CHAPITRE DEUXIEME

ACTIONS ÉLÉMENTAIRES

46S. Métkode d'Ampère. — La marche que nous venons de suivre est, pour ainsi dire, l'inverse de celle qui a conduit Ampère à la loi des actions élémentaires. L'importance du sujet et rintérêt que présentent les raisonnements et les expériences d'Ampère justifieront le nouvel exposé que nous allons faire de la question d'après les idées de l'illustre physicien.

Ampère considère les actions exercées par les courants, sur les aimants ou sur les courants, comme la résultante des actions dues à chacun des éléments de longueur dans lesquels on peut décomposer le courant, et il cherche a déduire de l'expérience la loi de ces actions élémentaires.

Si on examine jusqu'à quel point une loi élémentaire, ainsi définie, est directement accessible a l'expérience, on voit qu'à la rigueur il est possible d'étudier l'action d'un seul pôle sur un élément de courant, en opérant avec un aimant solénoïdal assez long pour qu'on puisse négliger l'action de l'autre pôle et une portion du courant rendue mobile aussi petite qu'on le voudra ; mais il n'en est plus de même lorsqu'on envisage l'action d'un élément de courant sur un pôle ou l'action réciproque de deux éléments de courant. Sur un élément de courant rendu mobile, comme sur un pcMe, on ne peut faire agir que le circuit entier du courant ou, dans tous les cus^ un courant fennc,

La recherche d'une loi élémentaire, à la manière dont Ampère envisage le problème, répond donc, au moins dans

. ACTIONS ÉLÉSIENTAIRES. 503

le second cas, à une conception purement mathématique ; mais la méthode n*en est pas moins légitime tant qu*on se propose seulement de déterminer Faction résultante du circuit tout entier, la loi élémentaire étant alors soumise à la seule condition que l'intégrale relative à un circuit fermé donne un résultat conforme à Texpérience. Mais il est évident aussi que le problème ainsi posé n*est pas complètement déterminé et qu'il peut y avoir plusieurs lois élémentaires satisfaisant h cette condition fondamentale.

«•a. AcilMi 4'«A p61e sur a« élémcAt d« eonniAt. — PrlA-

«ipM f«M4ameAta«x. — Dans Texposé de sa méthode. Ampère s*appuie sur les principes suivants qui peuvent être considérés, les uns comme des axiomes évidents, et les autres comme des faits d'expérience.

I. Égalité de faction et de la réaction, — L'action d'un aimant sur un courant est égale et directement opposée à l'action du courant sur l'aimant. Cette loi générale de la nature se vériGe par expérience dans le cas actuel, car si on lie un aimant et un courant, le système rendu libre ne prend aucun mouvement.

II. L'action change de signe avec le signe du pôle et avec le sens du courant. — Ce fait est un résultat d'expérience. L'action reste la même quand on change à la fois le signe du pôle et le sens du courant.

UL Principe des courants sinueux. — L'action d'un courant sinueux sur un armant est identique à celle du courant rectilîgne qui aurait les mêmes extrémités.

Pour vériGer ce principe, Ampère a montré que deux fils conducteurs aboutissant aux mêmes extrémités, l'un rectilignc etTautre sinueux, ont une action nulle sur un aimant quelconque quand ils sont traversés en sens contraires par le même courant.

Quelques restrictions sont ici nécessaires : le courant sinueux doit être de même ordre de grandeur que le courant rectiligne, et s'en écarter très peu ; il ne faut pas non plus qu'il tourne autour du courant rectiligne. On ne se servira d'ailleurs de ce principe que pour remplacer un élément par ses trois projections.

50fc

ÊLKCTROMAGiNETlSME.

IV. L' action d'un aimant f/uelconque ei^ par suite, dtmpuic sur un élément de courant est normale à félémetit.

Ampère a vérifié ce principe de la manière suivante. Un arc de cercle métallique mobile autour d'un axe passant par son centre et perpendiculaire a son plan peut glisser sur deuXi gouttes de mercure par lesquelles entre et sort le courant qui le traverse. Un aimant quelconque placé dans le voisinage laisse Tare immobile. L'action de Faimant est donc située dans un plan qui passe par Taxe de rotation cl, par suite^ perpendiculaire au courant mobile. L'arc se met d'ailleurs en mouvement sitôt que Taxe cesse de passer par le centre.

Fig. lo'i

as

Fig. I (!.'»

-*«/jr

Fig. lort

.,(fjt

V. V action d'un aimant sur im élément de courant est appliquée à r élément. — Cela résulte de Texpérience suivante due à M. Liouville. Une portion de courant rcctiligne est rendue mobile autour de son axe ;à cetoiïet,cUc plonge par ses extrémités dans deux petits godets remplis de mercure et qui amènent le courant. L'élément rcctiligne ne prend aucun mouvement de rotation, de quelque manière qu'on lui présente un aimant.

VI. Principe de symétrie. — L'application du principe de symétrie achèvera de déterminer la direction de la force.

On voit d'abord que :

1*" L'action d'un pôle sur un élément de courant, perpendiculaire à la droite qui le joint au pôle, est normale au plan

ACTIONS ËLÉMBNTAIUËS. 505

qui passe par le pôle et par rélémenl. Joignons le pôle P au milieu de rélémeni ds (fip. io4). Nous savons déjà que l'action est perpendiculaire à réléinent. Elle est également perpendiculaire à la droite PO, car si on fait tourner la figure de iSo*" autour de cette droite, la force doit changer de signe sans changer de direction (11) ;

2"" L'action d'un pôle sur un élément de courant dont la ' direction prolongée passe par le pôle est nulle. Cette action doit être perpendiculaire à l'élément ^5 (fig. io5); d'autre part, elle ne doit pas changer de direction quand on fait tourner l'élément d'une quantité quelconque autour de la droite PO; elle est donc nulle.

Soit maintenant un élément ds (fjg. io6) qui fait un angle a avec la droite qui le joint au pôle; on peut remplacer l'élément de courant ds par ses deux projections (f^cosa et </.vsina, l'une suivant la droite PO, l'autre dans une direction perpendiculaire.

L'action du pôle sur la première est nulle ; il ne reste donc que l'action du pôle sur </.vsina. Cette dernière est proportionnelle, comme on l'a vu, à la masse m du pôle, à l'intensité i du courant; elle est aussi proportionnelle à la longueur dsûnd de l'élément, et enfin à une certaine fonction de la distance f{r). On peut donc écrire, en appelant é^ç celte force et A un coefficient qui reste à déterminer par expérience,

r/ç — mkids si n a/'( /) .

La force est d ailleurs appliquées l'élément et normale au plan Vds. Quant a sa direction, elle est à la droite du courant, c'est-à-dire à la droite d'un observateur couché dans l'élément et qui regarde le pôle, puisque l'action de l'élément sur le pôle s'exerce dans le sens opposé.

Vil. Loi de Biot et Savart, — Les expériences de Biot et Savart (4^1:) ont établi que l'action magnétique d'un courant rectiligne sur un pôle est en raison inverse de la distance du courant au pôle.

Suivant une remarque de Laplace^ on satisfait à cette loi si Ton admet que Faction d'un pôle sur un élément de

ÉLECTROMAGNÉTISMB.

courant est en raison inverse du carré de la distancé^ c^esi-

à-dire si Ton a/(r)=-3. On peut démontrer réciproqueqient

^ue la loi du carré est la seule qui satisfasse aux expériences de Biot et Savart.

Considérons, en effet, deux courants rectilignes parallèles,

^indéfinis et de même intensité AS et A'S', à des distances

a ela' du pôle P(fig. 107). Pour deux éléments ds et rf^'com-

Fig. 107

pris entre deux mêmes rayons vecteurs menés par le point P, et dont les distances à ce point sont r et r\ on a

ds r a

et, par suite,

rds'z^rds.

Le rapport des actions rf<p et rfç' du pôle sur les cléments ds et ds' devient alors

do'

ds sin a -::

r .r as r

j , , 1 rjds as sina-Ti

Les actions des éléments correspondants étant dans le

ACTIONS ÉLEMENTAIHES. 507

. rapport inverse des distances a et a\ il en sera de même pour les résultantes. C'est la loi donnée par rexpérience. L'action d*un pôle sur un élément de courant a donc pour expression

, . .r/.f sina d(^ = mki 5 — .

Comme toutes ces forces sont parallèles et de même sens, Taction du pôle sur le courant rectiligne indéfini est

, . rrf.vsina , . rdsc(s

^^mki J —pr-- '^^^ j —73

En comptant la longueur du circuit à partir du point A, on a

.çrzza tango, cis = a — j

il en résulte

et, par suite,

cos-*0 a^=:/-^cos^O;

r/.vcos0 i ^ .

r- =: -COSOrfO»

0= / cosOaO=:

Cette force est appliquée au point A., par raison de symétrie, et l'action du courant rectiligne sur le pôle est appliquée au même point et en sens opposé.

Ce dernier résultat parait d'abord contraire à l'expérience, puisqu'on réalité l'action du courant sur le pôle est appliquée au pôle lui-même. La contradiction tient à ce que dans la pratique le courant est nécessairement fermé. Si Ton suppose pour simplifier que le circuit général soit dans un plan passant par . le point P, les actions //ç et ^9' de deux éléments correspondants ds et ds' situés dans l'angle d(i sont de sens contraires et en raison inverse des distances r et /'. La portion qui ferme le circuit étant supposée très éloignée, la différence des deux forces est sensiblement égale à l'action de l'élénienl ds; mais, comme on a rd^^r'd^\ le point d'application de lu résultante

508 ÉLKGTltOMAGNÉTlSME.

partielle est le pôle P. Il en est de même pour la résulUiato générale. Quant à Taction du circuit entier^ elle est égale sensiblement à celle de la partie rectiligne.

Si Ton exprime Tintensité au moyen de Tunité éleclroma- ^ gnétique (^eo), Taction du courant indéfini sur le pôle m placée

al

la distance a a pour expression m — , et la formule élémen- •

taire devient

/wh/.vsina

ou, en remarquant que -^ est Faction magnétique F de la masse m au point occupé par l'élément de courant

(2) rf©=IFrf^sina=:IrfA,

en désignant par dk la surface du parallélogramme construit sur rélément et sur la force F.

L'action qui s'exerce sur le courant \ds situé dans un champ magnétique ne dépend que de l'intensité du champ en ce point, quel que soit le système d'où provient la force. On a ainsi le théorème déjà énoncé plus haut (459) :

V action qui s'exerce sur un élément de courant placé dam un champ magnétique est égale au produit de Pintensité du courant par taire du parallélogramme construit sur f élément de courant et sur tintensitédu champ. Cette force est 7iormale au plan du parallélogramme et dirigée vers la gauche de Cobser^ vateur placé dans le courant qui regarderait dam la direction du champ.

Le plan du parallélogramme, auquel la force électromagnétique est perpendiculaire, a été appelé par Ampère le plan directeur.

Bien que nous ayons donné le nom d'élémentaire à la force que nous venons de définir, cette force ne peut être considérée comme telle au sens strict du mot : ainsi que le fait remarque^ Ampère, <i on ne peut appeler force élémentaire, ni une force qui se manifeste entre deux élémentsqui ne sont pas de même

ACTIONS ELEMENTAIRES. 509

. nature, ni une force qui n'agit pas suivant la droite qui joint les deux points entre lesquels elle s*exerce. »

46ft. ;ietio« réciproque d'an p61e et d'uA courant. — En par-

' tant de cette loi élémentaire^ on démontrera, comme plus haut (3^, que l'action d'un pôle égal à Tunité placé à Torigine des coordonnées sur Télément ds d'un courant, situé en un point dont les coordonnées sont a:, j et z, a pour composantes

(3) dr^ = -^{zdx''Xdz),

On peut remarquer que le moment </M, de cette force par . rapport à Taxe de z est

=ordrt-jdi=:j^\ z{xdx-^jdjr)-{x^-}'j^)dz .

L'équalion

jL^-hy^-hz^=i'^

donne

xdx -hjdjy H- zdz = rdt\ 11 en résulte

di^,=^^\z{rdr-zdz)~-{t^--z^)d^=^{zdr^vdz) = ^\d^^^

Or, -est le cosinus de l'angle y que fait la droite /* avec Taxe

des 2 ; on a donc

rfM,=— IrfcosY,

de sorte que le moment M, des actions exercées par le pôle ' sur un arc quelconque AB a pour valeur

(4) Mg = I(cosYrt — cosy*).

510 ÉLECTROMAGNÉTISME.

Si le circuit est fermé, ce moment est nul et, comme la . direction de Taxe des;:: a été choisie arbitrairement, on voit que Faction dtoi pôle sur un courant fermé passe par le pôle. Inversement, Faction d'un courant fermé sur un pôle passe " aussi par le pôle.

465. — Au lieu de suivre la marche adoptée, et de vérifler que la loi de Biot et Savart est satisfaite par une action en raison inverse du carré de la distance, on aurait pu, ce qui eût été plus rigoureux, laisser indéterminée la fonction /(/•) . el admettre comme un fait expérimental que Faction d'un courant fermé sur un pôle passe par le pôle.

Le moment par rapport à Taxe des z de Faction du pôle sur ' Félément ds serait alors

r/M, — — 1 r^f{r) d cos Y,

et le moment relatif à un arc AB

M. = -I r fV(r)d cosvrrl (\^f{r)d

COSv.

En intégrant cette expression par parties, il vient

M,=zI[;y(r)cosYl^-l (\osy d[f^/{r)].

Si le courant est fermé, le premier terme du second membre est nul. Comme le moment doit être nul quel que soit la * forme du circuit parcouru par le courant, il faut que le second terme soit identiquement nul, c'est-à-dire que le produit f^fir) soit une constante et, par suite, que la force soit en raison inverse du carré de la distance.

Si Farc, sans être fermé, aboutit à deux points A etB d'une . droite autour de laquelle il puisse tourner, le couple de rotation ne sera pas nul en général.

Supposons, par exemple, que les points A et B soient situés sur une même droite passant par le pôle et d'un même côté du pôle ; le moment des forces par rapport à cet

ACTIONS ÉLÉMENTAIRES. 5t1

axe est nul, et le courant ne prendra aucun mouTement de 1 rotation autour de la droite.

Au contraire, si les points A el B sont de part et d'autre du . pôle, les angles y^ ety» sont égaux rua à zéro et Vautre à^; dans ce cas, le couple de rotation sera égal à 2I et Tare tournera indéfiniment dans le même sens.

Nous retrouvons ainsi Texplication des diverses particula-* rites de Texpérience de Faraday (4:fto). .1

4G6. — Les composantes X, Y et Z de Faction d'un courant sur un pôle placé à Torigine des coordonnées sont^ d'après ce qui précède,

*zdx — xdz

„ . fjrdy — zdr

Si on pose

4 Cydz — zdr ,, *^— /' j =:GcosX,

(ti) B=/ ^^^ ,/ -Gcostx,

^ Cxdy — ydx ,,

C=r j —'—^ = GCOSY,

avec la condition

A«^-B^+C^=G^ on aura

X=— IA=— IGcosX, ^ Y=r-IB=-IGcosix,

Z =— IC:±:— IG COSV,

et, par suite,

(7) F==VX='4-Y^-f-Z^ = IG.

Le facteur G. est l'action au point P du circuit considéré, quand il est traversé par un courant d'intensité égale à l'unité.

ol2 ÉLECTROMAGNÉTISMIi:.

On peut représenter cette action par une droile PG proportionnelle à G et faisant les angles X, [a, v avec les axes.

4L69. ^miTaleaee d*mm coaramt eid*aa femlUei magméil^ae. —

L*action d*un champ magnétique sur un élément de courant étant identique à celle du même champ sur Télément correspondant du contour d'un feuillet limité au courant, il en résulte que Taction du courant sur un pôle est identique à celle d*un feuillet de puissance 1 dont la face positive serait à gauche du courant.

Le potentiel magnétique d'un courant en un point P est donc, à une constante près^ égal au produit de l'intensité I par l'angle II) sous lequel on voit de ce point le côté positif d'une surface limitée au circuit, c'est-à-dire la face située à gauche d'un observateur qui suivrait le courant et regarderait l'intérieur. L'angle a> représente aussi le flux de force qu'une masse égale à l'unité placée au point P émettrait vers cette surface.

Comme les composantes de la force sont égales et de signes contraires aux dérivées partielles du potentiel^, on voit que l'angle solide correspondant à une surface d(ù vue de l'origine des coordonnées, est donné en fonction du contour par los équations

ydz — zdy

*z(l,r — Xflz

*x(I} — ^ (Ix