ATTRACTION D'UNE COUCHE SPHÉRIQUE HOMOGÈNE

§ 1. — Les trois lemmes de Gauss.

La démonstration de l'identité de Green repose essentiellement sur la division d'un espace clos en une infinité de cylindres infiniment déliés ayant tous leurs génératrices parallèles entre elles.

Il existe un autre mode très naturel de division d'un semblable espace en volumes infiniment petits : il consiste à décomposer cet espace en cônes infiniment aigus ayant tous leur sommet en un même point.

Ce mode de division a été employé, pour la première fois, par Lagrange, dans l'étude du problème de l'attraction des ellipsoïdes ('). Legendre retrouva, de son côté, ce même mode de décomposition de l'espace dans son premier travail sur l'attraction des ellipsoïdes (2). Dans son second Mémoire sur le même problème, Legendre (^) reconnaît, à cet égard, la priorité de Lagrange : « Ce principe, dit-il, auquel j'étais parvenu par des considérations géométriques, ne s'est point trouvé différent d'un moyen de transformation indiqué par M. de Lagrange. ... La propriété en appartient donc à cet illustre géomètre. »

Ce mode de division de l'espace s'est montré très puissant entre les mains des géomètres qui se sont occupés de la théorie de l'attraction. Il leur a notamment permis de résoudre le problème de l'attraction des ellipsoïdes.

Il existe une sorte de parallélisme entre les méthodes fondées sur la décomposition de l'espace en cylindres infiniment déliés dont les génératrices ont même direction et les méthodes fondées

(') Lagrange, Mémoires de l'Académie de Berlin, p. i25; 1773. (') Legendre, Mémoires des Savants étrangers, t. X; 1778. (') Legendre, Mémoires sur les intégrales doubles {^Mémoires de l'Académie des Sciences, p. 4^5; 1788).