OIIAP. VII. — ACTION ÉLECTROSTATIQUE EN FONCTION POTENTIELLE

je dis qu'on aura toujours

Tî désignant le rapport de la circonférence au diamètre. »

Après avoir démontré celte proposition, Poisson continvie en ces termes (') : « De même, si l'on appelle T l'action de la couche entière sur le point A, décomposée suivant le plan tangent ou perpendiculaire à A«, et que l'on désigne par T' son action sur le point a, aussi perpendiculaire à cette droite, on trouvera T = T'. ... Généralement, je représente par y? l'action de la couche sur le point A, suivant une direction qui fait avec la normale un angle quelconque 9, et par p' son action sur le point «, suivant une direction parallèle; j'ai alors /? = RcosO -h T sinO et />'= R' cosO + ï' sinO ; mettant pour R' et T' leurs valeurs, il vient yy'= R cos8 + T sinO — 4'^JKCOs9, et par conséquent

p' = p — ^T^y cos9.

» ... S'il s'agit d'une couche fluide répandue sur un sphéroïde de forme quelconqvie, et disposée de manière qu'elle n'exerce aucune action sur les points intérieurs, ce qui est le cas du fluide électrique, on aura T'= o, R'= o ; donc aussi T = o, R = ^Tzy, d'où il suit : i° que la force tangentielle est nulle à la surface extérieure, comme nous l'avions déjà prouvé dans le numéro précédent; 2° que la force normale à cette surface est proportionnelle à l'épaisseur de la couche en chaque point.

» Cette démonstration est celle que nous avons annoncée au commencement de ce Mémoire, et qui nous a été communiquée par M. Laplace. Nous l'avons rendue vin peu plus générale, en considérant d'abord ime couche fluide ou solide, qui n'était pas assujettie à n'exercer aucune action sur les points de sa surface intérieure. »

Laplace et Poisson considéraient, on le voit, les propriétés d'une couche très mince, mais point d'une couche rigoureusement superficielle. Green considéra, en 1828, cette sorte de couche (2) et

(') Poisson, loc. cit., p. 33.

(•) George Green, An essay of thé application 0/ mathematical analysis to the théories of electricity and magnetism. Nottingham ; 1828 (^Mathematical papers of the late George Green, p. 3o. Londres; 187 1).

g8 LIVRE I. — LES FORCES ÉLECTROSTATIQUES.

démontra, pour chacun de ses points, la relation fondamentale

il ^ __ ,

Sa démonstration, fondée sur l'emploi de l'identité qui porte son nom, exigerait, pour être rendue rigoureuse, que l'on fit, au préalable, la preuve des diverses propositions que nous avons exposées aux paragraphes 1 et 2.

C'est à Gauss (') que l'on doit la méthode par laquelle il est possible d'établir toutes ces propositions d'une manière aussi rigoureuse qu'élégante.

Récemment, M. Otto Holder(-) a montré que toutes ces propositions demeuraient exactes dans un cas étendu où la densité électrique n'admet pas de dérivée suivant l'arc de la surface qu'elle recouvre.

Enfin Lejeune-Dirichlet (^) a insisté le premier sur le rôle de criteria joué par les propositions que Gauss avait démontrées.

(') Gauss, Allgemeine Lehrsdtze, n°' 12, 13, 14, 15, 16 (G.vuss Werhe, Bd. V,

(") Otto Holder, Beilràge zur Potentialtlieorie. II" Abschnitl {Inaugural Dissertation. Stuttgard ; 1882).

(') Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen iibcr die im umgekehrten Verhàltniss des Quadrats der Entfernung wirkenden Kràfte, p. 65. Leipzig ; 1876.

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