PEN CS

Comme la position relative de l'aimant et du cadre reste invariable, le facteur G sinf est constant, de sorte que le courant est simplement proportionnel à la torsion 6.

Lorsque le réglage est imparfait, on peut rectifier l'appareil par la condition qu'en remplaçant l'aimant par un barreau de cuivre du même poids la position d'équilibre ne soit pas modifiée, mais ce contrôle n’est pas nécessaire. Si l'aiguille fait d'abord l'angle « avec le champ extérieur, comme si le fil avait reçu une torsion préalable 64, la même équation (3) se retrouve par la différence des équations suivantes, qui correspondent aux équilibres primitif et final :

(4) HM SINGy—+ C(0 er 0); (2) IMG sin $ + HM sin ay = C(0 + 05 — ay).

Cette méthode, employée par Ohm (‘), a surtout l'inconvénient d'exiger une manipulation qui trouble l'appareil chaque fois que l'on touche au fil pour arriver à la position de repère; il faut ensuite attendre que les oscillations s’amortissent, ce qui entraîne des pertes de temps. En outre, si les courants ne sont pas absolument invariables, il est nécessaire de procéder à une série d'épreuves alternatives pour en éliminer les variations.

On peut encore déterminer les erreurs de réglage « et 66. L'appareil n'étant soumis qu'au champ extérieur, on donne au fil deux torsions différentes 0 et 0’, pour lesquelles on observe les déviations correspondantes « et «.

Les équations d'équilibre deviennent

HM sin (a + 40) = C(0 + 06— 29 — «), HM sin (@ + %o) — C(0 + Ur 2 Eee a!).

(1) Onu, Pogg. Ann., t. IV, p. 79; 1825.

MESURE DES COURANTS, p.43 da :

En les combinant avec (4), on en déduirait les angles 0 et %, ainsi que le rapport : du coefficient C au couple directeur MI. Si l'écart primitif est assez petit pour que le carré soit négligeable, on trouve alors

{ J Te , x sin % Sin? — — sin sin?

MH x e

(9° — x )sin? + (0 — x) sin?

Die

Enfin, lorsque les angles « et x sont eux-mêmes très petits, il reste simplement

(6) NT Er

On utilisera cette relation (6) pour déterminer la valeur du rapport e relative à la suspension des aimants dans les galvanomètres. Un moyen très simple de produire alors la torsion auxiliaire 0, sans l'emploi d'un cercle gradué, consiste à faire tourner l'équipage d'une circonférence entière par un aimant extérieur, auquel cas 0 — 27. Ce genre de correction n'est d’ailleurs nécessaire que si l’on veut évaluer les courants en mesures absolues.

La suspension bifilaire conduirait à des calculs analogues ; nous y reviendrons à propos des cadres mobiles.

617. Boussole des sinus. — Dans la boussole des sinus, imaginée par Pouillet ('), la position relative de l'aiguille et du cadre est maintenue invariable et on donne à l'ensemble du système une direction telle que l’action de la Terre et celle du courant se fassent équilibre.

L'instrument se compose d’un cadre qui peut tourner autour d'un axe vertical sur un cercle gradué; l'aiguille repose sur un pivot au centre du cadre, et un repère permet de constater que, dans les différentes expériences, elle se trouve ramenée à la même position par rapport au cadre. À cet effet, l'aiguille porte, par exemple, une lame d'ivoire perpendiculaire à sa direction, sur laquelle est marqué un trait qui se meut en face d'une échelle divisée.

(4; PouizeT, C. R. de l’Acad. des Sc., t. IV, p. 267; 1837.

En appelant à l'angle dont on a tourné l'appareil pour ramener l'aiguille à sa position de repère, quand le cadre est parcouru par le courant I, et £ l'angle constant de l'aiguille avec l'axe du cadre, on a

IMG sin£ — MH sinà,

(=) = -—— sin? — I, sini. s (x sin £

Le courant est proportionnel au sinus du déplacement du cadre. La méthode ne permet pas de mesurer des courants H G sin Ê?

augmenter cette valeur limite, autant qu'on le veut, en fai-

sant varier l'angle $ qui détermine le choix du repère.

La boussole des sinus n'est guère employée à cause de la nécessité de toucher à l'instrument pour chaque observation; on peut l'utiliser avec avantage pour la graduation comparative des galvanomètres ordinaires.

M. Th. Gray (!) a fait de cette boussole un instrument absolu en plaçant une petite aiguille au centre d'une bobine longue à enroulement simple. D'après l'équation (35) du n° 571,

on a alors 72 1/9 27 G= gen? + pe)

Le troisième terme de la série est déjà négligeable quand la longueur de la bobine est 10 fois son diamètre. La bobine est montée sur un cercle gradué; à l’une des extrémités se trouve une échelle divisée, à l’autre une lunette. L'aiguille porte un miroir et l'image de l'échelle se réfléchit sur un second miroir fixe dans lequel on vise avec la lunette; l’une des divisions de l'échelle sert de repère. On s'assure d’abord que l'aiguille est sensiblement perpendiculaire à l’axe de la bobine, £ — 00°, en vérifiant que des courants de sens contraires produisent les mêmes déviations de part et d'autre.

dont l'intensité soit supérieure à 1,—-——, mais on peut

1) Tu. Gray, Ph. Mag. [5}, t. XXII, p. 368; 1886. — J. de Phys. [2], t. VI, p. 247; 1887.

L'équation (3) donne alors le courant I en fonction de la composante H du champ terrestre.

618. Boussole des tangentes. — Lorsque le champ électromagnétique GI et le champ extérieur H sont rectangulaires et tous deux uniformes dans la région occupée par l’aimant mobile, le courant IL est proportionnel, d’après l'équation (!), à la {angente de la déviation.

La boussole des tangentes, que l'on doit aussi à Pouillet, a été fréquemment employée pour la mesure absolue des courants ; 1l est alors nécessaire de faire toutes les corrections de réglage.

Si le champ GI fait l'angle 8 — 90°— x avec la direction du champ extérieur H, on déterminera les deux déviations à et à de sens contraires qui correspondent aux directions opposées du courant dans la bobine.

On déduit alors des équations d'équilibre

(8) Glcos(d + à) — Hsinô, GI cos(à — à) — Hsin?,

NU

(9) Geo (° 5 +0

—— +) ne tango

Lorsque la différence > — 3 est assez petite pour qu'on en puisse négliger le carré, l'angle + est du même ordre de grandeur, et on a sensiblement

H (9) = A tang —

Il suffit alors de considérer, comme déviation normale, la moyenne des deux lectures à et >. On obtiendrait d’ailleurs, par l'élimination de l'angle + entre les équations (S),

CE H? (tg9 —tgô) + Atg"0tg à G (te 2 + tg0)?

En outre, si la torsion du fil qui porte l'aiguille n'est pas négligeable, on déterminera (616) le rapport < du coefficient C au couple directeur MH. En appelant « l'angle primitif de

l'aiguille avec le méridien et 0, la torsion correspondante, la première équation d'équilibre devient

IMG cos (à + à + 09) = MHsin (à + &0) + C(à + 06 — &).

Remplaçant C par MH et opérant de même pour la seconde observation, on aura

IG cos (à + à + &5) = H[sin(? + &0) + (à +05 — %0)|,

IG cos(d — à — à9) = H[sin(> — à) + e(3 — 05+- &)|. Lorsque les écarts à — «, sont très petits, 1l en est de même

pour la différence — 3"; on en déduit, en négligeant les termes

de second ordre,

re IG . dE) de SAME CE C — —tang = PRE (9) H Se D) CEE) cos

Pour une bobine à gorge rectangulaire, la constante galvanométrique G, relative au milieu de l'aiguille est donnée par l’une des équations (10) ou (11) du n° 560, suivant qu'elle est au centre de la bobine ou excentrée sur l'axe à la distance x; on remplacera alors G dans l'expression du courant par Go(1 + y). Si le défaut de centrage x et la longueur magnétique 2 / de l'aiguille sont assez petits pour qu'on puisse se borner aux termes de second ordre, la correction y est, en appelant a le rayon moyen de la bobine (574),

AT sine rie us

Éd ñ Us

et, pour une aiguille centrée,

3 x 0 le — (1 — 5 sin?) ER

(10) cr =

La longueur 2 / est assez difficile à évaluer en général, mais pour un barreau court et cylindrique on peut admettre (576)

que le pôle est situé au tiers de la demi-longueur à parür de chaque extrémité.

Lorsque l'angle à varie de zéro à 45°, la valeur absolue du

SN

facteur 1 — 5 sin?3 reste inférieure à 1,5. Si donc le rapport

cs — ?} est de l’ordre des erreurs expérimentales, ou du moins

de l’approximation que l’on veut atteindre, la loi des tangentes sera applicable dans le même intervalle.

Dans l'instrument primitif de Pouillet, le cadre était formé par un cercle unique de 25 à 30 centimètres de diamètre, avec une aiguille de 7 à 8 centimètres de longueur posée sur un pivot et portant un index mobile sur un cercle gradué; le rapport À était alors d'environ 0,08 et le terme de correction de même ordre.

L'inexactitude de la loi des tangentes dans cet appareil fut d’abord mise en évidence par les expériences de Despretz (!); Blanchet a calculé les termes de correction.

Les variations correspondantes du courant et de la déviation donnent, avec la formule simple (1),

25 dI D # ST +: do)

H cos GuidS [l sin 20

Die

Pour une même variation relative du courant, le déplacement de l'aiguille est proportionnel à sin 23. La condition la plus favorable correspond donc aux déviations voisines de 4, pour lesquelles GI — H; le déplacement d3 est alors la moitié de la variation relative du courant. Entre les déviations de 30° et 60°, où le courant varie du simple au triple, la sensibilité reste à peu près la même.

Afin d'étendre les limites d'observation, Bertin (?) place le cadre à 45° du champ extérieur et dirige le courant de manière que l'aiguille soit ramenée vers le cadre. On a alors

: G , H sin = GI sin(45" +2) — Si (cos + sind),

ms

Hé sin d(sinà + cos à) À

d\ dd

(1) DesPrerz, C. R. de l’Acad. des Sc., t. XXXV, p. 449; 1852. (2) BERTIN, Ann. de Ch. et de Phys. [4], t. XVI, p. 25; 1869.

Entre les déviations de 45° et 90°, le dénominateur de la dernière fraction reste voisin de l'unité; la sensibilité relative est doublée et l'appareil convient à des courants plus inégaux. Toutefois cette disposition ne permet plus aussi facilement d'éliminer les défauts de réglage.

M. Grassi (!) a proposé d'employer deux cadres rectangulaires, dont nous désignerons les nombres de tours par N et N°, les rayons moyens étant a et a. Le plan du premier étant parallèle au champ extérieur, la condition d'équilibre, abstraction faite des termes de correction, est

T S PRET NS T TUE à 1 N cosû N sin N N'a Hsinè —7TlI 212 —'orl 21 COS LE SIMON [ a a

a a N I Ha sin à Ha Sin Ô PoEN SONT OT NacOsS Din e COS + —— sin?

Si les cadres sont identiques, ou p = 1, les conditions de sensibilité sont les mêmes que dans le cas précédent.

Dans la boussole employée par Joule (?), l'aiguille, formée d'un petit barreau de 5 à 6 millimètres de longueur, était suspendue par un fil de cocon au centre d’un cadre de #5 centimètres de diamètre ; la correction est alors voisine de 0,001 même avec une déviation de 45°. Pour la lecture des déviations, l'aiguille portait un fil de verre dont l'extrémité se déplaçait au-dessus d’un cercle gradué. Le frottement de ce fil dans l'air produit un amortissement énergique et la moyenne des lectures, après inversion du courant, donnait la mesure de la déviation avec une erreur moindre que 2.

On préfère maintenant disposer les appareils de manière à obtenir des déviations très petites, sauf à rendre les lectures plus précises par la méthode du miroir; la valeur de y est alors sensiblement constante.

La bobine de Gaugain (575), à enroulement conique, supprime le terme de correction du second ordre quand l'ai-

(1) Grassr, Nuovo Cimento, t. XXX, p. 120; 1891. — Journ. de Phys. [3], t. I, p. 576; 1893.

(2) Joure, Brit. Ass. Rep., Cork, 1843; Scientific. papers, t. I, p. 404,

cuille est située au sommet du cône ; ce mode de construction présente des difficultés pratiques et une dissymétrie qui l'ont bientôt fait abandonner.

Les deux cadres égaux de Von Helmholtz (576) font disparaître le terme du second ordre quand la distance des cadres est égale au rayon moyen, et même le terme du quatrième ordre qui dépend de la bobine, par un rapport convenable des dimensions des gorges.

Enfin les bobines à plusieurs cadres (577 et 578) donnent encore d'autres solutions pour obtenir que le champ électromagnétique soit sensiblement uniforme, mais ces dispositions paraissent avoir été rarement utilisées.

W. Weber (!) a placé aussi l'aiguille aimantée en dehors de la bobine et dans une position principale, sur l'axe ou dans le plan moyen, l'axe étant d'ailleurs perpendiculaire au méridien ; on peut alors utiliser les formules du n° 559.

619. Remarques générales. — Dans la plupart des applications on cherche surtout à obtenir une grande sensibilité, en même temps que des lectures rapides et faciles.

Si le champ électromagnétique GT fait l'angle & avec le

champ extérieur H, la déviation 3 satisfait à la relation GI sin (f—3) — H sin à.

Tant que les écarts sont très faibles, les facteurs G et H restent constants ; la déviation relative à un courant déterminé est proportionnelle à G et en raison inverse de H.

Pour augmenter la constante galvanométrique G du cadre, il faut rapprocher les spires autant que possible de l'aiguille et donner à la gorge une forme telle que le contour soit voisin de la courbe u? — c? sin0 (663); il serait encore préférable de distribuer le fil par couches satisfaisant à cette condition et dans chacune desquelles le diamètre du fil augmente comme le paramètre c (564). Enfin on se sert d'aiguilles très petites pour réduire au minimum la cavité centrale et conserver les spires dont l’action spécifique est la plus grande.

Ajoutons que la résistance de la bobine contribue, toutes

(1) Weser, Electrodyn. Maasbestimmungen, t. I. p. 15 ; 1846.

choses égales, à diminuer l'intensité du courant; il est donc très important de n'employer dans sa construction que du cuivre très pur et surtout exempt de fer. La présence de matières étrangères diminue très rapidement la conductibilité du cuivre. Les traces de fer donnent lieu à des actions locales qui deviennent considérables dès que la masse des fils se rapproche beaucoup de Paiguille ; les perturbations dues à cette cause sont très irrégulières, elles ont été pendant longtemps une source de difficultés dans l'emploi des galvanomètres de grande sensibilité.

Plusieurs dispositions peuvent être utilisées pour diminuer le champ extérieur. On combine généralement le champ terrestre avec celui du barreau auxiliaire situé de manière que son champ magnétique soit sensiblement uniforme et horizontal dans la région qu'occupe l'aiguille.

Si le rapport des champs de la Terre et de l’aimant est voisin de l'unité, le champ résultant est à peu près bissecteur de leur direction; 1l tend à devenir perpendiculaire au méridien magnétique lorsque les deux champs sont dirigés en sens opposés.

Dans ce cas, les indications de l'appareil sont affectées par les moindres variations d'intensité ou de direction des champs composants ; les simples changements diurnes de déclinaison ou de température suffisent pour modifier la position d'équilibre de l'aiguille.

L'aimant compensateur est ordinairement porté par une tige verticale placée sur le galvanomètre dans le prolongement de l’axe de rotation de l'aiguille. Une vis de pression permet de le fixer sur cette tige à une hauteur quelconque et une vis tangente fait tourner la tige elle-même autour de son axe. On donne à l’aimant la forme d'un arc de cercle pour avoir un champ plus uniforme dans la région comprise entre les deux pôles, et pouvoir au besoin placer ces pôles sur le prolongement de l'aiguille.

Certains appareils portent deux aimants centrés sur l'axe de rotation, avec des dispositions mécaniques qui permettent de modifier l'angle qu'il font entre eux et la direction de leur bissectrice. On peut ainsi faire varier beaucoup l'intensité du champ auxiliaire, en même temps que sa direction.

Un second procédé consiste à employer, comme Nobili (!) l'a fait le premier, un système d’aiguilles astatiques (225). L'action de la terre sur le système peut être réduite à volonté ; en plaçant dans l'intérieur du cadre une seule des aiguilles et laissant l’autre à l'extérieur, l’action du cadre sur l’aiguille extérieure reste de même sens que l’action principale.

L'appareil est plus symétrique quand on emploie deux cadres superposés, avec une aiguille au milieu de chacun d'eux, et qu'on fait passer le courant en sens contraires dans les deux bobines. Comme un système presque astatique tend à se placer normalement au méridien, cette propriété, ainsi que la durée des oscillations, permet d'apprécier le degré de compensation du système.

Gauss (?) portait aussi le barreau par une suspension bifilaire de coefficient C, de manière que sa position d'équilibre restât dans le méridien, mais dans une direction opposée. Le couple directeur résultant est alors C— MH; cette différence peut être rendue très petite, mais la disposition expérimentale est moins commode que les précédentes et ne convient qu'aux aimants très lourds.

620. Amortissement. — Avec des instruments non amortis les observations sont longues et fastidieuses. Bien qu'il ne soit pas nécessaire d'attendre le repos complet de l'aiguille, encore faut-il, pour déduire la position d'équilibre de trois élongations consécutives (540), que les amplitudes soient suffisamment réduites. Lorsque les galvanomètres ont un amortissement propre très faible, on peut arrêter l'aiguille par l'action d'un petit aimant tenu à la main qu'on manœuvre d’une manière méthodique pour contrarier les oscillations; il est commode alors d'employer un aimant articulé en forme de compas, dont l’action devient insensible quand les deux branches sont rapprochées au contact. On trouve souvent plus d'avantage à installer auprès du galvanomètre une petite bobine, dans laquelle on lance à propos le courant d’une pile auxiliaire, dans un sens ou dans l'autre, au moyen d’une clef placée sous la main de l'observateur. Toutefois, pour les gal-

() Nom, Memorie ed osservazioni, vol. I, p. 1; Firenze, 1834. — Le galvanomètre de Nobili a été construit en 1825.

(2) Gauss, Œuvres, t. V, p. 367; Resullate des M. Vereins, t. 1; 1837.

vanomètres usuels, 1l est préférable que l'instrument ait par lui-même un amortissement notable.

L'amortissement naturel des oscillations est dù à la résistance de l'air et aux courants d’induction développés par le mouvement de l’aimant, soit dans les fils de la bobine, soit dans les masses métalliques voisines.

L'amorlissement par l'air peut être très grand, comme dans la boussole de Joule (618). On munit quelquefois l'aiguille d'ailettes en aluminium ou en mica qui augmentent beaucoup le frottement; ce moyen est encore plus efficace quand les ailettes sont enfermées dans une boîte et très rapprochées des parois.

Dans la plupart des galvanomètres, la résistance propre de la bobine est assez grande pour que les courants induits n'interviennent que pour une faible part dans l’amortissement des oscillations.

Depuis la découverte de Gambey (466), on place souvent ou dessous ou autour de l'aiguille une masse de cuivre très épaisse, et, par suite, très conductrice. Cette disposition peut être appliquée avec avantage à tous les instruments.

Pour que le rapport du moment magnétique au moment d'inertie du système mobile reste aussi grand que possible et pour éviter toule pièce accessoire, W. Weber s'est servi, comme aiguille, d'un petit miroir circulaire en acier, aimanté suivant un diamètre, et oscillant au milieu d'une cavité ménagée au centre d'une sphère en cuivre rouge très épaisse ; cette sphère forme un écran conducteur (392) entre l’aimant et la bobine. Avec une sphère de cuivre un peu épaisse, n'ayant de solution de continuité que pour le passage de la lumière, et une aiguille très aimantée, 1l est facile d'obtenir un mouvement apériodique (543).

Dans les galvanomètres de Siemens, l'aiguille est souvent remplacée par une sorte d'aimant en fer à cheval, ayant la forme d'une cloche cylindrique échancrée dans une partie de sa longueur suivant un plan diamétral. Cette cloche tourne autour de son axe dans une cavité creusée au milieu d'une sphère en cuivre rouge.

621. Courants induits dans les bobines. — Il est utile, à divers points de vue, de revenir sur le problème, déjà signalé

plus haut (533), de l'amortissement par les courants induits dans le cadre du galvanomètre.

Soit + l'angle que fait le champ extérieur avec le plan moyen du cadre, x, la déviation permanente qui correspond au courant l'etx,+ x la déviation à l'époque £ pendant les oscillations. Le couple que produirait alors l'unité de courant est MG cos (+ x + x); le travail relatif au déplacement dx, ou la variation d2 du flux de force émis par l'aimant dans le circuit, a pour expression

do = MGcos(a+xo+x) dx.

S1 R est la résistance et Z le coefficient de self-induction du circuit, le courant z induit par les oscillations de l’aimant satisfait (374) à l'équation

di x dx 144 LL +Ri+MGcos(a+xo+x) 7 —0.

On a d’ailleurs, pour l'équilibre, (12) MGI cos(a + ro) = HMsinxs.

D'autre part, en appelant C, le coefficient de résistance du milieu, supposée proportionnelle à la vitesse, le couple qui agit sur l'aimant à l'instant considéré a pour valeur

(+ :)MG cos(a + xo+x) — C: & — HM sin (xo + x).

L'équation du mouvement de l’aimant est donc (527)

RAR Es dx (13) Ko + Ci WT

+HMsin(x,+x)=(1+i)MGcos(a+xo+x).

L'élimination de I et # entre (11), (12) et (13) conduirait à une équation différentielle, à coefficients transcendants, même si l’on suppose que la valeur de G reste constante. L'équation se simplifie pour des oscillations très petites autour de la position d'équilibre, mais les coefficients de l'é-

quation différentielle ne deviennent constants que si l'écart + et la déviation initiale x, sont eux-mêmes très petits; on peut écrire alors

\/ di LE CE (11) Le +RI+MG 7 0, + dx dx es. s

Les oscillations de l’aimant autour de sa position d'équilibre sont alors indépendantes du courant primitif I. S1 on pose encore

6, FIM NE =] N° — —— ) 2 K K 2 (22 ne H 2 (14) NE 1j:

et qu on élimine le courant #, on obtient l'équation différentielle linéaire du troisième ordre

dx mur bre e so et Han en L E[—— +OoÀ —— + nr? —— —— +2 H) +7 Tr =,0; dé de? di de? dt Lorsque le circuit est ouvert ouh ="% "0040 = Dee y — o et l'équation se réduit à

dx dx :

—— + 2 À + rnx — 0.

de? di

Dans ce cas particulier, l’aimant n'est soumis qu'au champ extérieur et au frottement du milieu. Si la quantité w? donnée par la relation

est positive (532), le mouvement est oscillatoire avec amortissement; en prenant pour origine du temps une époque de passage par la position d'équilibre, l'écart x peut s'écrire

x = Ae tsinwt.

MESURE DES COURANTS. 223 Pour un circuit fermé, l'intégrale générale de l'équation différentielle est de la forme

x = À,eut + A, cet + Ages,

les différentes valeurs de 9 étant les racines de l'équation du troisième degré

(15) E(p+akp+np)+pt+2+n)p+n—o.

L'une des racines p, est toujours réelle; comme le rapport « est très petit, cette racine est très grande et on a sensiblement €0, + 1 —0o. Les deux autres #2 et »; différent très peu des racines de l'équalion du second degré

Ces racines sont imaginaires quand on an >> A+; nous poserons encore

MH (A+) = n=v0? +2.

L'équation (15) étant mise sous la forme

Cie cf(e)+o(e) =0,

on remplacera & par w + y, pour ces deux racines, y élant une quantité très petite.

Si on développe cette équation par rapport à y par la série de Taylor réduite aux premiers termes, en tenant compte de la relation (16), il en résulte

f{u) __ uu+oiu+nm u?

— —— © ——— = —————;) go (u) NET En er ES ET UHR

p——(À+u) = my=i—oe[r+ V eunr (Æ -n) = |:

nie

Prenant pour origine du temps l’époque où l'aiguille arrive à une élongation d'amplitude 4, les coefficients A;, A: et As

seront déterminés par les conditions suivantes, qui correspondul ai 0