LIVRE I

LES FORCES ELECTROSTATIQUES.

site, variable d'' une manière continue, admet une dérivée finie par rapport à Vàrc de toute courbe tracée sur la surface S. Soit M un point extérieur à la surface, situé d'' un côté déterminé de cette surface et qui s'approche d'un point P de cette surface; soit M0 une direction issue du point M, cette direction tendant à devenir parallèle au plan tangent en P à la surface S. La composante Fe suivant'^% de V action exercée au point M par la surface S tend vers une limite finie et déterminée, variable dhine manière continue avec la position du point P sur la surface S et la direction limite de la droite M0.

Prenons maintenant le point M sur la surface S) {fiig- r4).

Fig. ik-

Traçons sur cette surface une ligne fermée /, entourant le point M et partageant l'aire S< en deux autres : l'une, So, limitée par la courbe / et renfermant le point M; l'autre, annulaire, S3, comprise entre les courbes L et /.

L'action exercée au point M par l'électricité répandue sur l'aire S3 a, suivant M0, une composante qui a pour valeur

•-'' ^^^ Rcos(«M,e) ,„ ^p /■2cos(N,v)

dKd^,

p étant le rajon vecteur de la projection de la courbe / sur le plan T.

Une transformation de tout point semblable à celle qui a donné

la formule (3) permet d'écrire l'égalité suivante :

^0 Jp (R2^52)t^' C0S(N,V)

Sous cette forme, on voit que, si p tend vers o, la quantité F© tendra vers une limite finie, déterminée, variable d'une manière continue avec la direction M0 et la position du point M sur la surface S,, cette limite ayant pour expression

«-0 ^0 ( f^2 j ^2)2 v.^^sv^^î^y'

c'est-à-dire ce que devient le second membre de l'égalité (3) lorsque, dans le cas auquel se rapporte cette égalité, le point M vient se placer sur la surface S,.

Nous arrivons donc à la conclusion suivante :

La surface S( exerce en un point M qui lui appartient une action dont la composante suivant une tangente M0 à la surface S, au point M a une valeur finie et déterminée, variable d'une manière continue avec V orientation de la tangente M0 et la position du point M sur la surface S,. Cette valeur est la limite vers laquelle tend la composante suivant une droite M' 6' de V action exercée par la surface en un point extérieur M' lorsque le point W et la direction M'0' tendent respectivement vers le point M et la direction MB,

Nous énoncerons abréviativement les diverses propositions que nous avons établies au présent paragraphe, en disant que les composantes tangentielles de l'action d'une surface en un point varient d^me manière continue, même si ce point traverse la surface.

§ 3. — Réfraction de la force au passage d'une surface électrisée. Nous allons maintenant chercher les relations qui existent entre

les trois quantités que nous avons désignées au § 1 par les lettres Fpj , Fiv , $N . La détermination de ces relations repose sur une conséquence des lemmes de Gauss, conséquence qui n'est ellemême que la généralisation du théorème établi au § 2 du Chapitre IV.

Imaginons un système formé, comme tous ceux que nous étudions, par des corps continus, en tout point desquels la densité électrique solide a une valeur finie et par des surfaces de discontinuité en tout point desquelles la densité électrique superficielle a une valeur finie.

Au sein de ce système, traçons une surface fermée S.

Cette surface S peut couper certaines surfaces de discontinuité en de certaines lignes ou les toucher en certains points; elle peut aussi avoir des aires d'étendue finie communes avec certaines de ces surfaces de discontinuité.

Nous supposerons, désormais, que si le point M est un point commun à la surface S et à une surface de discontinuité S, celleci est soumise, au voisinage du point M, aux conditions suivantes :

1° Elle admet une courbure finie;

2" La densité superficielle de la couche électrique qui la recouvre admet une dérivée finie suivant toute ligne tracée sur la surface 2.

Moyennant ces conditions, nous serons assurés que le point M et que tout point voisin du point M subiraient, s'ils portaient une charge électrique égale à l'unité, une force finie et déterminée de la part de l'électricité répandue sur le système.

Cela étant, nous sommes assurés que, de quelque manière que l'on place vme charge électrique égale à l'unité sur la surface S, l'action de tout le système sur le point oîi se trouve cette charge admet une composante /"„^ finie et déterminée, suivant la normale n^ extérieure à la surface S en ce point.

Envisageons alors la somme

Par une série de raisonnements analogues en tout point à ceux qui nous ont servi au Chapitre IV, § 2, nous trouverons que l'on

peut écrire

( 4 ) §//.. dS = i-z DM -i- 2 r.zix,

DTu étant la quantité totale d'électricité répartie à l'intérieur de la surface S et a la quantité totale d'électricité répartie sur cette même surface.

Telle est l'égalité que nous allons appliquer immédiatement et dont nous aurons encore à faire un fréquent usage au cours de ces Leçons.

Considérons une surface de discontinuité S (.A»"- '5) chai'gée

d'électricité et, sur cette surface, un j)oint M au voisinage duquel la surface S possède les propriétés que nous avons rappelées il J a un instant.

Du côté de cette surface vers lequel est dirigée la normale Na, traçons une surface S', parallèle à la première. Soit o la distance de ces deux surfaces.

Sur la surface S autour du point M, prenons une aire AB. Par tous les points A, B, ... du contour de cette aire, menons des normales AA', BB', .... Elles forment une surface réglée T qui découpe une aire A'B' sur la surface S'.

Les aires iVB, A'B' et la portion de la surface T, qui est située entre elles, limitent un espace clos. On peut toujours choisir la distance S assez petite pour qu'aucune surface de discontinuité autre que la surface S ne pénètre dans cet espace c'os, ou ne rencontre la surface fermée qui le limite.

Cette surface remplit alors assurément des conditions telles, que l'égalité (4) lui soit applicable. Moyennant l'emploi de notations dont le sens est bien facile à deviner, cette égalité (4) j)ourra

s'écrire, dans le cas actuel,

/ =4''^- I f I P dx dy dz -h 2~z^(jdl..