PA^S
Les égalités (10), (11), (i3) et (i5) donnent celle égalité très simple
(16) 8# = — SS,--!- - oQ
P \dS.
Lorsqu'on change la disposition d\in certain nombre de conducteurs métalliques homogènes tous formés du même métal et la distribution électrique sur ces conducteurs, la variation subie par le potentiel thermodynamique interne du système pendant que ce système passe d'un état d'équilibre à un autre, augmentée du tra^^aildes forces intérieures qui agiraient dans le système à l'état neutre, donne Ic^ variation subie par le potentiel électrostatique de la seule électricité communiquée.
Supposons les conducteurs tous immobiles; la modification qui change la distribution sur ces conducteurs sera alors une décliarge. L'égalité (16) deviendra
(17) 8|=-8QPA^S,
et pourra s'énoncer ainsi :
Lorsqu'une décharge électrique se produit entre des conducteurs immobiles tous formés du même métal, elle engendre un travail non compensé égal à la diminution du potentiel électrostatique de la seule distribution communiquée au système.
CHAP. H. — LES CONDUCTEURS HOMOGÈNES. 38l
Ij'entropie S cl l'énergie interne U du système sont liées au potentiel thermod)'namique interne parles relations [Liv. lV,Chap. I, égalités (9) et (10)]
On déduit alors de l'égalité (17)
(18) oS — o,
EaU-= - oC PArfS.
Si l'on désigne par ofQ la quantité de chaleur dégagée dans le sys- U'nie immobile, la dernière égalité devient
(19) ErfQ=- îoC PAc^S.
Les égalités (18) et (19) équivalent aux propositions suivantes :
Lorsqu'une décharge électrique se produit entre des conducteurs immobiles tous formés du même métal, elle n'engendre aucun travail compensé.
Elle engendre une quantité de chaleur qui équivaut à la diminution subie par le potentiel électrostatique de la seule électricité communiquée au système.
Cette dernière proposition, préparée par les idées de M. H. von Helmholtz ('), a été obtenue sous sa forme générale par Clausius (-) en 1802.
§ 3. — Thermomètre de Snow Harris.
Le théorème de Clausius, très important par sa généralité, acquiert une importance plus grande encore en ce qu'il fournit
(') H. VON Helmholtz, Ueber die Erhaltung der Kraft (Berlin, 1847. — Helmholtz, Wissenscha/tliche Abhandlungen, t. I, p. 40-
(') R. Clausius, Ueber das mechanische Œquivalent einer elektrischen Entladung und die dabei statt/indende Erwàrniung des Leitungsdrahtes [Poggendorff's Annalen der Physik und Chemie, Bd LXXWI, p. 33-; ; i852. — Théorie mécanique delà chaleur. Traduction F'olie (i" édition), p. 4i]-
une belle vérification expérimenlalc des lois de la disLribulion éleclrique.
L'explication des expériences dont résulte cette vérification repose sur quelques remarques.
Première remarque. — Deux conducteurs fixes A et A' kfiS' 7O ^^^^ chargés d'une distribution communiquée. Si cette
Fig. 71.
distribution existait seule, elle porterait le premier au niveau potentiel V, le second au niveau potentiel V. Le premier conducteur renferme une charge totale M et le second une charge totale M'. Un troisième conducteur E, de petites dimensions [Vexcitateur), est à l'état neutre et infiniment éloigné. Le potentiel électrostatique de l'électricité communiquée au système a pour valeur initiale
Wo= -(MV+ M'V).
On approche l'excitateur de manière qu'il touche les deux conducteurs. La distribution électrique est modifiée sur chacun d'eux : le conducteur A prend une charge DIL ; le conducteur A', une charge OÏL'; l'excitateur E, une charge m. On éloigne infiniment l'excitateur; les niveaux potentiels des trois conducteurs deviennent 'C?, tp', p. La valeur finale du potentiel électrostatique de l'électricité communiquée est
Wi = - (ont? -f- dWÇ'-^ mv).
Nous avons supposé l'excitateur de petite dimension. Par conséquent, la masse m est très petite. L'égalité
qui exprime que la charge communiquée est demeurée invariable pendant toute la durée du phénomène, se réduit sensiblement à
Les niveaux potentiels des deux conducteurs A et A', après que l'excitateur a été éloigné, sont sensiblement les mêmes qu'au moment où l'excitateur les touchait tous deux. Or, à ce moment, ils étaient égaux entre eux. On a donc sensiblement
et
Wi= -(MH-M')tp.
Si le système était ramené à l'état neutre, les forces intérieures à ce système n'efifectueraient, dans le déplacement considéré, aucun travail. On aurait donc
8^=^ Wi— Wo= -[MCC> — V)-(-M'("(?-V')]
et, partant,
E Au= ^[MCC? — V) + M'(9- V')].
L'excitateur n'ayant jamais porté que des charges faibles, il a suffi d'un très petit travail extérieur pour le mettre en mouvement. D'ailleurs sa force vive est nulle au commencement comme à la fin de la modification. Si donc Q est la quantité de chaleur dégagée dans la modification en question, nous aurons
(20) EQ= ^[M(V-\'^) + M'(V'--(:;)].
Elle est la même que la quantité de chaleur qui serait donnée par le théorème de Glausius, si l'on supposait que le système fût demeuré immobile et que l'électricité eût passé directement de l'un des conducteurs A, A' sur l'autre.
Seconde remarque. — On suppose que l'un des deux conducteurs soit formé d'une partie massive A (Jig-. 72), reliée par un fil extrêmement fm F, à une boule de petites dimensions B. On met l'une des extrémités de l'excitateur en contact avec le conducteur A', et l'autre avec la boule B. L'expérience
384 LIVRE V. — LES CONDLCTELKS METALLIQUES.
montre que la chaleur dégagée par la décliarge est presque exclusivement cédée au milieu qui avoisine le fil F. Ce fait se relie à la loi de Joule, que nous étudierons dans un prochain Chapitre.
Fig. 7:^.
Il permet de déterminer expérimentalement la quantité de chaleur dégagée dans la décharge.
11 suffit pour cela d'employer une sorte de calorimètre à air
Fig. 73.
inventé par Snow Harris en 1837 ('). Le fil F {fig- 73) est enfermé dans une enveloppe de verre terminée par un manomètre à
( ' ) Snow Harris, On the relative powers of varions metallic substances as conductors of electricity { Philosophical Transactions, t. CLVIII, p. 18; 1827).
air libre. Au moment de la décharge, le fil, d'abord échauffé, se met rapidement en équilibre de température avec l'air contenu dans l'enveloppe de verre. Si l'on désigne par Tq la température initiale du fil et de la masse d'air; par T, leur température finale; par m le poids réduit en eau du fil et de la masse d'air, la quantité de chaleur dégagée a pour valeur ci(T, — Tq). Grâce à la présence du manomètre, l'appareil forme un thermomètre à air sous volume sensiblement constant. Si nous désignons par (P, — P^) la variation de pression, nous aurons
P.-Po=aPo(T,-To),
a étant le coefficient de dilatation de l'air; nous aurons donc
La quantité m demeurant constante dans les diverses expériences, cette égalité nous fera connaître des nombres proportionnels aux quantités de chaleur dégagées dans ces expériences.
Riess ('), qui a perfectionné le manomètre de Snow Harris, en a fait usage pour déterminer, dans des circonstances variées, la quantité de chaleur dégagée par la décharge électrique. Clausius (2) a comparé les résultats des expériences de Riess aux conséquences de la théorie. Nous allons indiquer ici quelques-unes de ces expériences.
§ 4. — Décharge complète d'un condensateur. Expériences de Riess.
Un condensateur est chargé; l'armature interne a reçu une quantité d'électricité a; l'armature externe porte une charge communiquée — b. Le niveau potentiel de la distribution communiquée est V sur le premier conducteur et o sur le second. On a d'ailleurs (Liv. II, Chap. XI, § 2)
b = ma,
m étant le premier coefficient de Gaugain.
Mettons les deux armatures en communication l'une avec l'autre ;
(') Riess, Lehre der Reibungs-Elektricitàt; Berlin, i863, (') Clausius, loc. cit.
il se produira une décharge dégageant une quantité de chaleur Q qui, d'après la formule (20), est donnée par l'égalité
EQ= i[aV + (a — 6)t;;]
= ia[V + (i m)t;;].
Supposons, en particulier, que l'armature externe enveloppe complètement l'armature interne. Alors, d'après les principes exposés au Livre TI, Chapitre V, nous aurons
a = 6, m =1 et, par conséquent,
(21) EQ==îaV.
Imaginons une batterie formée de n bouteilles identiques, disposées d'une manière quelconque, chacune ayant son armature interne en communication avec la source et son armature externe au sol. D'après les principes posés au Livre III, Chapitre V, chacune de ces bouteilles exerce une action électrostatique nulle à V extérieur ; par conséquent, chacune d'elles s'électrisera comme si elle existait seule. Si donc on décharge la batterie, la quantité de chaleur dégagée aura pour valeur
D'ailleurs, on peut écrire
« = £GV,
C étant une constante (capacité de la bouteille) qui dépend de la construction de la bouteille. On aura donc, en désignant par A la charge totale, égale à /la, des armatures intérieures,
La quantité de chaleur dégagée par la décharge d'une batterie de jarres identiques entre elles est proportionnelle au carré de la charge totale prise par les armatures intérieures, et en raison inverse du nombre des jarres.
Riess a vérifié cette loi par les expériences suivantes. Il a d'ar
bord pris une batterie de cinq jarres, à laquelle il a communiqué des charges variables; il a ensuite comparé le nombre D de divisions dont le liquide du thermomètre s'élevait, à la suite des différentes décharges, au nombre D' dont il devrait s'élever d'après la formule (22); il a trouvé les résultats suivants :
A. D (observé). D' (calculé).
11 a ensuite fait varier le nombre n des bouteilles en conservant à l'armature interne de la batterie une charge A constante, et il a trouvé les résultats suivants :
n. D (observé). D' (calculé).
On voit que l'accord de la formule (22) avec l'expérience est, en général, très satisfaisant, et de nature à ne laisser aucun doute sur l'exactitude de la loi que nous venons d'énoncer.
Nou5 avons supposé seulement, jusqu'ici, que l'armature externe de la bouteille de Lejde enveloppait complètement l'armature interne. Supposons maintenant, comme nous l'avons déjà fait (Liv. ni, Ghap. IV, § 4), que la surface intérieure de l'armature externe soit une surface de niveau de l'armature interne.
Dans ce cas, la charge a de l'armature interne a pour valeur \loc. cit., équation (17)]
V étant le niveau potentiel auquel serait portée l'armature interne si l'on distribuait sur cette armature, prise isolément, une charge électrique égale à l'unité; u étant la valeur qu'aurait la fonc-
tion potentielle de cette distribution en tout point de la face intérieure de l'armature externe.
Supposons les deux armatures très voisines; soit M un point de l'armature interne; soit N^ la normale en ce point à l'armature interne dirigée vers l'extérieur de ce conducteur; soit a la densité que prend en ce point une charge électrique égale à l'unité distribuée sur l'ai-malure interne; soit S la distance très petite des deux armatures; soit dS un élément, tracé autour du point M, de la surface S de l'armature interne. Nous aurons les diverses égalités
qui donnent
dv
dN,
di^
àNe
dS
Soit A V épaisseur moyenne de la couche isolante comprise entre les deux armatures, épaisseur donnée par l'égalité
L'égalité précédente deviendra
L'égalité (28) deviendra alors
et l'égalité (21),
(24) EQ = 2Tr£A^'.
Des bouteilles de Ley de, formées comme nous venons de l'indiquer, dans lesquelles les deux armatures sont à une même distance moyenne très petite^ donnent, quelle que soit leur forme, lorsquon les décharge, une quantité d'électricité proportionnelle au carré de la charge de V armature interne, et en raison inverse de la surface de cette armature.
Celle loi a élé trouvée expérimentalement par Riess ( * )• M. Helmholtz (^) et Clausius (^) l'ont établie théoriquement. La démonstration précédente est due à M. J. Moutier (^).
§ 5. — Décharge d'un condensateur par étincelles successives.
On peut décharger un condensateur par des étincelles successives : il suffît d'isoler le condensateur et de mettre en communication avec le sol, d'abord l'armature interne, puis l'armature externe, puis de nouveau l'armature interne, et ainsi de suite.
Cette décharge n'a pas donné lieu à des expériences de mesure ; la théorie en est très simple ; elle a été donnée par M. J. Moutier (5).
Cherchons les quantités d'électricité qui s'écoulent dans le sol à chaque étincelle.
Soient A l'armature interne et B l'armature externe.
Initialement, le conducteur A possède une charge électrique a et le conducteur B une charge électrique — b. Lorsque nous mettons le conducteur A au sol, le conducteur B demeurant isolé, nous réalisons la troisième expérience de Gaugain (Liv. II, Chap. III, § II). Après celte première décharge, le conducteur A demeure chargé de la quantité at= mm! a d'électricité positive. La première étincelle emmène donc au sol une quantité
<7i = (i — mm')a d'électricité positive.
Lorsque ensuite nous isolons le conducteur A, porteur de la charge a, = mm' a, et que nous mettons le conducteur B en communication avec le sol, nous réalisons la deuxième expérience de Gaugain, mais en j supposant la charge du corps A réduite dans
(') Riess, Ueber die Erwàrmung in Schliessungsbogen der electrisclien Batterie {Poggendorff's Annalen, Bd. XLIII, p. 47; i838). Lehre der Reibungs- Elektricitât ; Berlin, i853.
(") H. Helmholtz, Ueber die Erhaltung der Kraft, p. f\Z (Berlin, 1847. — Helmholtz wissenschaftliche Abhandlungen, l. I, p. l\b).
(') R. Clausius, Sur l'équivalent mécanique d'une décharge électrique et l 'échauffement qu'elle produit dans le fil conducteur ( Théorie mécanique de la chaleur. Traduction Folie, t. II, p. 60).
(♦) J. Moutier, Cours de Physique, t. I, p. 499; Paris, i883.
(') J. Moutier, Cours de Physique, t. I, p. 4^9 et p. 486; Paris, i883.
3jO LIVRE V. — LES CONDUCTEURS MÉTALLIQUES.
le rapport mm! . Une réduction pareille doit porter sur la charge du conducteur B, qui renferme ainsi, après la seconde étincelle, une charge négative bi = mm'b. La seconde étincelle emmène donc au sol une quantité d'électricité
^2 = m(i — mm') a d'électricité négative.
Au moment de produire la troisième étincelle, on se trouve en présence d'un état analogue à l'état initial, mais où toutes les charges ont été réduites dans le rapport mm' . La troisième étincelle emmène donc au sol une quantité d'électricité positive
^3= mm' {i — mm') a.
On verra de la sorte que l'étincelle d'ordre (2/^-1-1) emmènera au sol une quantité d'électricité positive
qin+\ — m"^m'"(i — mm') a,
tandis que l'étincelle d'ordre (2/^ + 2) emmène au sol une quantité d'électricité négative
Çin+i = m"^+^ m''^(i — mm' )a.
Cherchons les quantités de chaleur que chacune de ces étincelles dégagerait dans le thermomètre de Riess.
Avant la première étincelle, le potentiel électrostatique a pour valeur
Wo- -aY.
Après la première étincelle, le conducteur B est au niveau potentiel \' ; le potentiel électrostatique a pour valeur W,, et l'on a
Wi = --6V'.
L'identité de Gauss, appliquée à l'état initial et à l'état final, donne, en remarquant que «, est la charge finale du conducteur A,
aiY = — bY'.
On a donc
Wo— Wi= -(i — m/n')aW.
La quantité de chaleur dégagée par la première étincelle a pour
valeur
Q,= -^(i — mm')a\.
Pour trouver la quantité de chaleur dégagée dans la seconde étincelle, nous remarquons qu'avant cette étincelle le conducteur A est au niveau potentiel o et porte une charge «i ; le conducteur B est au niveau potentiel V et porte une charge — b. Le potentiel électrostatique a pour valeur
Après la décharge, le conducteur A porte la charge a, et est au niveau potentiel V". Le conducteur B porte une charge — b^ et est au niveau potentiel o.
La quantité ^, est donnée par
bi — mm' ù. Le potentiel électrostatique a pour valeur
W2=-aiV".
D'ailleurs, l'identité de Gauss donne
On a donc
et
= - m7n'{i — m.m')aV.
La quantité de chaleur dégagée par la deuxième étincelle a pour valeur
Q2 = — =; mm' ( I — mm' ) a V = mw' Qi .
2ll>
On trouverait de même que la quantité de chaleur dégagée par la troisième étincelle a pour valeur
Les quantités de chaleur dégagées par les étincelles successives décroissent en progression géométrique de raison mm' .
Batteries montées en cascade.
Supposons que nous ayons {n-\-\) bouteilles, identiques entre elles, et assez éloignées les unes des autres pour n'exercer les unes sur les autres aucune influence. L'armalure interne Ao de la
Sol
première {Jig- 74) 6st mise en communication avec la source au niveau potentiel Vo- L'armature externe Bo est mise en communication avec l'armalure A, de la seconde, et ainsi de suite. L'ar-
CHAP. II. — LES CONDUCTEURS HOMOGÈNES. SgS
mature externe de la dernière est au sol. On a ainsi une batterie chargée en cascade.
La théorie de la charge en cascade a fait l'objet des recherches de Green ('), Clausius et Béer. M. J. Moutier a donné à cette théorie une forme très élégante (-), dans le cas où les deux surfaces S', S" qui limitent l'armature externe de chaque bouteille sont des surfaces de niveau de l'armature interne S.
Soient Vo, V,, V2, ..., V„ les niveaux potentiels des armatures Ao, A,, A2, ..., A„.
Considérons en premier lieu la dernière bouteille.
Elle ne porte pas de charge électrique sur la surface S"; sur la surface S' elle porte une charge — a,i et sur la surface S une charge On- '
Une charge électrique égale à l'unité, en équilibre sur la surface S, porterait cette surface au niveau potentiel v ; une charge égale à l'unité, distribuée sur la surface 2', porterait tout point intérieur à cette surface au niveau potentiel v' (^); enfin une charge égale à l'unité, distribuée sur la surface S", porterait tout point intérieur à la surface 2" au niveau potentiel v" .
Moyennant ces notations, nous pouvons déjà écrire
Pour la [n — iy<'"« bouteille, l'armature interne porte une charge a,i-\ ; la surface 2' une charge — ««-4, et comme les deux corps B„i et A„ forment un conducteur isolé portant une charge totale nulle, la surface 2" porte une charge (««( — ««). Les principes posées au Liv. III, Chap. IV, donnent aisément
a„-iv — a„i (>'-+- (a„-i — a„)t>" = V„i. On arrivera ainsi de proche en proche à avoir les deux séries
(') Green, An essay of the application of mathematical analysis to the théories of Electricity and Magnetism, Art. 8 (Nottingham, 1828, Green's mathematical Papers, p. 47 )•
(') J. Moutier, Cours de Physique, t. I, p. 491; Paris, i883.
(') Pour faire coïncider les formules que nous allons écrire avec celles qui ont été obtenues au Livre III, Chap. IV, il faudrait poser v' = u, v" = u'.
d'équations
ttnV — anV' =Yn,
aa-i{v — v'-\-v") — a,iv" = V,,-,, cin-iiv — v'-\- v") — a,i-\ v"= V„2,
a2{v — v'-{-v") — a^v" =¥2, ai{v — v'-\-v") — anv" = Vi, a^iv — v' -^ v") — a^v" = Vq.
(«1 — a<))v" = V2, («0— «i)^'"= Vf
