CHAPITRE II

L'ÉQUILIBRE ÉLECTRIQUE SUR LES CONDUCTEURS HOMOGÈNES. LOIS DE LA DÉCHARGE ÉLECTRIQUE.

§ 1. — L'équilibre électrique sur les conducteurs homogènes.

Nous n'entendrons pas ici par conducteur homogène un conducteur ajant la même constitution physique et chimique et la même densité en tous ses points. Nous admettrons que les corps qui nous semblent homogènes ont sensiblement la même densité en tous les points dont la distance aux surfaces terminales est supérieure à une quantité [x qui est de l'ordre du rayon d'activité moléculaire; mais si un point M se trouve à l'intérieur d'un pareil corps A à une distance /, inférieure à [jl, de la surface qui sépare le corps A d'un autre corps B, homogène en apparence, nous admettrons que la densité au point M dépend :

i" De la nature du corps A, de sa température, de la densité (|u'il présente loin des surfaces terminales;

2" De la nature du corps B, de sa température, de la densité (|u'il présente loin des surfaces terminales;

?)" De la distance / du point M à la surface qui sépare les deux corps A et B.

Ces hypothèses sont celles que Poisson a introduites en i83o dans la théorie de l'action capillaire.

Nous allons nous proposer de chercher les lois de l'équilibre électrique sur un système de conducteurs métalliques constitués comme nous venons de l'indiquer. Dans le présent Chapitre, nous nous limiterons au cas où tous les conducteurs sont formés du même métal i et confinent au même isolant o.

Soit un point M, situé à une distance /, inférieure à()v -f- jx), de la surface qui limite un semblable conducteur. Il est bien aisé de voir, en se reportant à la définition de la quantité 0, que 0 aura en ce point une valeur 6 (/), variable avec /. La forme de la fonc-

374 LlVnE V. — LES CONDUCTEURS MÉTALLIQUES.

lion S(l) dépend de la nature du conducteur i et de Tisolant o, de leurs densités, de leur température.

D'après l'égalité (8) du Chapitre précédent, nous aurons en ce point une densité électrique solide donnée par la formule

D'après cette égalité, p est une fonction de / qui s'annule lorsque / devient supérieur à ()^+ [x) et qui dépend de la nature du conducteur (i) et de l'isolant (o) sans dépendre des actions électriques auxquelles ils sont soumis. Nous arrivons donc aux propositions suivantes :

Lorsque Véquilibre électrique est établi sur un conducteur homogène, il n^ existe pas d'électricité aux points intérieurs à ce conducteur dont la distance aux surfaces terminales surpasse {\ -\- [x).

Les points dont la distance aux surfaces terminales est inférieure à ().-f-[JL) sont électrisés. La densité électric^ue est la même en tous les points dUine surface parallèle à la surface terminale.

La loi suivant laquelle varie Vélectrisation, lorsque Von passe d'une surface parallèle à la surface terminale à une autre semblable surface, dépend seulement de la nature et de l'état du conducteur et de l'isolant loin des surfaces terminales ; mais non de leur forme ni des actions électriques particulières auxquelles le conducteur est soumis.

Prenons un point M sur la surface qui sépare le conducteur de l'isolant; en ce point, la normale à la surface vers l'intérieur du conducteur a la direction N, et la normale vers l'extérieur la direction Ne. Si V est la fonction potentielle, la densité superficielle au point M a pour valeur

\ ( d\ àN\ y de(o) I dN

Si nous posons

la densité au point M aura pour valeur

La densité électrique superficielle en un point de la surface d'un conducteur homogène en équilibre est la somme :

i" D'une densité S, donnée par V égalité (2), qui dépend seulement de la nature que le conducteur et l'isolant présentent loin des surfaces terminales, mais non de leur forme et des actions électriques particulières auxquelles le conducteur est soumis ;

1° D'une densité A, donnée par l'égalité (3), qui dépend des actions électriques qui s'exercent dans le système et de la forme des conducteurs qui le composent.

Nous donnerons à l'ensemble de la couche de densité 2 répandue d'une manière uniforme à la surface du conducteur et des couches électrisées qui se succèdent dans l'intérieur de ce conducteur jusqu'à une distance (). + {x) de la surface le nom à^ électricité naturelle du conducteur. La couche électrique de densité A sera Vélectricilé communiquée.

Étudions les propriétés de l'électricité naturelle du conducteur.

Prenons, sur la surface S, un élément <iS {fig- 70). Par tous

les points M, M 4, ... du contour de cet élément, menons des normales à la surface S. Prolongeons-les, vers l'intérieur du contour, d'une même longueur MM', M, Mj, . . . infiniment peu supérieure à ()v-|- pi) et, vers l'extérieur du conducteur, d'une même longueur infiniment petite MN, M,N,, — Par les points M', M',, ... d'une part et les points N, N, , ... d'autre part, menons deux surfaces parallèles à la surface S. Cherchons la quantité totale

d'électricité contenue dans la petite surface fermée N Ni M' M',. Si l'on observe :

1° Que les faces latérales de ce petit cylindre sont normales aux surfaces d'égal niveau potentiel;

2° Que la surface M'M'j est située dans une région oii la fonction potentielle a la valeur constante ©(Xh- p.); on trouvera

sans peine, d'après les lemmes de Gauss, que la quantité totale d'électricité contenue dans la surface fermée dont il s'agita pour valeur

De là, on conclut aisément la proposition suivante :

Si, par un cylindre normal à la sur/ace du conducteur, on découpe une portion de la région naturellement électrisée du conducteur, V électricité naturellement répandue dans cette région renferme toujours autant de fluide positif que de fluide négatif.

Nous exprimerons ce fait en disant que V électricité naturelle du conducteur forme une couche double (').

Soit U la fonction potentielle de cette couche double prise isolément. La fonction U vérifie, comme on le voit aisément, les propriétés suivantes :

1° Elle est continue dans tout l'espace;

2" Elle est régulière dans tout l'espace, sauf sur la surface qui limite le conducteur;

3" Elle est égale à zéro à l'infini;

4° Elle est harmonique dans tout l'espace extérieur au conducteur ;

(') Le nom de double couche ou couche limite {Doppelschicht, Grenzschicht) a été donnéjpar M. H. von Helmholtz à l'ensemble de deux couches de même densité superficielle, mais de signes contraires, distribuées sur deux surfaces parallèles infiniment voisines [H. Helmholtz, Ueber einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Strome in kôrperlichen Leitern mit Amvendung auf die thierischelektrischen Versuche {Pogg. Ann. Bd LXXXIX, p. 226; i853). — Helmholtz, Wissenschaftliche Abhandlungen, t. I, p. 489. — Studien iiber elektrische Grenzschichten (Wiedemann's Annalen, Bd VII, p. 887; 1879). — Helmholtz, Wiss. Abhàndl., t. I, p. 855]. Ce nom est pris ici dans un sens peu différent.

CIIAP. 11. — LKS CONDl'CTELRS HOMOGÈNES. 877

5" En tout point intérieur au conducteur, on a, d'après l'éga-

lité(.),

AU =^- ^ Ae;

6° En tout point de la surface (|ui limite le conducteur, on a, d'après l'égalité (a),

^ AI i ^Q(")

On démontre sans peine que ces conditions définissent une seule fonction U et que c'est la fonction

à l'intérieur du conducteur et

à l'extérieur du conducteur.

Si l'on désigne par P la fonction potentielle de la seule électricité communiquée, on aura

La condition de l'équilibre électrique sur le conducteur, donnée par la condition

(7) £V-^e = C, deviendra, en vertu de l'égalité (5),

tandis qu'à l'extérieur du conducteur on aura, en vertu de l'égalité (6),

Ainsi la couche électrique communiquée à la sur/ace d'un conducteur serait en équilibre, dans la théorie de Poisson, su/' ce conducteur. Elle porte l'intérieur de ce conducteur au niveau potentiel constant

Les actions extérieures de ce conducteur se réduisent aux actions de l^ électricité communiquée.

Ces propositions ont une importance capitale puisqu'elles nous prouvent :

i" Que les actions qu'exerce dans l'espace isolant un système de conducteurs homogènes, tous du même métal, se réduisent aux actions de l'électricité communiquée à leur surface);

2" Que la distribution de cette électricité est donnée par la théorie de Poisson.

Par là, toutes les méthodes analytiques, exposées aux Livres II et III, qui résolvent le problème de la distribution électrique dans la théorie de Poisson, reprennent l'importance physique que la ruine de la théorie de Poisson semblait devoir leur faire perdre.

§ 2. — Théorie de la décharge électrique. — Théorème de Clausius.

Considérons un système de conducteurs métalliques, tous formés du même métal, tous rigides. Supposons que l'on prenne ce système dans un état d'équilibre, puis qu'on fasse subir aux conducteurs qui le composent certains déplacements, aux charges électriques qu'il porte certaines modifications de distribution, de manière à faire passer le système à un autre état d'équilibre. Cherchons la variation que subit, dans une semblable transformation, le potentiel thermodynamique interne.

Cette variation est donnée par la formule générale

([o) 83'^ = Eo(r— T2) + oW + o(0l5'l-^e25'2 + •••^-©«^«)• Évaluons successivement les divers termes qui figurent au second membre de cette égalité.

Si le système avait été au préalable ramené à l'état neutre et maintenu dans cet état pendant toute la durée de la modification, celle-ci eût constitué pour le système un déplacement sans changement d'état. Si donc on désigne par SS,- le travail qu'effectueraient, durant le déplacement imposé au système, les actions qui s'exerceraient entre les diverses parties du système ramenées à l'état neutre, nous aurons

(ri) E8(r — T2)=— 8S^

La quantité

pourra, d'après les égalités (i), (2), (4), s'écrire de la manière

suivante :

(,„ .L-g9A9*.--LSe(o)''-^>rfSH-Se(o)i</s.

h; premier signe ^ s'élendant à lous les éléments de volume des

conducteurs qui composent le système, et les deux autres à tous les éléments des surfaces qui limitent ce système.

La quantité 0 aura, pour chacun des points du système, la même valeur au commencement de la modification et à la fin ; les deux premiers termes de l'expression précédente auront donc aussi la même valeur au commencement de la modification et à la fin.

Comme tous les conducteurs sont formés du même métal plongé dans le même isolant, 0(o) a la même valeur pour tous les éléments c/S. Le dernier terme de l'expression (12) peut donc s'écrire

\dS.

Or V AdS représente la quantité totale d'électricité communiquée au système; comme l'électrisation naturelle est composée uniquement de couches doubles, la quantité totale d'électricité naturelle répandue sur le système est égale ào; on peut donc dire

que W Ao^S représente la quantité totale d'électricité, tant naturelle que communiquée, répandue sur le système; cette quantité étant essentiellement invariable, le troisième terme de l'expression (12) a la même valeur au commencement de la modification et à la fin. On a donc

Calculons enfin la variation du potentiel électrostatique du système.

Nous aurons évidemment

(.4) W=i§Uprf.-i-J§USrfS-s§UArfS-î§PArfS,

le premier signe C s'étendant à tous les éléments de volume du

système et les trois autres à lous les éléments des surfaces qui limitent les conducteurs.

38o LIVRE V. — LES CONDUCTEURS MÉTALLIQUES.

Les égalités (i), (2), (5), (6) donnent

Les trois premiers termes de l'expression de W donnée par l'égalité (i4) ont donc la même valeur au commencement et à la fin de la modification et l'on a