Théorème de IVeamane. — Laloi de LeUZ, d'uUO grande

utilité pratique, donne seulement le sens du courant induit, sans en faire connaître Tintensité. En admettant, comme un fait expérimental, que rinduction qui se produit pendant un temps très court est proportionnelle à la vitesse avec laquelle se meut le conducteur, Neumann a pu donner une théorie complète des courants d'induction qui se produisent dans un conducteur linéaire mobile en présence d'un système magnétique quelconque. 11 a démontré ainsi ce théorème, que nous retrouverons plus loin sous une forme plus générale :

La force électromotrice d'induction est égale au travail qui serait accompli dans funité de temps par le système magnétique ^ si Cintensité du courant dans le circuit induit était égale à funité.

ÉUctr. et Magn. I. — 3«

Mrï ÉLECTROXAGNÉTISME.

•13. Thémrîm d*Hclaili«l«K et de ThoMaon. — L*eiistence deS

yhiuhttïtnts d*induction peut être considérée comme une e^^rif^qij^nce nécessaire du principe de la conservation de Té* oer;rie, combiné avec la loi électromagnétique d^Ampère et la loi <ie hfuh. Cette proposition a été mise pour la première ton #;n lumi^^re en 1847 par M. Helmholtz dans son célèbre luhfihXTH sur la Conserraiion de la force. Sir W. Thomson Hni arrivé «Je son cAté et d*une manière indépendante àu\ tnhiics conclusions.

Omsidérons un système magnétique invariable dans le voifkina^c d*un conducteur fixe S, en communication avec une pile. Si Taimant est immobile, l'intensité L du courant permanent est déterminée par la loi d*Ohm et Ton a, en appelant K la force électromotrice de la pile et R la résistance du circuit,

lin multipliant les deux membres par Ijlt^ on obtient

Cette équation exprime que, pendant le temps dt, Ténergie produite par les actions chimiques est égale à Ténergie calorifique dépensée dans le circuit en vertu de la loi de Joule.

Supposons maintenant qu*au lieu de rester immobile, le système magnétique se dé[>lace en obéissant aux actions électromagnétiques. Le travail extérieur résultant de ce déplacement ne peut être emprunté qu'à la seule source d'énergie qui existe dans le système, c'est-à-dire aux actions chimiques, et l'équation précédente doit être en défaut. D'autre part, aucune raison ne permet de supposer que les lois de Faraday et de Joule cessent d'être applicables; autrement dit, les poids des corps combinés dans les diiïérents couples doivent encore être proportionnels à l'intensité du courant, et l'énergie calorifique dégagée dans le circuit égale au produit de la résistance par le carré de l'intensité. L'intensité du courant n'a donc pu conserver sa valeur primitive.

514. — Supposons que raimant soit déplacé de telle manière que la nouvelle yaleur de l'intensité reste constante. Tant que cette condition est remplie, Texcès du> travail chimique sur rénergie calorifique dépensée dans le circuit, pendant chaque intervalle de temps dt^ sert à effectuer le travail extérieur (Tï correspondant aux forces électromagnétiques. On a donc, en appelant 1 l'intensité du courant,

E\dt=VMt-\-(rï.

Si on appelle Q le flux de Force provenant du système magnétique qui traverse le circuit en entrant par sa face néga tive, on a

dT=\dQ.

En remplaçant rfT par cette valeur dans Téquation (3), et divisant par \dt^ il vient

E=IR

dt

Pour que l'intensité du courant reste constante, il faut, d'après cette équation, que le déplacement s'effectue de manière que

la dérivée -7^ soit elle-même constante.

clt

Les équations (i) et (4) donnent, en posant U— l=i.

On voit que la dérivée -^ joue le rôle d'une force électromotrice, agissant en sens inverse deE, et capable de produire un courant i de sens contraire au courant principal, de telle sorte que le courant résultant I satisfait encore à la loi de Ohm, écrite sous la forme

dt

M4 tLECTROMAGNÉTISXE.

Là quantité -^^ s'tppelle la force électromotrice dinduction:

elle ni égale^ à chaque instant, à la dérivée par rapport au îempn du flux de force magnétique qui traverse le circuii.

Si b ttleur de dQ est posîtiTe, c'est-à-dire si le flux de force togmente, la force électromotrice d*induclion diminue l'inlenMté du courant et le travail des forces électromagnétiques est fiositif. Au contraire, si la valeur de dQ est négative, l'aimant se déplace en résistant aux forces électromagnétiques, et cette opération introduit une énergie nouvelle dans le sys- ' tème ; l'intensité I du courant est alors plus grande qu'à l'état de repos.

BiB. — A chaque instant, la quantité dm ou idt d'électricité induite dans le fil est donnée par l'équation

(7) iRdt = Rdm=zdQ.

Ijà quantité totale d'électricité m correspondant à un déplacement fini, pour lequel le flux de force passe de la valeur Oi à la valeur Q,, est donc

5ie. — L*établissement du courant dans un circuit exige luimôme un travail dont nous n'avons pas tenu compte, et ce travail, sur lequel nous reviendrons plus loin, est une fonction T. de l'intensité du courant. Pendant la période variable, l'énergie des actions chimiques doit Tournir aussi le travail r/^* qui correspond à un accroissement dl de l'intensité. Les équa-* lions (3) et (5) deviennent alors

Eldt=VRdt-hldQ-hdnr,

dt 1 dt

On en déduit, par un raisonnement analogue à celui qui a donné l'équation (8),

(8)' mR=:Q,-Q,-hJ'jdW.

Quelle que soit la loi suivant laquelle se déplace le système magnétique, si Tintensité du courant est la même aux deux limites, le dernier terme de Téquation (8)' est nul. G*est ce qui aura lieu, en particulier, si les limites sont choisies avant et après le mouvement, auquel cas les deux valeurs limites du . courant sont égales à U.

Avec ces restrictions, on peut donc énoncer comme général le théorème exprimé par Téquation (8) :

La quantité totale (^électricité mise en mouvement par le déplacement quelconque d'un système magnétique est égale au quotient de la variation du flux de force qui con^espond à ce déplacement par la résistance du circuit.

519. — Les résultats qui précèdent donnent lieu à quel ques remarques importantes.

1*" On voit d'abord que la force électromotrice d'induction est de nature à s'opposer au mouvement, puisque l'intensité ' primitive de courant est diminuée ou augmentée suivant que le système magnétique obéit ou résiste aux actions électromagnétiques: c'est la loi de Lenz.

2*" Si l'intensité du courant était égale à l'unité, le travail

extérieur accompli dT correspondrait à un travail -r- pendant Tunité du temps. La force électromotrice d'induction i est égale à ce travail : c'est le théorème de Neumann.

3*^ La force électromotrice d'induction est indépendante de la force électromotrice E de la pile; l'induction est donc la même, quelle que faible que soit l'intensité du courant primitif. On peut en conclure que Tinduction doit se produire également quand le conducteur est à l'état neutre, pourvu qu'il forme un circuit fermé. C'est sous cette forme que les courants d'induction ont été découverts par Faraday.

Toutefois, on doit remarquer que, si le courant était réelle- 'ment nul dans toute l'étendue du conducteur, l'action réciproque de l'aimant et du circuit serait aussi nulle, et les considérations précédentes ne permettraient pas de prévoir la production de courants induits. Mais on peut dire que cette neutralité parfaite n'est qu'un état d'équilibre instable, impossible à réaliser pratiquement, et qu'il suffirait d'une cause

506 ÉLECTROMAGNÉTISME.

infiniment petite, une variation de température en quelque ' point du circuit, ou le déplacement d'un corps électrisé extérieur, mcme très éloigné, pour faire naître un courant si faible qu'il fut dans le conducteur et, par suite, permettre a rinduction de se produire.

«18. iioi ipéBéraie de riDduciioM. — Les raisonnements qui • précèdent s'appliqueraient de la même manière, et presque identiquement dans les mêmes termes, aux autres cas de Tinduction.

On le voit d'une manière évidente pour l'induction électrodynamique, c'est-à-dire celle qui serait produite parle déplace-, ment d'un système de courants constants, substitué au système magnétique, puisque nous avons démontré l'équivalence absolue des champs magnétiques produits par les courants et par les aimants.

Dans le cas des courants induits par variation d'intensité d'un aimant ou d'un courant voisin, le résultat peut être consi-* déré comme équivalent à celui qu'on obtiendrait en amenant de l'infini dans la position actuelle, pour le superposer au. premier, un aimant ou un courant identique a la variation considérée.

Quant aux extra-courants, produits par les déformations du circuit lui-même ou par les changements d'intensité du courant principal, l'expérience montre quHls sont liés également, et de la même manière, aux variations correspondantes du flux de force magnétique.

On peut donc considérer comme une règle générale que. toute variation du flux de force dans un circuit, quelle qu'en soit l'origine, correspond à une variation de l'énergie potentielle et donne lieu à la même force électromotrice d'indue-tion que si elle était produite par le déplacement d'un système magnétique extérieur.

Cette conséquence apparaît surtout comme nécessaire, si, abandonnant l'idée des actions à distance, on considère la transmission des forces électriques et magnétiques comme due. à une modification des propriétés élastiques du milieu intermédiaire; on comprend alors que la seule cause prochaine des courants induits dans un conducteur puisse être l'état du

milieu où il est plongé, quelle que soit Torigine des forces qui agissent dans ce milieu. On peut donc formuler de la manière suivante la loi générale des phénomènes d'induction :

La force électromotrice totale développée dans un circuit ^ à un instant donné, est égale à la dérivée^ par rapport au temps j du flux de force magnétique qui le traverse.

Ou encore :

La quantité totale d'électricité induite dans tm circuit est égale au produit de P inverse de sa résistance par la variation totale du flux de force qui le traverse.

Le flux de force qui traverse le circuit à un instant donné se compose du flux Q qui provient des corps extérieurs, aimants ou courants^ et du flux produit par le courant qui parcourt le circuit lui-même. Soit L la valeur de ce dernier flux quand Tintensité du courant est égale à Tunité; il sera égal à LI pour une intensité I, et Téquation générale de Tinduction s'écrira, en désignant par Ë les forces électromotrices ordinaires qui agissent dans le circuit^

(lo) (E-Rl)rfr=rflQ-f-LI),

i ou

I dt

519. Cocfflcienta dMndaetioB. — Si le Système inducteur est un feuillet magnétique ou un courant, le flux Q est égal au produit d'une constante M par la puissance magnétique du feuillet ou l'intensité du courant. Cette constante est une fonction seulement de la forme et de la position relative des deux circuits ; nous savons qu'elle est la même pour les deux contours en présence (ati)^ et que sa valeur est déterminée (ass) par l'intégrale

dsds.

On appelle ce facteur M le coefficient dinducHon réciproque ou (Tinduction mutuelle des deux circuits.

SM ÉLECTROMAGNÉTISME.

La consiante L esl une intégrale de même forme, mais âTec • cette différence que les deux éléments ds et ds' appartiennent au même circuit. On rappelle le coefficient d* induction prcpre ou de self-induction.

La taleur du coefficient de self-induction L est la limite ters laquelle tend celle de M quand deux circuits égaux, tra- Tcrsés par des courants de même sens et de même intensité I, s'approchent de la coïncidence. En efiTet, le flux total qui tra* ▼erse à ce moment le système des deux circuits est égal à la • somme des flux produits par chacun d'eux, c'est-à-dire à aLl; on peut le considérer aussi comme la somme sMl de deux flux égaux entre eux, dont chacun émane de Tun des circuits ' et traverse l'autre par sa face négative.

580. ladactioB H«eiroaiairMétiqae. — La formule générale (lo) appliquée au cas oii le système inducteur est un feuillet de puissance <I> donne

(12) (E-Rl)rfr = £/(M*4-Ll).

Supposons que, la puissance magnétique ^ étant constante, le feuillet soit amené de l'infini dans une position déterminée en présence du circuit induit supposé fixe ; on a alors

(E-Rl)rf^=*rfM4-LrfI.

Si on multiplie les deux membres de cette équation par I et qu'on l'intègre depuis f =o jusqu*à l'instant t où le feuillet . prend sa position définitive, on obtient

(.3) ('(EI-mV,=*£'.fA+(LÏ);.

Le premier membre de cette équation représente l'excès de l'énergie chimique, fournie par la pile pendant le temps t, sur l'énergie qui apparaît sous forme de chaleur dans le circuit pendant le même temps.

Le premier terme du second membre est le travail total des .

. actions électromagnétiques; ce travail dépend de la loi du mouvement. On peut concevoir, par exemple, que le feuillet ait été approché très lentement, de manière que Tinduction

- soit très faible et que le courant principal diffère toujours très peu de sa valeur initiale L; dans ce cas, en désignant par M le flux de force qui correspond à la position flnale du feuillet, le travail électromagnétique serait égal à ^MU.

Le dernier terme représente la variation de V énergie poten-

. tielle du courant ; il est nul si les deux valeurs limites du courant sont les mêmes, c'est-à-dire si le feuillet magnétique est a Tétat de repos dans sa position finale.

521. — Si le feuillet magnétique, étant immobile, avait une puissance variable, on aurait des équations tout à fait analogues

(E-RI)rft = Mr/<ï>-+-LrfI,

. qui conduiraient aux mêmes conséquences.

522. — Le cas le plus général est celui où les trois fonctions M, *et L varient en même temps, c'est-à-dire que le feuillet

î ' magnétique change de puissance, de forme et de position relative, et que le circuit du courant lui-même est déformé. L'équation (12) donne alors pour la force électromotrice d'induction

^ dt dt dt dt dt

Si le circuit induit ne contient pas de force électromotrice indépendante de l'induction, il sufûra de faire E=o dans les équations précédentes.

523. Induction éleeirodynamlqae. — Si le système inducteur était un courant constant, on pourrait le remplacer par le feuillet équivalent et rentrer ainsi dans le cas qui précède ; mais il faut remarquer que, par suite des réactions, Je circuit inducteur lui-même sera soumis à l'induction et que l'intensité du courant ne restera pas constante. Si nous représentons

ÉLECTROSIAGNftTtSUB.

par R' el L' la résistance et le cocfficienf de selMnductïoa du circuit inducteur, et par E' la force électromolrice qu'il renferme, l'intensité du courant dans les deux circuits sera déter> minée â chaque instant par les deux équations simultanées

(I'-RI)A=rf(Mr+Ll), (E'-R'l>/(^rf(MI+LT).

La solution complote de ces équations présente eo général ■ de grandes difficultés, et nous examinerons dans le chapitre suivant les cas les plus simples où elle peut £tre obtenue; mais les équations dilTérentielles permettent déjà d'établir ' quelques remarques importantes.

Si l'on ajoute ces équations après avoir mulliplié la première par I et la seconde par 1', on obtient

(i6) (EI + Er-RP-Rr=)(/(=lrf{Mr-i-Ll)-(-I'(/{M!-i-LT).

Le premier membre représente l'excès de l'énergie fourme par les sources dans les deux circuitssurl'énergie calorifique dépensée dans les conducteurs.

Le second membre peut s'écrire de la manière suivante

(17) ■î-rf(Ll' + 2MlI+L'l'=J-i--IVL+irrfM+^IVL';

il représente la variation totale de l'énergie potentielle des deux circuits et le travail extérieur.

S21. Énergie Intrlnsè^ne du conrMt. — Si IcS circuitssont

fixes de forme et de position, les facteurs L, M et L' sont des constantes ; la portion de l'énergie non convertie en chaleur a alors pour expression

,[f^MlV^^}

Le terme MU' est l'énei^ie relative des deux courants : c'est le travail qu'il aurait fallu dépenser pour amener les circuits traversés par les courants 1 et 1' de l'infini à leur positîoQ

actuelle. Chacun des autres termes compris dans la parenthèse peut être appelé V énergie intritisèque du courant correspondant ; il est égal à la moitié du produit du coefficient de self-induction par le carré de l'intensité, et représente le travail que coûterait la création du courant actuel dans chaque circuit, celui-ci étant soustrait à toute action étrangère, ou le travail extérieur que pourrait développer ce courant s*il était abandonné à lui-même et s'annulait dans les mêmes conditions. Remarquons enfin que Ton peut écrire

— VMir+— =-(Ll4-Mni4--(LT4-Ml)l'.

Chacun des deux termes du second membre représente l'énergie potentielle du circuit correspondant : c'est le travail qu'il faut dépenser, pour chacun des circuits, quand on amène le champ de zéro à son état actuel, et par conséquent le travail qu'il rendrait si on annulait en même temps tous les courants. Cette énergie est égale, pour chacun des circuits, à la

• moitié du produit de l'intensité par le flux de force magnétique qui le traverse.

La portion de l'énergie considérée ici est sous une forme qu'il ne semble pas possible de préciser dans l'état actuel de la science. On ne peut dire, par exemple, si elle existe à l'état d'énergie potentielle ordinaire, comme serait la tension d'un corps élastique, ou d'une énergie actuelle, consistant dans le mouvement d'un fluide particulier, ou bien encore sous les

• deux formes à la fois ; ni si elle est localisée dans le circuit traversé par le courant ou, suivant les idées de Faraday et de Maxwell, répandue dans le milieu tout entier.

525. — Dans le cas général où les fadeurs L, M et L' sont variables, le premier terme de l'expression (17) représente toujours la variation de l'énergie potentielle des deux circuits; l'ensemble des autres termes

-IVL-i-irrfM-h-PJL'

représente le travail efl*ectué par les actions électrodynami-

ST2 ÉLECTHOMAGNÉTISME.

ques des conducteurs, par suite de leurs Yariations de forme ou de position relative.

Supposons que les deux circuits aient une forme invariable ei qu'on les déplace de telle manière que les deux intensités I et r gardent des valeurs constantes, différentes naturellement des valeurs initiales ou finales; le coefficient M étant alors seul variable, le terme de Ténergie potentielle et celui du traTail extérieur se réduisent tous deux à la même valeur IVdM. On a donc, à chaque instant,

(El4-ET-RF-Pi'P).// = airrfM.

On voit que Texcès de Ténergic chimique fournie par les piles, sur l'énergie dépensée en chaleur, est égale au double du travail extérieur dépensé pour opérer le déplacement : une moitié de cette énergie est employée à produire le travail extérieur^ l'autre à accroître l'énergie potentielle du système.

Cette remarque, due à sir W. Thomson, doit être rapprochée de la proposition analogue relative au déplacement des conducteurs à potentiels constants (09V