CHAPITRE Y

PROPRIETES DE LA FONCTION POTENTIELLE EN UN POINT INTERIEUR AUX CHARGES AGISSANTES.

§ 1. — Existence et continuité de la fonction potentielle en un point intérieur aux charges agissantes.

Au Chapitre II, nous avons défini la fonction potentielle et étudié ses propriétés seulement en vin point situé à distance finie de toutes les charges agissantes. Nous allons maintenant étendre les résultats obtenus, en les modifiant au besoin, de manière qu'ils deviennent applicables à un point placé au contact des charges agissantes.

Nous allons, dans le présent Chapitre, considérer un point M placé dans une région où la densité solide de l'électricité n'a pas une valeur nulle, mais situé en même temps à distance finie de toutes les surfaces sur lesquelles existe une distribution superficielle.

Pourvu que la densité solide ait, au point M, une valeur finie, nous savons, par ce qui a été dit au Chapitre précédent, que l'action exercée par toutes les charges électriques du système sur une charge égale à l'unité supposée placée au point M a des compcsantes parfaitement déterminées X, Y, Z, qui nous sont données par les égalités (4) du Chapitre IV.

Autour du point M, on peut tracer une surface fermée S, simplement connexe et convexe, limitant un volume en tous les points duquel la densité solide de l'électricité existe et a une valeur finie. Ce volume ne renferme aucune surface de discontinuité. Désignons ce volume par l'indice i et le reste de l'espace par l'indice 2.

L'électricité répandue dans la région i exerce au point M une action dont les composantes sont Xj, Y,, Z, ; l'électricité répandue dans la région 2 exerce au point M une action dont les com-

posantes sont X2, Yo, Z2 ; on a

f X = Xi-+-X2, (0 Y = Y, + Y,,

\ lu ^ Li\ H— ^2*

Les quantités Xo, Yo, Z2 obéissent aux lois indiquées au Chapitre II; en particulier, si l'on désigne par x^ y, z les coordonnées du point M, et par Y^i^iy-, ^) la fonction potentielle au point M de toute l'électricité répandue dans la région 2, on aura

I A2 — — £ — — > 1 Ox

\ oz

Notre étude doit porter sur les quantités X,, Y,, Z,. De ces quantités, nous ne savons rien, si ce n'est qu'elles sont finies, déterminées et représentées par les égalités

Xi = / / / -~r — - dai dbidci,

'JJJ, '■' "^^

( 3 ) /Y, =JJJ-t ^ da, db, de, ,

p dr -2 dy

p dr

fim

duidbidci,

p étant la densité électrique solide en un point de l'élément datdbtdct, pris dans la région i, et r la distance de ce point au point M.

Entourons le point M d'une surface fermée S {Jig. 5) simplc-

Fig. 5.

ment connexe, entièrement contenue dans S, et pouvant, par une

4o LIVRE I. — LES FORCES ÉLFCTROSTATIQCES.

déformation continue, venir s'évanouir au point M. Soit 3 la région comprise entre la surface 2 et la surface S. Envisageons la quantité

(4) "'"///' da^dh^dcz,

Cette quantité tend vers une limite finie et déterminée lorsque la surface S tend à venir s'évanouir au point M en passant par vme série quelconque de formes.

Soit, en effet, un rayon vecteur issu du point M. Il rencontre d'abord la surface S un nombre impair de fois, en des points dont les distances au point M ont pour valeurs rj, rg, . . ., r^p^ ''ap+i \ il rencontre ensuite la surface convexe S en un point unique dont la distance au point M est R. Supposons que ce rayon vecteur soit l'une des génératrices d'un cône ayant le point M pour sommet et pour ouverture sphérique t^w. Nous verrons sans peine que l'on peut écrire

J = ^ c/to / pr dr -+■ I pr dr -h . . . -h i pr dr -h j pr dr\.

Supposons maintenant que la surface S vienne s'évanouir au point M. Toutes les intégrales qui figurent entre crochets tendent vers o, sauf la dernière qui tend vers une limite finie et déterminée

/ prdr.

La quantité J tend donc vers une limite finie et déterminée

J'= V d(x> I pr dr.

Si nous nous reportons à l'expression (4) de J, nous voyons que, lorsque la surface S vient s'' évanouir au point M(j:,jk, ^), la, quantité J tend vers une limite finie et déterminée, que nous désignerons parY i {^,y, ^) <?^ qu^ nous nommerons fonction potentielle au point M de l'électricité répandue dans la région i. Suivant l'usage établi dans l'étude des intégrales définies, cette proposition s'exprime par l'égalité

(5) Yi{x,y,z)=JJJ Ida.dbidcr.

Par définition, la fonction potentielle au point M de toute V électricité répandue sur le système sera la quantité

( fi) V(r,jK, ^) = V,(.r,7, 3) -\-Yi{x, y, z).

Si l'on se souvient de la définition de Y^i^^y^ z) et si l'on en rapproche la définition de V)(^,j', ^) donnée par l'égalité (6), on voit que l'on aura encore, comme pour un point extérieur aux masses agissantes,

(7) y{x,y,z)=^JJJ^^dadbdc+^^ld^„

les notations ayant la même signification que dans l'égalité (4) du Chapitre II.

Cette fonction V(^,j)^, ;:), dont l'existence est ainsi démontrée, est une fonction continue des coordonnées du point M.

La continuité de y^i^iy-, z) étant une vérité reconnue, il nous suffit, pour prouver cette proposition, de démontrer la continuité (le V,(^,j, z).

Démontrer la continuité de V< (^,JK, -s), c'est démontrer que, du point M comme centre, on peut décrire une sphère II {fig. 6)

Fig. 6.

avec un rayon MM' si petit que, pour tout point W{x\y'^ z") intérieur à cette sphère, on ait

ri étant une quantité positive quelconque choisie d'avance.

Commençons par entourer le point M d'une surface fermée, sim])lement connexe et convexe S entièrement contenue dans S. Désignons par 3 la région comprise à l'intérieur de la surface S et

par 4 la région comprise entre la surface S et la surface S. La région i se composera de l'ensemble des régions 3 et 4-

Soit M."'{x"\y", z'") un point quelconque de la région 3; soient

ou, plus brièvement,

les fonctions potentielles au point M'" des charges réparties respectivement dans les régions i, 3, 4i on aura

Soit R la longueur du rajon vecteur mené du point M'" à un point de la surface S; soit ofco l'ouverture sphérique d'un petit cône dont ce rayon vecteur forme une génératrice. Nous pourrons écrire

yi = ^du,J prdr,

le signe ^ indiquant une sommation qui s'étend à tous les éléments de la sphère de rayon i ayant pour centre le point M'".

Cette formule nous montre que l'on peut prendre la surface S assez petite pour que, pour tout point intérieur à cette surface, la quantité V'3 soit inférieure en valeur absolue à une quantité donnée d'avancé. Nous supposerons que l'on ait pris la surface S assez petite, pour que, pour tout point M'" intérieur à cette surface, on ait

<9) iv'ri<^-

Envisageons maintenant la fonction V'^'. C'est la fonction potentielle au point M'" de charges auxquelles ce. point M'" est extérieur. C'est donc une fonction continue des coordonnées x'", y'", d" du point M'".

Le point M étant l'une des positions possibles du point M'", on voit que, du point M comme centre, on pourra décrire une surface sphérique II, en entier contenue dans S et si petite que, pour tout point M" intérieur à cette surface fl, on ait