CIIAP. IV. — LEMMES DE GAUSS

sur la décomposition de l'espace en cônes infiniment déliés issus d'un même point. Ce parallélisme a été, à plusieurs reprises, signalé par Gauss (').

Le rôle que joue, dans la première espèce de méthodes, le théorème de Green, semble être tenu, dans la seconde espèce de méthodes, par trois lemmes très simples que Gauss (^) a imaginés afin de résoudre le problème de l'attraction des ellipsoïdes. Ce sont ces lemmes que nous allons démontrer, suivant la forme même de Gauss.

Imaginons une surface fermée S, à connexion simple ou multiple, limitant un certain espace clos E; imaginons aussi un point M que, pour le moment, nous supposerons n'être point situé sur la surface S.

Du point M, faisons partir un rayon vecteur qui rencontre la surface S; si le point M est à l'intérieur de l'espace E, ce rayon vecteur rencontrera la surface S un nombre impair de fois. A chaque rencontre d'ordre impair, il sortira de l'espace considéré, et, à chaque rencontre d'ordre pair, il y entrera. Si, au contraire, le point M est extérieur à l'espace considéré, le rayon vecteur rencontrera la surface S un nombre pair de fois; à chaque rencontre d'ordre impair, il entrera dans l'espace considéré; à chaque rencontre d'ordre pair, il en sortira.

Désignons par /-^ la distance du point M au yo'ème point de rencontre de notre rayon vecteur avec la surface S. Soit N^ la normale en ce point à la surface S, celte normale étant dirigée vers l'extérieur de l'espace E, et soit (/\Ne)p l'angle que la normale ainsi dirigée fait avec le rayon vecteur. L'angle (r,^e)p est aigu ou obtus, selon qu'au point considéré le rayon vecteur sort de l'espace E ou pénètre dans cet espace.

Dès lors, si le point M est intérieur à l'espace E, nous au-

( ' ) Gauss (C.-F.) , Tlieoria attractionis corporum sphœroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata {Nouveaux Mémoires de Goettingue, t. II, i8i3; Gauss, Werke, t. V, p. i). — Principia generalia theoriœ figurœ Jîuidoruni in statu œquilibrii {Nouveaux Mémoires de Goettingue, t. V, i83o; Gauss, Werke, t. V, p. 43).

(") Gauss (G.-F.), Theoria attractionis corporum sphœroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata {^Nouveaux Mémoires de Goettingue, t. II, i8i3; Gauss, Werke, t. V, p. 9).

rons

cos(r, Ne)i>o, cos(r, Ne)2<o, ..., cos(r, Ne)2,„-i > o,

et, si le point M est extérieur à l'espace E, nous aurons

cos(;-, Ne),<o, cos(r,Ne)2> o, ..., cos(r, Ne)2„> o.

Sur la surface d'une sphère de rajon i, ayant pour centre le point M, prenons un élément d'y voisin du point où cette surface sphérique est percée par notre rajon vecteur. Le contour de cet élément étant pris pour directrice d'un cône infiniment délié dont le sommet est en M, ce cône découpera sur la surface S des éléments

CtS \ A CiS 2} • • "5 as py • • f .

Si l'angle (r, N^)^ est aigu, nous aurons

COs(/-, l^e)i>d^p

ri Si, au contraire, l'angle (/•, N^)^ est obtus, nous aurons

COS(r. 'Ne)pdSp

' p Cela posé, considérons, en premier lieu, le cas où le point M est intérieur à l'espace considéré. Nous aurons

cos(r, Ne)i<iS, cos{r, Ne)2 0?S2 ^~ 'r\ "~ ri

COS(r, Ne)2,«-lC?S2,„-l

et, par conséquent,

cos(r, Ne)i«iSi cos(/-, Ne)2<^S2 , cos(r, Ne)2/„-i c?S2,„i ,

■ 11 ' —^ -T- . . . H -^ =: rfa.

Ecrivons les égalités analogues qui nous sont fournies par tous les éléments «?o- de la sphère de rayon i, et ajoutons-les membre à membre; nous verrons sans peine que le premier membre de l'égalité résultante sera l'intégrale

COS(/-, Ne)<fS

étendue à toute la surface S, et que le second membre sera la surface de la sphère de rayon i, c'est-à-dire ^tz. D'où le théorème suivant, qui constitue le premier lemme de Gauss :