CHAP. IV. — LEMJIES DE GAUSS
el, en intégrant pour toute la région 4,
.yrf„,g^£^N^)«fs^o.
Considérons maintenant un point M2 de la région 2. Si l'on désigne par c?^' 1» perspective de l'élément dS sur une sphère de centre Mj et de rayon i , on aura
\cos(r,-N,)dS\ = r^d^.
On aura donc, pour tout point Ma de la région 2,
Scos(/-, Ne) c?S I n s V^ PO^^
ou
Scos(r, Ne)c?S I . , s ' - I
Pour tous les points de la région 2, p demeure inférieur en valeur absolue à une certaine limite Pg. On a donc '
Mais f f f dx dy dz est le volume compris entre les deux surfaces S et S'. On peut prendre ces deux surfaces assez voisines pour que ce volume soit plus petit que toute quantité positive donnée d'avance.
L'inégalité (8) peut donc être remplacée par l'égalité
(9) sT^mC ^^ili:iM^=r/,
■fl étant une quantité que l'on peut rendre aussi petite que l'en veut en valeur absolue, pourvu que l'on choisisse la surface S' assez voisine de la surface S.
On démontrerait de même l'égalité
t I dm X 1 Os
r" étant une quantité que l'on peut rendre aussi petite que l'on veut en valeur absolue en choisissant la surface S" assez voisine de S.
34 LIVRE I. — FORCES ÉLECTROSTATIQUES.
Enfin on a évidemment
/ dm — I j I p dx dy dz ou bien
/ dm < P2 1 I I dx dy dz,
ce qui peut s'écrire
(11) / dm — r^,
Tj étant, comme r/, une quantité que l'on peut rendre aussi petite que l'on veut en valeur absolue en choisissant la surface S' assez, voisine de la surface S.
Soit DIL la quantité totale d'électricité comprise à l'intérieur de la surface S. Nous aurons
(12) Dlo = / dm -^ I dm.
J^es égalités (6), (7), (9), (10), (11), (12) donnent alors cos(/% Ng) c?S
^fdm^
— 4 -ite OÏL — r;' -H Y)" — 4 ttît, .
Le premier membre de cette égalité ne dépend pas de la position des surfaces S' et S". Le second membre peut être rendu plus petit que. toute quantité donnée si l'on rapproche assez les surfaces S' et S" de la surface S. 11 est dès lors évident que semblable égalité ne peut avoir lieu que si l'on a
Cette égalité (i3) peut se mettre sous une autre forme. La quantité
l\x=î«fb /
est la composante suivant la noi-male extérieure à la surface S de l'action que toutes les charges électriques dm répandues sur le système exerceraient sur l'élément <^S, si la surface S était revêtue d'une couche électrique fictive de densité superficielle égale à l'unité. Moyennant cette définition de Fjy, définition rendue légitime parce que nous avons dit au début de ce paragraphe de l'exis-
