AB

71 étant une quantité positive quelconque.

Or, le premier membre de cette inégalité ne dépendant pas de 6,

l'inégalité ne peut avoir lieu que si l'on a

(6) C (*s.-4-Fx,-2Tr£cr)rf2 = o,

l'aire AB étant une aire quelconque tracée sur la surface S et contenant le point M.

Cette égalité, à son tour, ne peut avoir lieu, à moins que l'on n'ait, au point M,

^s, -+- F.v. — aTiea = o.

Supposons, en effet, qu'au point M, la quantité

soit différente de o. La valeur de cette quantité varie d'une manière continue avec la position du point M sur la surface S; car, d'après les hypothèses faites et les conséquences qui s'en déduisent, chacune des trois quantités <I>;^p Fj^^ et <t possède cette même propriété. On pourrait, dès lors, tracer autour du point M un domaine en tout point duquel cette quantité aurait le même signe qu'au point M; en prenant pour AB la totalité ou une partie de ce domaine, l'égalité (6) ne pourrait plus avoir lieu. On a donc, en tout point de l'aire S,

( 7 ) •i'N, -4- Fjjj — 27:£(T = o.

On démontrerait de même que l'on a

(8) ^y^^Fji^-i- ITZZa = o.

Ces deux égalités, combinées entre elles, donnent la troisième relation

(9) Fn.-t-Fn; — -l-^sa ^ o.

Soient F,, Fo, <I>| les trois forces dont les composantes normales sont ¥ji^, F^,, <I>^ . Ces trois forces, nous le savons, doivent avoir les mêmes composantes tangentielles. Elles sont donc situées dans un même plan normal au point M à la surface S. Si A2M représente la force F2, Ma la force ^ et MA, la force F, {^g". 16), les deux lignes Ma, MA, devront avoir, sur le plan tangent en M à la surface S, une même projection MB,, égale et directement opposée à la projection MBo de la longueur MA^ sur le même plan.

i.ES FORCES ELECTROSTATIQUES.

Si <j est positif, les forces en question seront disposées comme l'indique \di fig. i6. La longueur C2C) sera égale au double de la longueur CoT,.

Ces diverses propriétés sont souvent désignées sous le nom

de réfraction de la force au passage d' une suif ace électr'isée.

Un cas particulièrement intéressant par ses applications à l'Electrostatique est le cas où la force F2 est égale à o.

Lorsqu'une couche électrique n'exerce aucune action sur les points situés en l'une des deux régions en lesquelles elle sépare l'espace, elle exerce en un point de la surface qu'elle recouvre une force normale à cette surface, dirigée vers l'autre région de l'espace et ayant pour grandeur 2TU£a-; sur un point situé dans cette dernière région de l'espace et infiniment voisin de la surface, elle exerce une force dirigée comme la précédente et ayant pour grandeur ^Tzzrï.

Fonction potentielle d'une surface électrisée.

Si nous prenons un point situé à distance finie de toute surface de discontinuité électrisée, nous savons que la fonction potentielle en ce point est une fonction uniforme, finie et continue des coordonnées de ce point. Que devient cette fonction lorsque le point auquel elle se rapporte s'apjnoche indéfiniment de l'une des sur-

CHAP. VII. r.KS SURFACES ÉLECTRISÉES. 89

faces électrisées du système, ou même vient se placer sur cette surface?

Pour répondre à cette question, on pjgut évidemment réduire le système à la surface électrisée dont il est question, ou même à la portion de surface que nous avons désignée par S( dans les § 1 et 2.

La fonction potentielle de l'électricité répandue sur la surface Si , en un point extérieur à cette surface, peut, en faisant usage des notations employées aux § 1 et 2, s'écrire

v= r f'^ — "^dRd^.

.'o -'o '•cos(N,v)

Or, tant que le point M n'est pas sur la surface S,, le rapport

— tend vers o lorsque R tend vers o. Il tend vers l'unité lorsque R

tend vers o si le point M est venu se placer sur la surface Si. La quantité précédente représente donc, comme on le voit aisément, une fonction finie, continue et uniforme des coordonnées du point M, même dans le cas où le point M vient se placer sur la surface S,.

La fonction potentielle au point M d\in système quelconque électrisé est donc une fonction finie, continue, uniforme, des coordonnées du point M, même si le point M s approche des surfaces de discontinuité électrisées ou vient se placer sur ces surfaces.

En un point M extérieur à toute surface électrisée, la fonction potentielle admet des dérivées partielles du premier ordre qui sont continues et sont liées aux composantes de la force par les relations

Ces relations, jointes aux propriétés de la force électrostatique que nous avons étudiées aux paragraphes précédents, nous fournissent de suite la démonstration d'un certain nombre de théorèmes sur

go LIVRE I. — LES FORCES ÉLECTROSTATIQUES.

la fonction potentielle : il nous suffira d'énoncer ces théorèmes.

Soit M un point d'une surface électrisée S; N,, Na sont les

deux directions de la normale à la surface S au point M {fig. 17).

La surface S est supposée avoir une courbure finie au point M et aux points avoisinants. La densité électrique superficielle en ces points a une dérivée finie par rapport à tout arc tracé sur la svirface S.

Dans ces conditions :

i" Lorsque le point (a;, y, z) tend d' une manière quelconque vers le point M^ en demeurant du côté de la surf ace que désigne la normale N,, la quantité

d\ d\ dW

-— cos(Ni, x)-\ cos(Ni, r)H cos(Ni, z)

dx ^ ' ^ dy ^ '-^ ^ Oz V " ^

tend vers une limite finie et déterminée, ttt-j variable d^ une

manière continue avec la position du point M sur la surface S.

y" Lorsque le point (^, y, z) tend dhuie manière quelconcjue vers le point M en restant du côté de la surface S que marque la normale N^,, la quantité

-- C0S(N2, X) -\- -^ C0S(N2,JK)

cos(N2, z)

tend vers une limite finie et déterminée, -^j qui varie d^ une

manière continue avec la position du point M sur la surface S.

3" Entre ces deux quantités -^rr-j -r^ existe la relation

4" Soit T une direction quelconque tangente en M à la surface S. La quantité

^cos(T,r)+^cos(T,j)+^^cos(T,^)

tend vers la même limite finie et déterminée lorsque le point (.r, jKj z) s^ approche de la surface S en se trouvant d'ailleurs d^un côté ou de l ^ autre de cette surface.

5" S oient h^, Lo deux directions opposées, issues du point M. Lorsque le point (x, JK, s) tend vers le point M en demeurant du côté de la surface marqué par la normale N,,

— -cos( Li, X) -i. — — cos(Li, r) -T- -T- cos(Li, z)

dX ^ " ^y V "^ / ^^ \ I.1 J

tend vers une limait e finie et déterminée ^r- ' Lorsque le point

(x, y, z) tend vers le point M en demeurant du côté de la surface marqué par la normale No

-- C0S(L2, X) H- -- cos(L2,^) + -^ C0S(L2, ^)

dY tend vers une limite finie et déterminée ,r-- Entre ces deux •^ 0L2

.. dY dY , , .

quantités —r-, sp? on a la relation

dY dY

6" La fonction potentielle admet une dérivée suivant V arc dhine ligne quelconque tracée sur la surface S; mais, en un point de la surface S, elle n'admet pas de dérivée par rapport à la normale à la surface S, ni, par conséquent, par rapport à V arc d'une courbe quelconque non située sur la surface S.

Telles sont les principales propriétés de la fonction potentielle au voisinage d'une surface de discontinuité électrisée (').

('1 Les rcclicrclics rclalivcs aux disconliniiilés qu'éprouvent les dérivées se-

§ 5. — Criteria de la fonction potentielle d'un système électrisé. Prenons un système formé par un corps continu G {Jlg- 18)

électrisable séparé du milieu non électrisable qui l'environne par

condes de la fonction potentielle lorsqu'on franchit une surface électrisée n'ont qu'un intérêt mathénnatique. Aussi nous bornerons-nous à donner, à cet égard, les renseignements suivants, que nous empruntons à M. Max Bacharach.

Les recherches relatives aux discontinuités des dérivées secondes sont récentes, bien que déjà Green, dans l'étude de la bouteille de Leyde [Essay, art. 8), ait déjà donné une formule qui se rapporte à cette question. Cette formule, que Clausius et Betti ont ensuite démontrée et généralisée de diverses manières, est la suivante : Soit N^ la normale extérieure à une surface, à l'intérieur de laquelle la fonction potentielle est constante et dont les rayons de courbure principaux sont B^, B^. On a

M. Paci déduisit de là [Sopra la funzione potenziale di una massa distribuita sopra una superficie {Giornale di Matematica da Battaglini, t. XV, p. 289 ; 1877)] que l'on devait avoir, en un point quelconque d'une surface électrisée,

Mais il ne démontra directement cette formule que pour l'ellipsoïde; il l'élendit aux autres cas en confondant la surface avec l'ellipsoïde osculateur. M. Cari Neumann a donné \Neue Sâtze iibev das Newton'sche Potential ( Mathematische Annalen, t.W'l, p. 432; 1880)], mais sans démonstration, l'expression de la discontinuité qu'éprouvent, en traversant une surface électrisée, les dérivées secondes, suivant une direction quelconque, de la fonction potentielle. Cette formule renferme celle de M. Paci comme cas particulier. M. Beltrami [Jntorno ad alcuni nuoviteoremi delsig. Neumann sulle funzioni potenziali (Annalidi Matem.atica, série II, t. X, p. 46; 1880)] donna bientôt deux démonstrations très générales de cette équation. Enfln, les résultats énoncés par M. Cari Neumann ont été démontrés par M. Horn [Die Discontinuitâten der ziveiien Diffeventialquotienten des Oberfiâchenpotentials {Schlômilch's Zeitschrift, t. XXV^I, p. i[\b et 209; 1881)].

CHVP. VII. — LliS SURFACES ÉLECTRISÉES. Ç)'i

une surface S dont la courbure est finie en chaque point. En tout point du corps C, la densité électrique solide a une valeur finie p, qui varie d'une manière continue d'un point à l'autre du corps C et admet des dérivées partielles du premier ordre par rapport aux coordonnées du point auquel elle se rapporte. La densité superficielle (7 a une valeur finie en tout point de la surface S ; elle varie d'une manière continue d'un point à l'autre de la surface S, et admet une dérivée par rapport à l'arc de toute courbe tracée sur la surface S.

Dès lors, nous savons que la fonction potentielle V de l'électricité répandue sur ce système satisfait aux conditions suivantes :

1° Cette quantité est, dans tout l'espace, une fonction uniforme, finie et continue des coordonnées x,y^ z- du point auquel elle se rapporte.

2° Dans l'espace 2, extérieur à la surface S, elle est harmonique.

3" Dans l'espace i, intérieur à la surface S, elle est régulière et elle satisfait à l'équation

A V — — 4 ''^p • 4° En tout point de la surface S, on a

dV dY

5" Si l'on désigne par R la distance du point (x, y, z) à un point fixe O pris à l'intérieur du corps C, les produits

RV, R2^, R2^, R2^

ox oy oz

demeurent finis lorsque R augmente au delà de toute limite.

Réciproquement, si une fonction V possède toutes ces propriétés, on est assuré qu'elle est la fonction potentielle de la distribution électrique considérée , car deux fonctions distinctes ne peuvent posséder à la fois ces propriétés.

Supposons, en effet, que ces propriétés appartiennent à la fois à deux fonctions, et désignons par 0 leur différence ; celle-ci possédera les propriétés suivantes :

1° Elle sera, dans tout l'espace, une fonction uniforme, finie

et continue des coordonnées [x, y, z) du point auquel elle se rapporte.

2° Elle sera harmonique dans l'espace 2, extérieure la surface S.

3" Elle sera harmonique dans l'espace i intérieur à la surface S.

4° Ses dérivées premières satisferont, sur la surface S, à la condition

5" Les produits

de de

RO, R^^, R^f, R^^ ox oy dz

demeureront finis lorsque R augmentera au delà de toute limite.

Or nous avons vu, au Chapitre VI, § 1, que ces propriétés entraînaient la conséquence suivante : La fonction 0 est identiquement nulle; les deux fonctions dont elle est la différence sont donc identiques, comme nous l'avions annoncé.

Les cinq propriétés que nous avons énuniérées sont, on le voit, les criteria de la fonction potentielle d'un système électrisé.

§ 6. — Historique.

Coulomb a découvert, en 1 786, comme nous le verrons au Livre II, que, lorsque l'équilibre électrique est établi sur un corps conducteur, il ne peut pas j avoir d'électricité répandue à l'intérieur de ce corps, en sorte que sa surface seule est électrisée. C'est cette découverte qui a amené les théoriciens à rechercher les propriétés des couches électriques.

Toutefois, pénétrés de l'idée que l'électricité était un fluide matériel, capable, à la vérité, de se condenser en un très petit volume, mais point d'être réduit à occuper un volume nul, les premiers qui se sont occupés de ces recherches, à savoir Coulomb, l^aplace et Poisson, ont considéré des couches électriques très minces, mais point des couches électriques infiniment minces. C'est plus tard seulement que Green a introduit dans la Physique mathématique la notion de couche électrique superficielle.

Il y a plus.

Les premiers essais, guidés par les lois de l'équilibre électrique sur les corps conducteurs, se sont bornés à l'étude de coviches

CIIAP. VII. — LES SURFACES ÉLECTRISÉES. QÎ

électriques n'exerçant aucune action électrostatique sur les points situés à l'intérieur des conducteurs qu'elles recouvrent.

Une couche homogène, de très petite épaisseur, comprise entre deux sphères concentriques, est un exemple d'une semblable couche. Or, tandis que son action en un point intérieur est égale à o, elle exerce, en un point de la surface qui la Umite extérieurement, une action normale à cette surface, dirigée vers l'extérieur de cette surface, et ayant pour grandeur ^T^epy, si l'on désigne par y l'épaisseur de la couche et "par p sa densité. Cette remarque avait été faite, dès 1709, par Lagrange (').

En 1788, Coulomb {-), développant la théorie du plan d'épreuve, marque très nettement qu'à la traversée d'une couche électrique en équilibre, couche que, dans ce passage. Coulomb considéré comme infiniment mince, la composante de l'action électrostatique suivant la normale à la couche varie brusquement; égale à o en un point infiniment voisin de la couche, mais intérieur au corps, elle est proportionnelle au double de la densité de la couche en un point infiniment voisin de la couche, mais extérieur au corps. La démonstration que Coulomb donne de cette proposition renferme, en germe, la démonstration qu'en ont donnée, peu après, Laplace et Poisson.

C'est, en effet, dans les Mémoires de Poisson, que nous trouvons ensuite le développement de l'idée émise par Lagrange et Coulomb. Dans son premier Mémoire sur l'Electrostatiqvie (^), Poisson dit : « Lorsque la figure de la couche électrique est déterminée, les formules de l'attraction des sphéroïdes font connaître son action sur un point pris en dehors ou à la surface du corps électrisé. En faisant usage de ces formules, j'ai trouvé qu'à la surface d'un sphéroïde peu différent d'une sphère, la force répulsive du fluide électrique est proportionnelle à son épaissevir en chaque point ; il en est de même à la surface d'un ellipsoïde de révolution, quel que

(') Lagrange, Miscellanea Taurinensia, l. I, p. i/|2-i45; 1759.

(^) Coulomb, Sixième Mémoire sur l'électricité. Suite des JiecJierches sur la distribution du Jluide électrique entre plusieurs corps conducteurs; détermination de la densité électrique dans les différents points de la surface de ces corps, § 45 {Mémoires de l'Académie pour i^^^, p. 676-677. Paris; 1791).

(') Poisson, Mémoire sur la distribution de l'électricité à la surface des corps conducteurs, p. 5 {Mémoires des savants étrangers, t. XII, p. iSn).

y6 LIVRE I. — LES PORCES ÉLECTROSTATrQUES.

soit le rapport de ses deux axes; de sorte que, sur ces deux espèces de corps, la répulsion électrique est la plus grande dans les points où l'électricité est accumulée en plus grande quantité. Il est naturel de penser que ce résultat est général et qu'il a également lieu à la surface d'un corps conducteur de forme quelconque; mais, quoique cette proposition paraisse très simple, il serait cependant très difficile de la démontrer au moyen des formules de l'attraction des sphéroïdes; et c'est un des cas où l'on doit suppléer à l'imperfection de l'analyse par quelque considération directe. On trouvera, dans la suite de ce Mémoire, une démonstration purement synthétique, que M. Laplace a bien voulu me communiquer, et qui prouve qu'à la surface de tous les corps électrisés, la force répulsive du fluide est partout proportionnelle à son épaisseur (' ). »

La démonstration de Laplace concernait seulement une couche n'exerçant aucune action à l'intérieur du corps qu'elle recouvre. Au lieu de reproduire simplement cette démonstration. Poisson cherche à l'étendre à une couche très mince quelconque, et il est ainsi amené à découvrir la discontinuité de la composante normale et la continuité des composantes tangentielles de l'action exercée par une semblable couche : « On démontre aussi, dit-il (^), sans aucun calcul, que la répulsion électrique à la surface d'un corps de forme quelconque est proportionnelle à l'épaisseur ou à la quantité d'électricité accumulée en chaque point; mais cette proposition est comprise dans une autre plus générale, dont je vais donner la démonstration.

» Je considère une couche infiniment mince, solide ou fluide, mais de telle forme qu'on voudra; je suppose que l'on prenne un point A sur sa surface extérieure et qu'on y élève une normale à cette surface, qui aille couper la surface intérieure en un point que j'appelle a; je désigne par y l'épaisseur A« de la couche; par R son action sur le point A décomposée suivant la normale A a et par R' son action sur le point a décomposée suivant la même droite :

(') Pour bien entendre ce passage et le suivant, on doit supposer que lu densité de la couche électrique et la constante s ont été, toutes deux, prises égales à l'unité.

(') Poisson, loc. cit., p. 3o.