B= 22 0B) BB. PRIE SEE
D'autre part, le coefficient M ne change pas quand on permute les circuits, c’est-à-dire quand on remplace a par a+ y étrpa , et cette fonction doit satisfaire à l'équation (20), qui devient
PLU ROC Ps OP No Vase dr
Ces deux conditions fournissent le nombre d'équations nécessaires pour déterminer les coefficients ; on trouve ainsi
2432? y3+3yx? 4 Ne a[i+i2+I EE + 1
17 3y2—x 3 6yx° BG EE ER RE PAPE | ie Far 10 a? A9 a 4 |
Dans le cas de deux cercles égaux, y —0 et il reste
(23) M= gra | 1+ JL oSAUS fe Te —hral a+ +. |
989. Self-induction d'une bobine. — On est ainsi conduit à déterminer l'induction propre d'une bobine, à enroulement homogène, au moins tant que les dimensions de la gorge sont très petites par rapport au rayon moyen.
Considérons, dans la section méridienne de la gorge, la trace P d'une spire de rayon a. À part les termes de correction, le flux de force émis dans cette spire par les courants
COEFFICIENTS D'INDUCTION. 151 relatifs à un élément dx dy de la section, situé à la distance r " > / > 5 4 du point P, est 4ran;n:dx dy | £. Ne
Le flux total relatif à la spire considérée est l'intégrale de cette expression étendue à toute la section w, c'est-à-dire
s=éramn [f(s. 2) dEUY:
Pour l'ensemble des spires correspondant à l'élément de surface dx'dy' au point P, le flux a pour valeur on;n:dx dy . Enfin le flux total relatif à la bobine entière, ou le coefficient de self-induction Z, est l'intégrale de celte expression étendue à la section w.
En supposant d'abord que la quantité & est une constante, égale au rayon moyen, on peut écrire
# \ L=iranini [ff (2-2 )arar de dr —iraniniut(£.8a—)—{rantni | [[[2.rdrdydx ay.
Comme le produit z,n:w représente le nombre total N des spires, 1l en résulte, en posant
ws.R= || |} AMOR CEE ff 2.rasas’,
RSA (25) LE Ar à N° (er 2)
Le coeflicient de self-induction de la bobine est donc égal au produit par N°? du coefficient d'induction mutuelle de deux cadres circulaires concentriques, de rayon a et a+R, ou de cadres égaux de rayon a, ayant même axe et situés à la distance R, laquelle est la moyenne distance géométrique de la section de gorge w.
Si la gorge est rectangulaire, de dimensions 2b et »c, la
quantité entre parenthèses, que nous représenterons par à, a pour valeur (581)
Aa 1|c°? V2 DO 0R c?
PT m3. | —£L. — + —<£. FIG:
GIE mere ne
DTING b b C I ls SANT Rens 4 ANS PeErt
Le terme complémentaire À, ne dépend que du rapport » des longueurs c et b; il ne change pas quand on permute ces deux dimensions et peut s’écrire
1 jt
I I 4 Lhedi= 8 maretg à + aretgm ) me. (1+ : ; m Im u me?
Il suffit de connaître les valeurs de À, correspondant à des valeurs de #7 plus petites que l'unité; on abrégera beaucoup les calculs au moyen de la table suivante :
m V m A0 oO 0,90000 0,90 0,79600 0,0) 0,94899 0,9) 0,80819 0,10 0,99243 0,60 0,81829 0,19 0,63102 0,65 0,820648 0,20 0,66520 0,70 0,83311 0,2) 0,69532 0,79 0,83831 0,90 0,72172 0,80 0,84229 0,90 0,74469 0,89 0,84309 0,40 0,76454 0,90 0,84097 0,45 0,78199 0,99 0,84801 0,90 0,79600 I 0,84834
Si l'on prend comme point de départ la formule plus
approchée (22), le coefficient de self-induction de la bobine rectangulaire peut se mettre sous la forme
L—isaN a+].
avec les valeurs suivantes pour le premier terme de correction :
PRE CS RMI en 2Â V&?+ec?. À REX : De Ca np En me £ lime arcto mn = + In — — LÀ, Re rrgers 2e MI Pr ! FA 40300 50 ICO \ 1977 ô
La valeur de », ne dépend encore que du rapport » el pourra se déduire d’une table spéciale :
m Us m Ur 0 0,1250 0,90 0,3066 0,09 0,1269 0,99 0,3437 0,10 01925 MORE 0,60 0,3839 0,1) 0,1418 0,65 0,4274 0,20 0,148 0,70 0,4739 0,2) 0,1714 0,7 0,5234 0,90 0,1916 0,80 0,9760 0,3 0,2152 0,89 0,6317 0,40 0,2423 0,90 0,6902 0,4) 0,2728 0,99 0,7918 0,90 0,3006 j 0,8102
On aura finalement (!)
(24) L=4TaN? GS) + .
24 a° Vb?+ ce? 4a°
090. Bobine de self-induction maximum. — On peut alors se proposer de résoudre le problème suivant: le fil étant donné, et la section de la gorge devant rester semblable à
(1) STerAN, Silzb. der K. Ak. d. W. Wien. Bd LXXXVIII, p. 1201, 1883.
elle-même, trouver les dimensions qui rendent le coefficient de self-induction maximum. La moyenne distance géométrique R varie comme les dimensions linéaires de la section de la gorge; si le nombre »,n, des spires par unité de surface ne change pas, le nombre total de spires N varie comme le carré de ces mêmes dimensions.
Comme on a supposé que la longueur totale du fil est constante, il en résulte
DTA LS Dern dN dR da
ER" 0) — N R a Avec l'expression (22) la condition du maximum devient
Sa tre 7e
Pour une gorge à section circulaire de rayon c, on a
RL. ce OUEN 22 0
et, pour une section carrée de côté c, L'R=EST= 060008, de 1,800:
591. Correction pour l'isolant. — On a supposé implicitement, dans ce qui précède, que les courants sont distribués uniformément dans toute la section de la gorge; mais, si le fil est entouré par une substance isolante, ce qui est le cas général, l'intégrale du second membre de la formule (24) doit être étendue seulement à la somme des sections des fils. La correction qui résulte de l'écartement des fils est évidemment proportionnelle à la longueur totale du fil, et peut être calculée pour l'unité de longueur.
Remarquons d’abord (582) que l'induction propre est plus grande pour le fil nu, de rayon y, que pour un fil carré circonscrit à la couche isolante, dont le côté est 2(»7 +2), la différence par unité de longueur étant (e.” Era 0,13806 ) -
En second lieu, l’action éprouvée par un fil, de la part de ceux qui l'entourent, est plus petite pour des fils cylindriques en contact que pour des fils carrés juxtaposés occupant le même volume; en réalité, il suffit de tenir compte des fils Les plus voisins.
Considérons, par exemple, le fil qui occupe le centre d'un carré de neuf fils, l’action de tous les autres étant négligée comme insensible. Pour deux sections circulaires, la moyenne distance géométrique est celle des centres ; pour deux carrés voisins parallèles, le rapport de la moyenne distance géométrique à celle des centres est 0,99401 ou 1,001: suivant qu'ils se touchent par un côté ou un sommet. Pour quatre des fils considérés plus haut, la moyenne distance géométrique doit donc être divisée par o,99401 et pour les quatre autres par 1,0011; pour les huit, pris ensemble, par la moyenne 0,9975 des deux facteurs, dont le logarithme népérien est —0,002465. Le produit de ce nombre par 8 étant 0,01971, la correction pour l'unité de longueur devient finalement
2 2.2 E + 0,13806 — 001971 | =] 2. Frise + 0, 11835 |
Si M désigne le coefficient d'induction mutuelle de deux spires dont le rayon esi égal au rayon moyen et la distance égale à la moyenne géométrique des distances de tous les points de la section, L la longueur total du fil et N le nombre des spires, le coefficient de self-induction sera finalement
(26) fo N'M+aL| 2 +0,11835 |.
592. Actions réciproques. — Lorsque deux circuits À et A’ parcourus par l'unité de courant éprouvent un déplacement relatif infiniment petit, le travail des actions électrodynamiques (327) est égal à la variation correspondante dM de leur coefficient d'induction mutuelle. L'un des circuits étant supposé fixe, si l’autre se déplace parallèlement à l'axe des x, et que À soit la composante suivant cet axe de l’action réci-
proque, supposée répulsive, on a, par la considération du travail correspondant,
dM = 2 YO EPL
De même, si C représente le moment du couple de l'action réciproque par rapport à un axe, le travail relatif à la rotaüon d0 de l’un des circuits autour de cet axe est
Lorsque les deux circuits sont des bobines de révolution autour du même axe, que nous prendrons pour axe des x, l’action réciproque est parallèle à l'axe, par raison de symétrie ; cette action étant nulle pour une position convenable des deux circuits (la position concentrique, par exemple, pour deux bobines cylindriques), et aussi nulle à une très grande distance, elle passe par une valeur maximum qui correspond PAOA 02M à la Condition ——0 ou =-=—=0
OL 0x?
593. Deux courants circulaires. — Pour deux courants circulaires de rayons & et a° de même axe et de même sens, situés à la distance x, la valeur de M peut être exprimée en général au moyen des fonctions elliptiques (686). En tenant compte
OF , dE RÉ ne des valeurs de 5x °t 57 on trouve que l'action réciproque, considérée comme attractive, est
rkx 2 — #2 TX 1 (27 = QFf——E )—— sin rfi je} (27) ni 1—#° JE Vaa' 5 COSY RE
Le secondmembre de cette équation se déterminerait encore par les tables de Legendre. Pour rendre les applications plus faciles, L. Rayleigh (!) a calculé la table suivante pour des
Al 0
valeurs de l'angle y variant de 55° à 70°.
(1) L. RayzeiGn, Ph. Tr. LR S,,-tCEXXV,MPLII,"p: 425: 1885;
Table de Log. siny[2F—(1+sec?y)E].
Fi ryEp
2832194 2884843 29379533 2990263 3043035 3095854 DAT] 3201621 3254571 3307575
3360628 3413729 3466879 3520081 39 73330 3626642 3680004 RAS 3786896 3840425
6676045 6734371 6792833 6851433 6Garo170 6969043 7028055 7087220 7146529 7205985
Si l’on remplace les cercles par deux bobines et qu'on représente par f(a,a',x) l'attraction relative aux cercles moyens,
l'attraction des bobines sera encore représentée par la formule (16) du n° 586.
594. Emploi des séries. — Les calculs sont souvent plus rapides quand on a recours aux développements en série. La valeur moyenne du champ produit, sur un cadre circulaire de surface S', par un système de même axe, étant représentée par X», le coefficient d'induction mutuelle est X,,S'et l'action réciproque OXm
ne 0x
Si le circuit A est une circonférence de rayon a, l'attraction exercée sur un circuit de rayon &° à la distance x est ainsi, avec u?— a? + x? (584),
19 Var ne (ASUS L'OMEUT (28) NT) PES nl
L'’équation (33) du n° 5714, qui convient surtout aux petites valeurs de la distance x, donne encore, en appelant S la surface ra?,
6SS" 1 CMS TDR ni — —X ARR AIT CES MN a AN AE ee DA LIT 12 ra 2 pr % REZ” BMD TER DTA OX (29) (3.5 RE ) RER CL PEU le ) a
CR EST TT Le Lee) tn UE ont Aire )+
On obtient enfin par l'équation (35) du n° 571, particulièrement applicable pour une grande distance,
Re x D Nr DUT.
DA 4 COR 2,92? x? (5 un. de ) 3 NET PE 0 Re, (30) + (4 / ss 1 PRE pre
À mesure que la distance x des deux cercles augmente, l'action est d’abord proportionnelle à cette distance; elle devient ensuite en raison inverse de la quatrième puissance, ce qu'on pouvait voir a priori par l'assimilation des courants et des feuillets magnétiques.
D'une manière plus générale, si le coefficient d'induction mutuelle de deux courants circulaires parallèles et de même axe est exprimé à l’aide des polynomes X,, on a, en utilisant l'équation
(i—p2)Xi—opX,+n(n+ HN 0
Re ere) ja).
SE RE u° x Mu DA TAN ET 7
S1 le circuit À est une bobine à gorge rectangulaire de dimensions 20, 2c et de rayon moyen a, l’action moyenne sur le cercle A’et l’action réciproque des deux systèmes se calculeront de même par les séries (34), (35) et (36) du chapitre précédent; mais il pourra être utile dans certains cas de pousser plus loin le développement par rapport aux puissances croissantes de x.
Ces expressions ne sont plus assez convergentes quand il s'agit de deux courants circulaires très voisins et de même ordre de grandeur; on peut employer alors la formule (22). On en déduit, avec les valeurs trouvées pour A et B,
(3) X= 4rar] à (te sh …)
24 16a? 32 a à V r I 2Y | At ie re “en ’ ga Rx ) na a ps |
et, lorsque les cercles sont égaux,
a \1 vis Ana 5x? 3x2 ou
595. Deux bobines. — Pour deux bobines à gorges rectangulaires, on pourra employer les fonctions elliptiques (593) ou les développements en série.
Si on remplace le circuit A’ par une bobine à gorge rectangulaire de dimensions a',»b',2c",n;,etn,, on multipliera l'une des expressions trouvées dans le paragraphe précédent par le produit »,n, dx dy, en effectuant ensuite la double intégration entre les limites ordinaires a'—c'eta'+c', x—b" et x+b'.
