OI 2V, A

JET TE les Da )e Sp l px Vr G) = Vs je paxVr

Ce courant est en raison inverse du produit ax, c'est-à-dire du cube de la distance. L'époque # du maximum a lieu pour la condition

La durée de propagation de l'onde devient presque moitié moindre quand on l’évalue par le maximum du courant au lieu du maximum de potentiel.

851. Contacts alternatifs. — On déterminerait encore, par une construction graphique ou par le calcul, l’onde due à la communication alternative de l’origine du fil avec des sources de potentiels + V, et — V,, égaux et de signes contraires, pendant des temps égaux ou inégaux. Les courbes de la figure 265 correspondent ainsi aux potentiels produits par une série de contacts alternatifs qu'on peut résumer dans le tableau suivant :

Durée des contacts.

Courbes. ———— — ce — + I a a IT a a a ITT D 2 a IV 2 4 a V 34 2 a VI 34 a VII 34 24 a

Par un choix convenable de ces durées de contact, on ob-

tient ainsi une onde beaucoup plus courte et le fil est ramené rapidement à l'état neutre après son passage. Supposons que le potentiel à l’origine ait des valeurs alter-

natives + Viet — Vo, pendant des temps très petits +, et que l'opération soit répétée un certain nombre de fois.

Pour deux courants successifs d'ordres 2 p + 1 et 2p +», le potentiel transmis est

U(t— 2prz)—Uft—(2p+i):]=7 7 U(t—2pr)=T——-

Si le nombre total des contacts est pair et égal à 2», le potentiel U, à la distance x a pour expression

RATS ER io (ES ENS ns je Fr (8) Ur A 25 (2 7°? — dre

Électr. et Magn. — u. 50

Ce potentiel U, est proportionnel au nombre des opérations et en raison inverse de la quatrième puissance de la distance. L'époque #, du maximum a lieu pour la condition

Il resterait encore à traiter le problème plus général où le potentiel à l’origine varie suivant une loi quelconque, que l'on représentera par une suite de termes de la série de Fourier. On a traité déjà la question particulière d’un potentiel qui varie suivant une loi sinusoïdale (170), auquel cas il existe une véritable vitesse de propagation.

858. Fil limité. — Pour passer au cas d'un fil OE de longueur limitée / (fig. 266), dont l'extrémité E communique avec le

Fig. 266.

sol, considérons un fil indéfini X'X sur lequel on supposera deux séries de sources, à des distances successives égales à 2/; les premières O;, O2, .… sont identiques à la source donnée qui existe au point O, et les autres O', O0”, 0”, ont la même valeur numérique changée de signe.

Toutes ces sources, O et 0’, O, et O0”, ..…, étant deux à deux symétriques par rapport au point E et de signes contraires, le potentiel en E sera toujours égal à zéro. De même, toutes les sources ajoutées, O, et 0", O2: et 0”, sont deux à deux symétriques par rapport au point O et de signes contraires : le potentiel en ce point ne dépendra que de la source qui sy trouve. La portion OE du fil indéfini est donc dans le même état que si elle était seule.

L'intensité du courant au point P, situé sur le fil OE à la distance x de l’origine O, est la somme algébrique des intensités qui seraient produites en ce point par toutes les sources supposées sur un fil indéfini.

Si toutes les: sources sont portées au potentiel constant V,, la portion : du courant due à la source O et pour l'époque t peut s'écrire, d’après l'équation (5),

Pour les sources situées à gauche, il suffira dans cette expression d'attribuer successivement à x les valeurs x + 2 /, x + 4l,... x + anl. Les sources 0’, 0”, 0”,... donneraient des courants de sens contraires aux précédentes si elles étaient au potentiel V,, mais comme elles ont été changées de signe, les flux d'électricité qu'elles produisent sont encore de même sens ; on devra donc aussi remplacer x par 2/— x...,2nl— x. L'intensité totale I est alors

Via

[= —— pVTé

[...+f(4l+ x) +f(al+ x) + f(x) + a) + fl à) +)

S1 l'on fait x —/, pour considérer le phénomène à l'extrémité E du fil non isolée, l'expression se simplifie; l'intensité est double de celle que donneraient toutes les sources de gauche. La valeur de x dans z? devant être remplacée successivement par /, 37, 51, ..., on aura donc, en posant

(9) I — NUE Le + PE pi Rp HO R EEE,

pyré

L'intensité est nulle d'abord, puisque # s’annule avec t;

à PAEEPA elle croît ensuite vers la valeur limite an La courbe repré - P

sentée par cette série serait assez facile à calculer parce que les termes vont rapidement en décroissant lorsque »# diffère sensiblement de l'unité.

Lord Kelvin a résolu le problème à l’aide d'une autre série plus facile à discuter qui se déduit directement de l'équation générale de Fourier (167).

D'après cette formule, l'intensité du courant à la distance x de l'origine est représentée par l'expression

1 OV Vo He nT | us (en von 0) bent MPa rente D} u2l2 Ua Le 0x — pl | 142 à re cos 1 © |»

qui devient pour + — {, au point qui communique avec le sol,

nn —= œ nm

V y = +142 Ÿ e «EP Cosnr |.

pl n =:

En donnant à » les valeurs successives 1, 2, 3, ..., les cosinus prennent alternativement des valeurs égales à — r et + 1. On peut donc écrire, en posant

r2 1L—— Cas,

(10) 1 — È E —9{(u—u Hu, TE ie F(+).

ot

La série comprise entre parenthèses est convergente, puisque la variable z reste toujours inférieure à l'unité. Lorsque le temps { a des valeurs très petites, x tend vers l'unité et la série est égale à 0,5 ; l'intensité du courant est sensiblement nulle. À mesure que le temps augmente, diminue; la série tend vers zéro, de sorte que l'intensité du courant croît jusqu'à

la vale nee Se

Cette série est d’ailleurs facile à calculer; elle ne différe d’une manière appréciable de sa valeur maximum, et le courant ne devient appréciable, qu'à partir du moment où la quantité 4u est supérieure à 3. En appelant a’ l'époque à laquelle cette valeur est atteinte, on a

HE ee À,

La courbe À (fig. 267) représente, en prenant a’ pour unité

de temps et l'intensité finale pour unité, l'intensité du courant produite à l'extrémité du fil qui communique au sol par un potentiel constant établi à l’autre extrémité.

Pour obtenir l'intensité qui correspond à la communication du fil avec une source à potentiel constant V, pendant un Lemps +, 1l suffirait encore de calculer F(t) — F(t—:), ou de construire géométriquement la courbe dont l’ordonnée en chaque point est égale à la différence des ordonnées des deux courbes F(#) et F(6—:).

Lescourbes "PE MITAIIE, ANNE VIENT fie "267 ); réprésentent ainsi les intensités qui proviennent d'une série de

à 24, 3a..…..., ma ; le phénomène se présente encore comme une onde électrique.

Si la durée du contact est infiniment petite, l'intensité à la distance x est donnée par l'équation

dE d'Ebr dr

J—= 7 —— —7 o — dt PPT 2Vo T- 2 15 , CALE QU) 8) LEE n° UE pl 2p \ 4 gs) CA )

Cette intensité est représentée par la courbe B; elle est

maximum lorsqu'on a

1— 100 +O0Iu8... nur —1...—=0,

équation qui donne sensiblement

3 3 en |éru 20 1—3a* u (:) ou a

Enfin, si l’on veut réduire l'amplitude des ondes à l’arrivée et décharger le fil, on pourra encore mettre l'origine du fil alternativement à des potentiels égaux et de signes contraires, pendant des temps égaux ou inégaux, en la reliant avec l’un des pôles d'une pile.

Les courbes I, IT et IIT de la figure 268 représentent les

ondes d'intensité, pour une suite de contacts alternatifs dont les durées respectives sont :

Durées des contacts.

————>— nn —- Courbes. + — + es I 4a° 4a' Il 572. D: a'

I] n Aa 4

Sans qu'il soit nécessaire d’insister davantage sur cette question, on voit quelle est la nature du problème. Lord Kelvin a fait une application célèbre de ces différentes propriétés dans la construction des appareils, galvanomètre à miroir et siphon recorder, employés pour recueillir les signaux des câbles transatlantiques, et dans l'indication des règles à suivre pour en accélérer la transmission.

8959. Emploi des condensateurs. — Ajoutons encore que, dans la pratiqne, on a trouvé avantageux de maintenir le câble constamment isolé, en reliant chacune de ses extrémités avec un condensateur. La pile de charge électrise l’une des armatures du condensateur placé au poste de départ; l’autre armature, qui communique avec le câble, s’électrise en sens contraire et un flux de même signe que la source se porte sur la première armalure du condensateur situé à l’autre bout. La seconde armature de ce condensateur communique avec un électromètre ou est reliée au sol par un galvanomètre.

S1 le contact de la source à l’origine du câble est continu, l’'électromètre tend vers une déviation maximum ; la déviation du galvanomètre est d’abord croissante et s’annule ensuite, de sorte que, même pour un contact permanent, le phénomène se présente déjà sous la forme d'une onde électrique. On conçoit aisément, d'après cela, que des contacts momentanés et alternatifs, convenablement choisis, soient capables de produire des ondes plus courtes que si le fil eût été directement réuni à la pile. En outre, la charge totale du conducteur dont fait partie le câble est toujours nulle, et le système revient plus rapidement à l'état neutre.

860. Effets d'induction. — D'après la théorie qui précède, l'effet produit par l'établissement d'un potentiel V, à l'origine du fil, paraît se transmettre instantanément à toute distance. Il est vrai que le potentiel transmis reste quelque temps très faible et ne devient sensible qu'après un certain intervalle, mais le fait d'une vitesse de propagation infinie, si faible que soit le résultat observable, est manifestement en contradicion avec la nature des phénomènes physiques ; cette conséquence suffit pour montrer que les hypothèses doivent être considérées comme une première approximation.

On a négligé, entre autres causes, les phénomènes d’in-

duction électrodynamique. Si la ligne est formée par deux fils d'aller et de retour séparés par le même intervalle sur toute leur longueur, où par un fil unique à distance constante du sol avec retour par la terre, le coefficient de self-induction est proportionnel à la distance totale des deux postes, et on peut désigner par À la valeur de ce coefficient qui correspond à l'unité de longueur. La force électromotrice par unité de

0 JE longueur est alors — Ts en appelant I le courant relatif à

la distance x, on a l'équation plus générale

D'autre part, la perte d'électricité

OI LE 4 ’ dx sur l'élément dx

OV V sert à l'accroissement de charge vdx = et au courant — dx

que produit la conductibilité latérale; il en résulte

OLA 0NTOEM tre on p'

L'élimination du courant I entre ces deux expressions conduit à l’'égualion des lélégraphistes :

+. DENTS ) 22V k À\ OV y (10) rat ci ÉqUUE nr Fa: > =

Plusieurs réserves sont à faire encore, car la définition du coefficient de self-induction suppose que le courant a partout la même intensité, et on admet en outre que la capacité conserve le même sens qu'en électrostatique, c'est-à-dire qu'elle correspond à un état d'équilibre et que la distribution est uniquement superficielle; ces hypothèses sont évidemment inexactes quand il s’agit d’un état rapidement variable.

Lorsque les pertes latérales sont négligeables, l'équation se réduit à la forme plus simple