JJ2 (V — U)(W — II
(.4) {Hf =
On aura donc
4«(a2-i- u)(62-H u) (iv — v)(u — v)
(u — iv)(v — w) 4 »v ( a- -h w j ( 6^ -+- w }
I /HiH2y (v — wy- u(a^-\-u)(b^--hu)
l V II / ~ 4 i>{a'-i-i>){b^-{-i;)w{a--^-h w){b^-\- w)'
^^-^^ '\ \ Hi / ~ 4 w(a^-+-w){b^-+-w)u{a^-^u){b-^-+-u)'
HHi\2 („p)2 ,p(<xî j ,^,)(^,2| „,)
,. 1 , H, H, H, H HH, , j ,,, 1- ,
Les valeurs de — tt-^, -i=r- ? -tt— ' reportées dans 1 égalité n xli XI2 '■ °
^ , d /HiH, dY\ d /H, H r)V\ d /HH, dV\
(1") ÏÏT: — n— 7777 -+- X, -il^ XT M- 377 ( -ÎT- TTT. ) = »>
Ou \ II ()«/ ' Oi> \ Hi (^(^ / (Jw \ H2 dw /
donnent la transformée de l'équation
A\ =0 en coordonnées elliptiques.
§ 3. — Distribution électrique sur un ellipsoïde soustrait à toute
influence.
La transformation que nous venons d'indiquer va nous permettre de déterminer bien aisément la distribution d'une certaine charge électrique sur un ellipsoïde isolé et soustrait à toute influence.
Imaginons que l'équation de cet ellipsoïde soit, en coordonnées cartésiennes,
igO LIVRK II. — DISTRIBUTION ET PUOBLIiiME DE DIRICIILET.
OU, en coordonnées elliptiques,
{i6 bis) u = c'-.
Imaginons que nous trouvions une fonction de la seule variable u, tinie, continue et uniforme en tout point extérieur à l'ellipsoïde, égale à o à l'infini, et vérifiant, en tout point intérieur à l'ellipsoïde, l'équation (lo). Cette fonction, ne dépendant que de «, prendra une certaine valeur constante sur l'ellipsoïde, et, par conséquent, sera la fonction potentielle d'une certaine quantité d'électricité distribuée à la surface de l'ellipsoïde soustrait à toute influence.
Or, lorsque la fonction V ne dépend que de la variable m. l'équation (lo) se ramène à la forme
du \ 11 du ) ~ ^'
ou bien, en vertu de la première des égalités (i5),
y u(a'-i- u)(o^-i- u) -y- = — L, du
C étant une certaine constante dont la valeur est liée à la quantité d'électricité distribuée sur l'ellipsoïde, et le radical étant pris en valeur absolue. Comme V doit être égal à o à l'infini, on aura
.-, r"^ du
Telle est la valeur de V au point de coordonnées (w, ç, (v) extérieur à l'ellipsoïde.
La valeur de la fonction potentielle en tout point de la surface ou de l'intérieur de l'ellipsoïde s'obtient en donnant à m, dans cette expression, la valeur c^ qui correspond aux points de la surface de l'ellipsoïde. Si nous désignons par A cette valeur de la fonction potentielle, nous aurons
(18) A=Gr-=£^=.
J^. \/u{a^-Jru){b^-\-u)
La densité électrique superficielle o- s'obtiendra par la formule
i^ dV
TRANSFORMATION DE l'ÉQUATION AV = O. I<)I
La direction N^ de la normale extérieure à l'ellipsoïde est la direction de la tangente à la ligne v = const., w = const., dans le sens où la quantité u va en croissant. On a donc
W^" n du
U ayant la valeur c-, et, par conséquent.
Celte densité peut s'exprimer en coordonnées cartésiennes. Si nous faisons u = c^ dans l'égalité (i3), nous trouvons
et l'égalité (19) devient
( ig bis) G
Cette formule est susceptible d'une interprétation intéressante. Le plan tangent au point oc, y, z k l'ellipsoïde est représenté par l'équation
^X vY zZ
et la distance du centre à ce plan langent par
La formule (19 bis) met donc en évidence ce théorème fondamental.
Lorsque V électricité est distribuée en équilibre à la surface d'un ellipsoïde isolé et soustrait à toute influence, la densité superficielle est, en chaque point, proportionnelle à la distance du centre au plan langent en ce point.
On peut encore donner de la formule (19 bis) une autre interprétation.
Considérons l'ellipsoïde E {fig. "ào) et un second ellipsoïde E',
infiniment voisin de l'ellipsoïde E, concentrique et homotliétique à l'ellipsoïde E. Soit k le rapport d'homothétie.
Soit M un point de l'ellipsoïde E ; soit OP la distance du centre O an plan tangent en M à l'ellipsoïde E'.
Le rayon vecteur OM rencontre l'ellipsoïde E' en un point M' dont M'D est la distance au plan tangent considéré. On a évidemment
MJ3 T — A- 6Y ~ ~li
Mais M'D ne diffère que par un infiniment petit d'ordre supérieur de l'épaisseur e au point M de la couche comprise entre les deux ellipsoïdes E et E'. Il y a donc proportionnalité entre e et OP, et l'on peut dire que
Lorsque V électricité est distribuée en équilibre à la surface d'un ellipsoïde isolé et soustrait à toute influence, la densité superficielle est en chaque point proportionnelle à Vépaisseur de la couche comprise entre cet ellipsoïde et un ellipsoïde concentrique, ] 10 mo thé tique, infiniment voisin.
Sous cette forme, ce théorème était connu de Poisson (').
(') Poisson, Mémoire sur l'attraction d'un ellipsoïde homogène, lu à l'Acatléiuie le 7 octobre i833 {Mémoires de l'Académie des Sciences, t. XIII, p. 497; i835).
CHAP. VU. — XnANSFORMATIO-N DE l'ÉQUATIOX AV — O. IqS
Revenons maintenant à la formule générale
du
,.7) v=cr-^=^
{b'--hu)
et proposons-nous de trouver la relation qui existe entre la constante C et la charge électrique totale Q distribuée sur l'ellipsoïde. Nous y parviendrons bien simplement par la remarque suivante. Posons
et nous pourrons évidemment écrire
V Q « ^ -ÏÏ'^R^'
a demeurant fini lorsque R croît au delà de toute limite. Considérons l'équation
et faisons croître u au delà de toute limite, nous verrons sans peine que
tend vers i lorsque u et R croissent au delà de toute limite, en sorte que l'on pourra écrire
p demeurant fini lorsque u croît au delà de toute limite. D'autre part, on peut écrire l'égalité (17) sous la forme
du 8' 9.C fi'
^' demeurant fini lorsque u croît au delà de toute limite. En identifiant ces deux expressions de V, on trouve la relation
qui détermine la constante C lorsque l'on connaît la charge totale Q de l'ellipsoïde.
Cette relation nous permet de déterminer la capacité K de l'el- D. — 1. i3
lipsoïdc, c'est-à-dire la charge totale qu'il faut distribuer sur cet ellipsoïde pour lui donner le niveau potentiel -• Dans ce cas, en effet, la relation (i8) donne
i=cr '^ — ,,
et la relation (20) donne
Ces égalités, combinées entre elles, donnent (...) K =
Je'- ["(
du
§ 4. — Cas particuliers.
La fonction potentielle de l'électricité répandue sur un ellipsoïde s'exprime, d'après l'égalité (17), par une intégrale elliptique de seconde espèce. 11 existe deux cas où cette intégrale se ramène aux fonctions inverses des exponentielles. Ces deux cas sont :
i" Le cas où l'on sl c^b. L'ellipsoïde est alors un ellipsoïde de révolution allongé.
a° Le cas où l'on a. a = c. L'ellipsoïde est alors un ellipsoïde de révolution aplati.
1° Ellipsoïde de révolation allongé.
La formule (17) donne
du Q , \/â^- = • — log^
,r 0 r'" fil . ,
La capacité de l'ellipsoïde sera (3.3) K =
, Ja- -f- c elog
a° Ellipsoïde de révolution aplati.
La formule (17) donne ici
du
Posons u = ^2, et nous ramènerons de suite cette intégrale à
CIIAP. VII. — TRANSFORMATION DK l/ÉQUATION AV = G. I9S
une forme qui s'inlègre immédiatemenl ; nous trouverons
arc tans
ia a
La capacité de l'ellipsoïde a pour valeur
r 7: I cl
arc tane —
Si T est la densité électrique en un point, cette densité est donnée par l'égalité (19), qui devient
47îQ
3" Cercle plan.
Si, dans les formules précédentes, on fait c = o, on obtient les formules qui se rapportent à un cercle plan de rajon a. Dans ce
z^ • x"^ -4- y2 cas, — doit être remplacé par i '■ — ^ — , et l'on trouve
arc tan!:!;^^ —
il-]) \ = ^
( 20 I - = — ^ Q Jcf^ — {x'^-\- y^). -
^ <j ta ^ ^ \ y /
D'après l'égalité (29), la densité o- est infinie au bord du plateau. Aussi ce cas est-il purement théorique ; mais, à ce point de vue théorique, nous verrons au prochain Chapitre qu'il présente un grand intérêt.
§ 5. — Solution géométrique du problème de la distribution sur un ellipsoïde isolé.
Nous avons vu que, lorsque l'équilibre électrique est établi sur un ellipsoïde soustrait à toute influence, la densité électrique superficielle est, en chaque point, proportionnelle à la distance du centre au plan tangent en ce point. Pour établir ce théorème, il n'est pas nécessaire d'avoir recours aux calculs précédents. Quelques considérations géométriques permettent de le déduire des premiers principes de l'Electrostatique .
ig6
DISTRIBUTION KT PROBî.EME DK DIUICIILET.
Nous allons tout d'abord démontrer un lemme fort simple.
Une couche très mince formée, d'une manière homogène, d'électricité dont la densité estp, se trouve comprise entre deux surfaces infiniment voisines S et S' {fig- 3i).
Du point M comme sommet, on mène un cône infiniment délié d'ouverture sphérique û^to et l'on se propose de trouver l'action F exercée au point M par l'électricité répandue dans le volume ABA'B' que ce cône découpe dans la couche considérée.
Soit NN' la normale à la surface S en un point de l'élément AB. Cette normale rencontre en N' la surface S'. Le volume ABA'B' a pour valeur
MA diù
cos(MA, NN') Il renferme une charge électrique
