AA'=DD

Par le centre commun O des deux ellipsoïdes E, E', et la droite AD, menons un plan. Ce plan coupe les deux ellipsoïdes E, E' suivant deux ellipses e, e', concentriques et homothétiques. La proposition à démontrer est donc ramenée à celle-ci :

Deux ellipses concentriques et homothétiques e, e' [Jîg.'i^)

marquent sur une droite quelconque de leur plan deux segments AA' DD', qui sont égaux entre eux.

CllAP. Ml. — TIIANSKOUMVI ION Uli LKyiATlON AV — O. I()9

Cette proposition est bien aisée à démontrer. Nos deux ellipses (\ e' sont la projection orthogonale de deux cercles concentriques C, C {fig. 35), et la droite A'ADD' est la projection de la droite

Fig. 35.

a'aoS'. Les deux segments aa', 8S' étant égaux entre eux, il en esl de même de leurs projections AA', DD'.

Si, en particulier, entre deux ellipsoïdes homotliétiques infiniment voisins on distribue de l'électricité avec une densité uniforme p, cette électricité n'exercera aucune action sur les points ([u'enferme la couche infiniment mince qu'elle remplit.

Soit AB ifig' 36) un élément superficiel de l'ellipsoïde inté-

Fig. 36.

rieur E. Considérons le cône issu de M et circonscrit à AB. Il découpe dans la couche infiniment mince un élément de volume ABA'B'. Si S désigne l'épaisseur normale de la couche au point A, cet élément aura pour volume AB.o. Son action au point M sera une force dirigée de A vers M et ayant pour valeur

Elle est égale à l'action qu'exercerait au point M de l'électricité

200 MVRE II. — DISTRinUTION ET PROBLEME DE DIRICHLET.

distribuée sur l'élément AB avec la densité superficielle

Si l'on rapproche cette proposition de celle qui a été démontrée au sujet de l'action d'une couche comprise entre deux ellipsoïdes homothétiques sur les points qu'elle enferme, on obtient le résultat suivant, auquel nous étions parvenu d'une autre manière :

Lorsque su?' un ellipsoïde on distribue de Vélectricité de telle manière que la densité superficielle en chaque point soit proportionnelle à la distance normale qui existe en ce point entre la surface de l'ellipsoïde et la surface d\in ellipsoïde concentrique, homothé tique et infiniment voisin, on obtient une couche électrique en équilibre.

Nous verrons, plus tard, que celte proposition est susceptible d'être vérifiée expérimentalement.

!^ G. — Distribution électrique sur un ellipsoïde soumis à une influence

quelconque.

Si la Géométrie suffit à étudier le problème de la distribution électrique sur un ellipsoïde soustrait à toute influence^ elle ne saurait aborder le problème bien plus général de la distribution électrique sur un ellipsoïde soumis à des actions électriqvies quelconques. L'analyse, cependant, permet de résoudre complètement ce problème, et c'est l'un des beaux titres de gloire de Lamé ( ' ) d'avoir donné cette solution, ou, en d'autres termes, d'avoir résolu le problème de Lejeune-Dirichlet pour l'espace extérieur à un ellipsoïde.

Le problème qu'il s'agit de résoudre est le suivant :

Trouver une fonction V de m, p, w qui, pour u = c^, se réduit à une fonction donnée 0, et, pour toute valeur de u supérieure à c^, est régulière et vérifie la condition

d /H1H2 dY\ ±/ïh}i à\\ c^ /HHi dY\ ^^'^' du \ H du) ^ di>\ Hi àç ) ^ d^\ H^ dw) " '''

(') Lamé, Sur l'équilibre des températures dans un ellipsoïde à trois axes inégaux {Journal de Liouville, t. TV, p. 126; 1889 ).

CIIAP. VII. - TRANSFORMATION DE l'ÉQUATION AV = G. 'iOI

Posons

Les égalités (i5) nous donneront alors

et l'égalité (lo), transformée de AV = o en coordonnées elliptiques, devient

-(..-.)v/=:iH:(^^[v/=Â(7)f]

^- v/— .ïi.t.v^'^^l.v'*'/'

Ha H

* V^ù>i.(tvyè)l(^a)

HHi H, -