C:llAI>. vil. — TRANSFORMATION DE l'ÉQUATION AV = O. I

notre couche d'épaisseur Unie en n couches infiniment minces. Noire cône infiniment délié découpe respectivement sur les surfaces S,. So, . . ., S„, des éléments A,B,, AoBo, ..., A„iBrt|.

Le petit volume ABAi B( exerce au point M une action

F| = sp AAi ofw.

Le petit volume A, B, AoBo exerce au point M une action

Fj = sp Al A2 dià.

Il en est ainsi jusqu'au petit volume A„, B;;, A'B' qui exerce au point M une action

F„ = £pA„iA'âfaj.

Toutes ces actions ayant sensiblement la même direction, leur résultante $ est égale à leur somme et l'on a

4> = £p(AAi-i- Al A2 -f- . . . -T- A„i A')<ito = zpAX'doi.

Si donc on /^emplit d'électricité avec la densité constante p le volume qu'un cône infiniment délié découpe dans une couche quelconque, V action que cette électricité exerce au sommet du cône est égale au produit de ep par V ouverture sphérique du cône et par la longueur de génératrice comprise à V intérieur de la couche.

Ce lemme va nous servir à prouver que : si Von remplit d'électricité avec une densité constante p la couche comprise entre deux ellipsoïdes concentriques et homothétiques quelconques, cette couche exerce une action nulle en tout point situé à V intérieur du plus petit des deux ellipsoïdes .

l-IVRIÎ II.

DISXUIBUTION KT PROBLEME DE DIRICIILET.

Soient E le plus petit des deux ellipsoïdes i^J'ig. 3]^) et E' le plus grand. Prenons un point M à l'inlérieur de l'ellipsoïde E. Menons de ce point les deux nappes d'un cône infiniment délié d'ouverture sphérique c?(o. L'une des nappes découpe sur la couche considérée un volume ABA'B', et l'autre nappe un volume CD CD'.

Les actions au point M de ces deux volumes sont directement opposées. Si nous démontrons qu'elles sont égales entre elles, nous aurons évidemment prouvé la proposition. Or ces deux actions ont respectivement pour valeur, d'après le lemme précédent,

£pAA'<fco, spDD'c/o).

Il s'agit donc simplement de prouver que