CHAP. III. — THEOREME DE GREEN. I

Faisons usage de l'égalité (2), en supposant que Nous aurons

De même

///^ ^ ^-^ ^^ ^" = - s ^ s ''^'^^'' "^ ^^ ""/// s rz'^"' '^^ '^"-

Ajoutons membre à membre les trois égalités ainsi obtenues et nous trouverons

Ç Ç C\] b.y dx dy dz

= - S U [^«os(N/, ^) + ^cos(N,, j) + ^ cos(N.-, ^)] d^

J J J \dx dx dy dy dz dz ) "^ "^

Si nous désignons par -r^ la dérivée de la fonction V suivant la

normale à la surface qui limite l'espace considéré, cette normale étant dirigée vers l'intérieur de cet espace, la définition même de la dérivée d'une fonction suivant une direction nous donnera

et l'égalité précédente deviendra ( f C Ç\] t,Y dx dy dz

Telle est l'identité qui est connue sous le nom de théorème de Green.

On donne souvent à cette identité de Green une autre forme.

Admettons que les dérivées partielles du premier ordre de U soient uniformes, finies et continues, comme celles de V, à l'intérieur de l'espace considéré et sur la surface qui le limite, et que les

dérivées secondes -r-^ > -^—r > -r-r existent et soient limes en tous les

OX^ 0/2 ()z^

points de cet espace et de la surface qui le limite. Nous pourrons écrire

r f Cy M] dx dy dz

J J J \àoc dx dy dy dz dz j "^ kj dN,-

En comparant cette égalité à l'égalité (3), nous trouvons

Cette nouvelle forme du théorème de Green est souvent employée pour transformer une intégrale triple étendue à un espace clos en une intégrale double étendue à la surface qui limite ce volume, transformation que l'on a à chaque instant occasion d'effectuer en Physique mathématique.

Au moyen d'hypothèses particulières faites sur les fonctions U et V, on peut déduire des formules (3) et (4) d'autres formules souvent employées.

Si, par exemple, nous supposons U = V, l'identité (3) devient

Ç C Çy t,y dx dy dz

Si nous faisons 11 = 1, soit dans l'identité (3), soit dans l'identité (4), nous trouvons

(6) JJJ^Ydxdydz^-^^dS.

Nous aurons souvent, dans la suite de ces Leçons, à faire usage des égalités (5) et (6).

Green a, le premier ('), insisté sur la grande importance du

(') Georges Green, Essay on the application of mathematical analysis on the théories of electricity and magnetism (Nottingham, 1828).