de flexion.

Dans le cas d’un fil à section circulaire de rayon r, on a HT: Dar suite,

EK k ET.

D) == Ne , P 2

la correction revient donc à diminuer la longueur du fil d’une quantité indépendante de cette longueur.

51 on désigne par T'—4T la ténacité pratique du métal, c'est-à-dire le poids qu'on peut faire supporter sans inconvé-

nient à un fil d'un centimètre carré de section, on peut poser

nr T'—-77r?aT.

E œil la charge est moitié de celle qui produirait la rupture, 4—0,5

Le terme de correction devient alors \/ .- Dans le cas où

(4) F. KouLrauscx, Wied., Ann. t. XVII, p. 741; 1882.

et le Tableau du n° 549 montre que la valeur du radical est au plus égale à 30; la correction de longueur est voisine de 15 fois le diamètre du fil.

D'ailleurs le couple de torsion du bifilaire sera déterminé le plus souvent par les oscillations, et la valeur expérimentale renfermera en bloc toutes les corrections. Les formules qui précèdent ne seraient utiles que si l'on voulait calculer le coefficient du bifilaire au moyen de ses dimensions.

La suspension bifilaire a sur l’unifilaire l'avantage d'être beaucoup moins sensible aux variations de la température, car le seul effet est la dilatation qui modifie les distances des points d'attache et la longueur des fils. Le coefficient de torsion étant proportionnel au produit des deux premières longueurs et en raison inverse de la dernière, il serait possible, par un choix convenable de la nature des corps, d'établir une compensation complète ; mais cette précaution est superflue. Si les fils et les traverses sont en un même métal, la variation est proportionnelle au coefficient de dilatation : elle n’est pas le trentième de celle qui résulterait, pour l'unifilaire, du changement d'élasticité correspondant à la même variation de température.

553. Comparaison de l'unifilaire et du bifilaire. — Supposons qu'on veuille suspendre un système de poids P, en lui donnant une force directrice déterminée.

Si l'on fait usage d’un bifilaire à fils parallèles de diamètre d et distants de a, on aura

c'= + ne

Le diamètre du fil étant déterminé, comme plus haut, par

la condition que la tension soit àT, il en résulte

Pour la même charge, l’umifilaire doit avoir une section double, c'est-à-dire un diamètre égal à dV2, et le coefficient

de torsion est C—4p.—; par suite