US
dS,
dS,
cr — - — db, fi
Prenons un point M(œ,y, z), que l'on puisse faire tendre d'une manière continue vers une des surfaces S du système. Supposons que, de ce point M, on puisse abaisser sur la surface S une normale M pi dont la longueur tende vers o et dont l'orientation varie d'une manière continue lorsque le point M tend vers un point de la surface S; cela sera toujours possible si, comme nous le supposerons, au point P de la surface S, vers lequel tend le point M, et en tous les points assez voisins du point P, la surface S admet im plan tangent, et si l'orientation de ce plan langent varie d'une manière continue d'un point à l'autre de la surface S.
Soit [j. {Jig'. lo) le pied de la normale en question. On pourra
Fig. 10.
toujours supposer le point M si voisin de la surface S que le pomt [JL soit aussi voisin que l'on voudra du point P vers lequel tend le point M.
Par le point M menons un plan T parallèle au plan tangent à la surface S en ij.. Si le point jjl est suffisamment voisin du point P, nous pourrons toujours, sur la surface S, tracer une ligne fermée L, découpant sur cette surface une aire limitée Si qui renferme à son intérieur le point P et tous les points [x relatifs à toutes les positions successives du point M et qui, en outre, possède la propriété suivante :
Une normale A a au plan T rencontrera toujours l'aire S, en un point au plus a et fera toujours un angle fini avec le plan tangent en a.
Cela posé, nous observerons que la force exercée au point M par toutes les surfaces électrisées du système résulte toujours de deux forces : l'une engendrée par l'électricité répartie sur la calotte S, ; l'autre répartie sur le reste des surfaces électrisées.
Cette dernière demeure évidemment une fonction uniforme , finie et continue des coordonnées du point M, même si le point M tend vers le point P de l'aire S,, ou vient à traverser l'aire S, ; ne nous en occupons pas plus longtemps et étudions la première.
La première a une composante dirigée suivant la normale N à la surface S(, normale comptée dans un sens déterminé, le sens piM. Cette composante, que nous désignerons par Fj,, va solliciter notre attention.
Par jjlM, menons deux plans normaux en ^ à la surface S4, faisant entre eux un angle d<h. Ils ont pour trace, sur le plan T, deux lignes droites MA, MB. Envisageons l'élément du plan T compris entre ces deux droites et deux circonférences de cercle ayant pour centre le point M et pour rayons MA= R et MC == R -1- <iR. Cet élément ABGD a pour aire
Il est la projection d'un certain élément a^yo de l'aire S,. Soit V la normale à l'aire S, au point a, cette normale étant prise dans un sens tel qu'elle vienne coïncider avec la direction N si l'on fait venir le point a au point M. L'élément aj^yo aura pour aire
,/Si = — % — - rfR d^.
cos(N, v) ^
On aura alors
271 ^c'fl ^ cos(aM, N) .„ ^, J J^ ri cos(N,v) •' .
A désignant le rayon vecteur de la projection de la courbe L sur le plan T.
Jusqu'ici, nous avons supposé que la densité superficielle a demeurerait finie dans le champ d'intégration ; que la quantité
Tic; — : demeurait finie et variait d'une manière continue dans ce
cos(]N, V)
champ. Nous allons supposer maintenant que ces quantités admettent, par rapport à R, des dérivées partielles du premier ordre qui demeurent finies dans le champ d'intégration.
Soit z la distance Aa du point a au plan T, comptée positivement d'un tel côté du plan T que la normale N traverse ce dernier de la face positive à la face négative. Nous aurons
Nous aurons aussi
cos(aM, N) = -.
Nous aurons donc
,^2)! cos(N,v)
dRd'\>.
Maiï
à z Rz R2 dz
On a donc, en appliquant à l'expression de Fj^ la formule de l'intégration par parties et en désignant par S, 3b, JL^ ce que deviennent 0-, z, V en un point de la courbe L,
.27: ^Si.
^in ^i)\. - ^ r ^ "1 , ,.
Remarquons bien que cette transformation de l'intégrale donnant Fjj suppose essentiellement que le point M n'est pas situé sur la
surface S; sinon la formule de differen dation sur laquelle elle repose perdrait tout sens.
Mais le second membre de la formule (2) possède, comme nous l'allons voir, une valeur finie, qui varie d'une manière continue lorsque le point M se rapproche de la surface S( d'un côté déterminé de cette surface et même lorsqu'il vient se poser sur la surface Sf. Seulement, cette valeur, qui représente F^ tant que le point M n'est pas sur la surface S), quelque voisin qu'il soit d'ailleurs de cette surface S,, peut cesser de représenter F^ au moment où il vient se placer sur la surface S, .
Ce que nous venons d'énoncer est évident pour le premier des trois termes qui figurent avi second membre de l'égalité (2).
Envisageons le second de ces termes. 11 peut s'écrire
En vertu des hypothèses faites, tous les facteurs dont se compose la quantité sous le signe / demeurent finis dans le champ d'intégration, même si le point M vient se placer sur la surface S|, sauf le terme R -. La théorie des intégrales dans lesquelles la quantité sous le signe / devient infinie nous montre alors que l'intégrale
précédente garde une valeur finie et varie d'une manière continue lorsque le point M s'approche de la surface Sj ou vient se placer sur cette surface.
Une démonstration analogue s'applique au dernier terme du second membre de l'égalité (2).
Nous arrivons donc à la conséquence suivante :
Considérons une surface S dans une région S| de laquelle le plan tangent varie d' orientation d' une manière continue pendant cjue la courbure a une valeur finie [cette condition équivaut à l'existence de la dérivée de cos(N, v), comme on le voit aisément].
Supposons en outre qii'en tout point de cette région Sj la densité électrique superficielle ait une valeur finie, varie
76 LIVRE I. — LES FORCES ÉLECTROSTATrQlIES.
d'une manière continue et admette des dérivées partielles par rapport aux paramètres qui fixent la position d' un point sur la surface S.
Prenons un point M situé au voisinage de cette surface d^un côté déterminé de cette surface. L'action exercée par la surface électrisée sur ce point M admet une composante suivant la normale à la surface qui va joindre le point M. Lorsque le point M tend dhine manière quelconque vers un point P de la surface, cette composante normale F^ tend vers une limite finie et bien déterminée. Cette limite varie dhine manière continue avec la position du point P sur la suif ace. On n!est pas autorisé à dire que cette limite représente la valeur de F^ sur la surface.
Prenons deux points M, M' situés de part et d'autre de la surface S, et infiniment voisins d'un même point P. Dans ce cas, la direction iN' est sensiblement opposée à N; la direction v' à v. La quantité cos(N', v') a donc sensiblement la même valeur que la quantité cos(N, v). De même z et z' ont sensiblement des valeurs égales et de signe contraire. Il semble donc que , lorsque ces deux points tendent simultanément vers le point P, les deux quantités F^ et F^ doivent tendre vers des limites égales et de signe contraire. Mais, si l'on observe que la quantité qui figure
sous le signe / dans les deux derniers termes du second membre
de l'égalité (2) devient infinie dans le champ d'intégration, on voit sans peine que cette conclusion n'est plus nécessaire. Ainsi, lorsque deux points, situés de part et d^ autre de la surface Si, tendent tous deux vers un même point de cette surface, les composantes normales des forces exercées sur ces deux points tendent vers des limites qui ne sont pas forcément égales et de signe contraire.
Prenons le point M sur la surface Si ^fig. ii)* autour du point M, sur cette surface S), traçons une ligne fermée / séparant l'aire Sj en deux autres; une aire limitée S2 entourant le point M et une aire annulaire S3 comprise entre / et L. Par le point M, menons la normale N à la surface S,.
L'électricité répartie sur l'aire S3 exerce au point M une action
dont la composante suivant N est
T K ona I n ivi 1\ 1
/•" /•".Rcos(aM,N) J, Jo /•^cos(N,v)
p étant le rayon vecteur de la projection de la courbe / sur le
Fig. II.
plan T tangent en M à la surface S).
Or on a
cos(aM, N) = -,
On a donc
'-^ dKd^.
p (R2-i- 32)2 COS(N, V)
Comme la surface S| a une courbure finie au point M, on peut écrire
z = KR2,
K tendant vers une limite finie lorsque R tend vers o. On a alors
*N - - f f ^ dK d'^.
J^ Jp (i-i-K2R2)2cos(N,v)
Sous cette forme, on voit que, si la courbe / se contracte de manière à venir s'évanouir au point M en passant par une série quelconque de formes, ce qui fait tendre vers o toutes les quantités p, la quantité ^^^ tend vers une limite finie et déterminée, représentée
par le symbole
r'^ cos(N, v) OU
^ -%os(r, N)^S.
Cette limite est, par définition, la composante normale de V action que la surface électrisée S| exerce en un de ses points M en vertu des lois de Coulomb.
La démonstration de l'existence de cette limite suppose seulement que la quantité <t soit finie et intégrable. Si, de plus, la densité superficielle varie d une manière continue sur la surface Si, cette composante normale varie d'une manière continue d^ un point à l'autre de la surface S,.
Résumons les résultats trouvés dans ce paragraphe pour la composante normale de l'action exercée en un point par une surface électrisée.
i" Soit un point M situé sur une surface S dont la courbure au voisinage du point M a une valeur finie. Cette surface est recouverte d'une couche électrique ayant une densité superficielle finie en tout point voisin du point M. La normale à la surface S au point M {fig. 12) admet deux orientations que nous désignerons par N,,- No.
L'action exercée au point M par l'électricité répandue sur la
Figf. 12.
surface S admet suivant N^ une composante finie et déterminée <ï>j,^. 2° Si la densité superficielle est continue, au voisinage du point M, la quantité <ï>j<^ varie dune manière continue avec la position de ce point sur la surface S.
CHVP. Vir. — LES SURFACES ÉLECTRISÉES. 79
3" Supposons maintenant que la densité superficielle admette, au voisinage du point M, une dérivée finie par rapport à l'arc de toute courbe tracée sur la surface S. Soit M" un point extérieur à la surface S qui tend vers le point M en demeurant du côté de la surface S marqué par la normale N). Soit N". une normale à la surface S allant à la rencontre de ce point. La composante suivant N'j de l'action exercée au point M" par l'électricité répandue sur la surface S tend vers une limite finie et déterminée lorsque le point M" tend vers le point M d'une manière quelconque. Cette limite Fjj^ varie d'une manière continue avec la position du point M.
Soit de même M' un point extérieur à la surface S qui tend vers le point M en demeurant du côté de la surface S marqué par la normale No. Soit N^ la normale à la surface S allant à la rencontre de ce point. La composante suivant ]N', de l'action exercée au point M' par l'électricité répandue sur la surface S tend vers une limite finie et déterminée lorsque le point M' tend vers le point M d'une manière quelconque. Cette limite Fy^ varie d'une manière continue avec la position du point M.
4" Les quantités F;y, Fy^ ne sont pas forcément égales et de signe contraire ; la quantité F^^ n'est pas forcément égale à <ï>,<^ ; la quantité F^^ n'est pas forcément égale à — ^y^ ou <I>^^.
Nous trouverons plus loin la valeur des quantités
Fn.
-^ Fn,,
-Fn„
§ 2. — Étude des composantes tangentielles de l'action exercée en un point par une surface électrisée.
Prenons dans le plan T {^g- i3), mené par le point M parallèlement au plan tangent en {x à la surface S,, une direction déterminée M0. Convenons de compter les angles «L à partir de cette direction.
L'action exercée au point M par l'électricité répandue sur la surface S, admet suivant M0 une composante F0, qui a pour valeur
^^n ^A Rcos(aM,e) , .,
8o LIVKE I. -- LES FORCES ÉLECTROSTATIQUES.
Mais on a
ces (aM, 6) = sin(aM, N) cos4', R
sin (xM, N) = — , r
On a donc
-0 -^0 (R2^ 22)2 COS^,i>, /;
Mais on a, d'ailleurs,
cos<\id'\i = d(sin<\i).
On pevit donc, en remarquant que
\r2-4-^2)I^«HN,v)
est une fonction uniforme finie et continue de (];, écrire
•^ râl
R2 2 fh
d<]^ cos(N, v)
o?R sin ^ d'!^
f. ".r T^rh^ 4 [c-iï-(iv)] ''« ^'°* ''+■
(Rî^s')
CHVP. Vil. ^ LES SURFACES ÉLECTHISÉES. 8l
Soit dl la longueur de l'arc BA. Nous aurons Nous pourrons donc écrire
Si, comme nous le supposons, la surface S, admet en tout
point une courbure iinie, -ry a une valeur lime ; -. a une
ol dl
valeur finie.
Si, comme nous le supposons également, la densité superficielle <T admet une dérivée par rapport à l'arc de toute ligne tracée
sur la surface S(, -y a une valeur finie.
Enfin, nous savons que
z = KR2,
K croissant au delà de toute limite lorsque R tend vers o, si le point M est extérieur à la surface S<, et tendant vers une limite finie si M est situé sur la surface S,, en sorte que les quantités
ne croissent pas au delà de toute limite lorsque R tend vers o.
La quantité F© garde donc une valeur finie et variable d'une manière continue avec la position du point M, non seulement si le point M s'approche de la surface S, mais encore si ce point vient se placer sur la surface S ou se déplace sur cette surface.
Or, tant que le point M n'est point sur la surface S, nous sommes assurés que la quantité F© représente la composante suivant MO de l'action exercée au point M sur la surface S,.
Nous arrivons donc à la conclusion suivante :
Prenons une surfaceSqui admet en tout point une courbure finie et qui est recouverte d' une couche électrique dont la den- D. — I. 6
