CH.VP. IV. — LEMMES DE GAUSS

tence de la force même à l'intérieur des charges agissantes, l'égalité (i3) peut s'écrire

(i4) CFk^S = 4to31I.

Cette égalité sera pour nous d'un fréquent usage. Nous nous bornerons, pour le moment, à en déduire les célèbres théorèmes de Newton (') sur l'attraction d'une couche sphérique homogène.

§ 3. — Attraction exercée en un point par une couche sphérique

homogène.

Un volume compris entre deux surfaces sphériques {^fig- 4)

Fig. 4-

concentriques est rempli d'électricité qui y est répandue avec une densité solide uniforme; soit 31L la quantité d'électricité qu'il renferme. En un point M se trouve une masse matérielle portant une charge électrique [x. Cette masse matérielle subit, de la part de la couche sphérique, vine action 0[ji., <Ï> ayant, évidemjnent, la même valeur pour tous les points équidistants du centre O de la couche sphérique et l'action étant évidemment dirigée suivant la ligne menée du centre O au point M. Convenons de compter positivement l'action lorsqu'elle est dirigée de O vers M et négativement lorsqu'elle est dirigée de M vers O.

Prenons une surface sphérique S ayant pour centre le point O et passant par le point M. Soit r le rayon de cette surface. Il est

(') Newton, Philosophiœ naturalis principia mathematica. Liber I, Sectiones XII, XIII.

aisé de voir que, pour une semblable surface, la quantité Fj,, définie comme nous l'avons fait tout à l'heure, aura précisément, en tout point, la valeur $. Nous aurons donc

(i5) CFn^S = 47r/'2<ï..

Deux cas sont maintenant à distinguer :

1° Le point M est situé dans la cavité intérieure à la couche sphérique. Dans ce cas, toutes les charges électriques dont émanent les actions Fjj sont extérieures à la surface S.

D'après l'égalité (i4) on a

ou bien, en vertu de l'égalité (i5),

Une couche sphérique homogène n^ exerce aucune action sur les points renfermés dans la cavité qu^elle délimite.

2° Le point M est extérieur à la couche sphérique. Dans ce cas, toutes les charges électriques de cette couche, qui produisent l'action Fj,-, sont intérieures à la surface S. On a donc, d'après l'égalité (14)5

d\L étant la somme de ces charges, et l'égalité (i5) devient

Une couche sphérique homogène agit sur un point extéi-ieur comme si toutes les charges qu^ elle renferme étaient réunies en son centre.

Ces deux théorèmes permettent aisément de calculer l'action exercée sur un point situé d'une manière quelconque dans l'espace par une sphère sur laquelle l'électricité est distribuée en couches concentriques homogènes. En particulier, si le point électrisé est extérieur à la sphère, la sphère doit agir sur lui comme si toutes