TT T + T

que nous avons déjà considérée [Livre I, Chap. VI, § 2].

Nous savons que cette équation a trois racines réelles, séparant les quantités

Nous prendrons

Pour a la racine comprise entre -}- a^ et -f- oo ;

Pour (V la racine comprise entre — b^ et a^,, qui est négative;

Pour ç la racine comprise entre — oo et — b'-.

(') Laplace, Théorie des attractions des sphéroïdes et de la figure des planètes {Mémoires de l'Académie des Sciences pour 1782; Paris, 1785).

Les surfaces u = const. sont des ellipsoïdes ;

Les surfaces v = const. sont des hjperboloVdes à une nappe;

Les surfaces (v= const. sont des hjperboloïdes à deux nappes.

Toutes ces surfaces ont même centre, mêmes directions d'axes et mêmes foyers; on sait qu'elles forment trois familles de surfaces orthogonales.

Proposons-nous de calculer, pour un pareil système, les coefficients de Lamé H, Hi, Ho.

DifTérentions l'équation (12) par rapport à x, en j remplaçant successivement), par u^ (^, w. Nous aurons

du dx

yy^aP- -\- u)'- ' (lj--h u)- u^

|(«--+-p)- {b'^-^vy- V- \ dx

r a?2 JJ/-2 ^2 I (j,p

L(a2-i- (pj2 ~^ (b--{- wy ' (v2 J ()^. ""

■iX

La diiïérentiation par rapport ky ou par rapport à z fournit deux groupes de relations analogues. De ces relations, on déduit aisément

Ui \dxj ^ {âj^J ^ [à.

I __ /(Jtvy /d(v\- / dw

H2 \dx J \dy J \dz

yl , -S^

{b-i-i-uy "^ «2

(a-4- uy

(a^-h vy

Ces expressions de H, H,, Ho renferment à la fois les variables M, ç, w et les variables x, y, ^, tandis qu'il nous faut obtenir les expressions de H, H<, H2 en fonction des seules quantités u, v, w.

Remarquons, à cet effet, que l'on peut écrire

prenons la dérivée de cette expression par rapport à X et faisons

TRANSFORMATION DE l' ÉQUATION AV = O. 189

'k= a; nous aurons

(a^-T-u)- (ô^H- a)^ if^ {a^-^- u){b^-\- u)u

La première des égalités précédentes devient alors la première des égalités