CHAP. III. — THÉORÈME DE GREEN. I

Soit f/S un de ces éléments. Par tous les points du contour de l'élément dH, menons des parallèles à l'axe des x. Nous obtiendrons ainsi un cylindre infiniment délié qui découpera sur la surface de l'espace considéré un nombre pair d'éléments. Nous désignerons ces éléments, d'après l'ordre dans lequel ils sont rencontrés lorsqu'on s'avance parallèlement à l'axe des ce, par les indices 1 , 1, . . . , in. Leurs surfaces seront dSt , dSi, . . . , dS2n- En un point d'un élément de rang impair, une parallèle à la direction positive de l'axe des x pénètre à l'intérieur de l'espace ; l'angle (N/, x) est aigu. Au contraire, en un point d'un élément de rang pair, une parallèle à la direction positive de l'axe des x sort de l'espace clos ; l'angle (N/, x) est obtus. On peut donc écrire

dl. = dSi cos(N/, x)i r= — dSz cos(N/, x\

= dS$cos{Ni,x)i =... = dS2nCos{N,; a;),^.

Soient Xi l'abscisse d'un point de l'élément c^S, ; x^ l'abscisse d'un point de l'élément dS2, ... ; Xin l'abscisse d'un point de l'élément dSo/i' Nous aurons évidemment

\ràF ,

r""^ dF ,

l] — dx+ l

f {]-^-dx+..

\]~dx

dx J

àx

âx

le signe V indiquant une sommation qui s'étend à tous les éléments <iS compris à l'intérieur du contour apparent de l'espace considéré.

Lorsque x varie de x.ip^i à x^p, il résulte des hypothèses faites que les deux fonctions U et F restent finies, uniformes et continues et que les dérivées partielles de ces deux fonctions par rapport à x restent finies. On peut donc appliquer à l'intégrale

/ ox

la formule d'intégration par parties et écrire

(UF)/( désignant la valeur que prend le produit UF lorsqu'on donne

aux variables j' et z les valeurs, des coordonnées d'un point de l'élé-

l8 LIVRE I. — LES FORCES ELECTROSTATIQUES.

ment c?S, et à la variable x la valeur de l'abscisse d'un point de l'élément ds^- On a alors

J= g^vf(UF)i + (UF)2~(UF)3 + ...-(UF),„i--(UF)2„]

La seconde ligne de cette égalité peut évidemment être remplacée par l'expression suivante

l'intégrale triple s'étendant à l'espace considéré.

La première ligne peut être remplacée, en vertu des relations

(i), par

— CuFcos(N/, ^)^S,

le signe ^ indiquant une sommation qui s'étend à tous les éléments c/S de la surface qui limite l'espace considéré. On a donc

= — C UF cos(N,-, x) dS ^ÇÇÇy -^^ dx dy dz.

Tel est le lemme que nous voulions établir.

Nous en déduirons aisément le théorème de Green.

Soit U une fonction de x^ y^ z, uniforme, finie et continue à l'intérieur d'un espace limité par une surface à connexion simple ou multiple et sur cette surface même ; les dérivées du premier ordre de U existent et sont finies à l'intérieur de cet espace et sur la surface qui le limite. Soit V une autre fonction de x, y, z, qui est uniforme, finie et continue, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre à l'intérieur de cet espace et sur la surface qui le

limite ; les trois dérivées secondes -r— ^ , -r-^ > -^-^ sont supposées

finies en tous les points de cet espace et de la surface qui le limite.