CHAPITRE SIXIEME

aea. Théorie de Maxwell. — Les coDsidéralioDS qui précèdenl suffisent, comme on Ta vu, pour rendre compte de tous les phénomènes d'induction dans les conducteurs linéaires ; mais il est utile d'envisager le problème d'un autre point de vue, qui permettra de mettre en relief l'intervention du milieu, comme on Ta fait déjà en électrostatique. Nous exposerons ici les principes de la théorie de Maxwell.

5e6. Équations du champ mairn^ tique. — SuppOSOnS, pOUr

plus de généralité, que les conducteurs soient situés dans un milieu magnétique dont le coefficient de perméabilité (383) soit égal à {j.. Lorsqu'on annule le flux total d'induction magnétique Q qui traverse un circuit fermé, celui-ci devient le siège d'une force éleclromotrice totale qui met en mouvement

une quantité d'électricité égale à tt.

Celte force électromotrice totale peut être considérée comme la résultante de forces électromotrices élémentaires agissant sur chacun des éléments du circuit, et provenant de l'état du milieu. En chaque point, la réaction élastique du milieu due à la suppression des forces a une direction déterminée; elle produirait sur un élément de conducteur ds, situé dans la même direction, une force électromotrice proportionnelle à la longueur de cet élément et qui peut être représentée par ids ; sur un élément qui ferait l'angle e avec sa direction, la force électromotrice serait égale à Jdscost.

618 ËLECTROMAGNÉTISME.

Si le milieu est homogène et isotrope, la force éieciromotrice J par unité de longueur est une fonction des coordonnées ; elle peut être remplacée par ses composantes F, G et H parallèles aux axes, qui donneront sur les projections dx, dy et dz de rélémcnt ds les forces électromolrices ¥dx, Gdy et Hdz. On aura donc Téqualion

rintégrale étant étendue à tout le circuit.

D'un autre côté, si Ton considère une surface quelconque S terminée au circuit, et qu'on désigne par X, Y et Z les composantes de la force magnétique en un point de la surface, et par a, p et Y les cosinus des angles de celte force avec la normale, le flux total d*induction magnétique qui traverse le circuit est

aussi exprimé par l'intégrale ^ /(Xa-l-Y3-+-ZY)^/S étendue à

toute la surface.

5eY. — Pour déterminer les relations qui existent entre la force électromotrice J et Tinduclion magnétique, nous calculerons la valeur de l'intégrale / Jefecose pour un circuit rectangulaire infiniment petit, ayant son centre à l'origine des coordonnées, perpendiculaire à Taxe des x, et dont les côtés sont égaux à dy et dz.

Soient F», G», Ho, les valeurs des fonctions F, G, Il à l'origine ; on aura, pour le côté supérieur du rectangle,

et, pour le côté inférieur,

Gj — Gg — rr-dz,

^ 2 Dz

Si l'on suit le contour dans le sens où le courant tend à se produire par la suppression du champ, la somme des deux

termes de la force éleciromotrice correspondant aux côtés parallèles à l'axe des y est G, dy — G^ rfj ; on obtient ainsi

On aurait, de même, pour les deux autres côtés,

— H, rf^ -h Ha dz = — - — dydz, La force électromotrîce relative au contour est donc

yjt/.COSe=g^-^)rf^rf--.

D'autre part, cette expression doit représenter aussi le flux d'induction magnétique qui traverse le circuit dydz en entrant par la face négative; comme ce flux a pour expres-

sion }^dydz^ la composante jjiX est égale à ^- ^ —

•• Les autres composantes de l'induction magnétique, parallèles à l'axe des j- et à l'axe des :;, satisferaient à des conditions analogues, ce qui donne les équations