LA METHODE DE L'INVERSION
v5 1. — La méthode de l'inversion ou des images électriques.
On sait le rôle immense que jouent, dans la Géométrie moderne, 1(!S méthodes de transformation qui permettent, lorsqu'un problème est résolu pour une certaine figure, d'en déduire d'autres fij^aires pour lesquelles on sache immédiatement résoudre le même problème ou des problèmes analogues.
Sir \V . Thomson (') a montré, et c'est assurément l'une des belles découvertes de ce grand géomètre, que, lorsqu'on sait résoudre le problème de Dirichlet pour un certain espace, on peut former une infinité d'autres espaces pour lesquels on sait aussi résoudre immédiatement le problème de Dirichlet. La méthode de transformation qu'il a employée sous le nom de méthode des images électriques est connue également sous le nom de transformation par inversion ou de transformation par rayons vecteurs réciproques.
Soient .r, j', z les coordonnées d'un point M d'un certain espace
Fis. 37.
et p sa distance à Torigine O ifig' 37). Faisons-lui correspondre
(') Extrait d'une lettre de M. William Thomson à M. Liouville {^Journal de Liouville, t. X, p. 364; i9,!\b).— Extrait de deux lettres adressées à M. Liou- \?ille par M. W. Thomson (Journal de Liouville, t. XII, p. 256; 1847). — Liou-
2o4 LIVIŒ II. — DISTRIBUTION ET PROBLEME DE DIRICHLET.
un point M'{x',y\z) d'un second espace par les formules suivantes (,) a^^psf:., y^p^r^, --p-y^'
A" étant un coefficient positif ou négatif.
Soit p' la distance OM'. 11 est facile de déduire des formules (i) que le produit pp' est égal en valeur absolue à k, et que le point M' se trouve sur la ligne OM, du même côté du point O que le point M si A" est positif, et du côté opposé du point O si k est négatif. La transformation en question est réciproque, en ce qu'on peut écrire, au lieu des formules (i), les formules
(i bis) a7'=p'2|, y=p'2^;, ^'=P''|'
On étudie, dans les cours élémentaires, quelques-unes des propriétés les plus simples de cette transformation.
On sait qu'un plan se transforme en une sphère en général, et en un plan dans le cas particulier où le pôle de transformation est sur le plan ; une sphère se transforme en général en une autre sphère, qui est concentrique à la sphère donnée quand le pôle de transformation est le centre de la sphère donnée, et qui, lorsque le pôle est pris sur la sphère donnée, se réduit au plan tangent à la sphère donnée en ce point.
Cette transformation possède, au point de vue géométrique, une propriété fondamentale que nous allons tout d'abord mettre en évidence.
Soit MMi un élément linéaire du premier esjoace, joignant le point M(a;,y, z) au point Mi (x 4- dx, y -+- dy^ z -^ dz).
Il se transformera en un élément linéaire M'M'j du second espace,
joignant le point M' {x',y, z') au point M', (x'-h dx' ,y' 4- dy' , z'-\- dz') .
D'après les égalités (i), nous aurons
-, , / dx 9. X dû \ dx = A — ^ ,
Vp2 p3 ;
, , , l' dz "xz da
dz ^ k { — — — — T
VILLE, Note au sujet de l'article précédent {ibid., p. 265). — Tous ces articles sont reproduits dans W. Thomson, Reprint of papers on Electrostatics and Magnetism, Art. XIV
cil VI». VIII. L.V MÉTHODE DE l'iNVERSIOX. 2o5
ce qui donne
dx"^-^dy'-^-\-dz"^= ~ dx'^-h dy'^-t- dz'^ P L
— ^{x dx -i-y dy -*■- z dz) —
Mais on a
X dx -^- y dy -^ zdz — Ç)d^, en sorte que l'égalité précédente se réduit à
^ ■!. ) dx">- -f- dy"^ -I- dz!^ — •— ( f/j^s i dyi- -f- c?^^ )
P ou
2 lï 2
M'M'i = , MMi .
OU
Voyons les conséquences de cette égalité.
Du point M, faisons rayonner une infinité d'éléments linéaires MMi, MMo, MM;),.... Ils auront pour correspondants une infinité d'éléments linéaires M'M', , M'MJ,, M'M!,, tous issus du
point M', et l'on aura
"MM7 ~ "MmJ ~ "MM^ - • • • - =^2 •
La figure infiniment petite formée par les points M,, M2, M3, . . . se transformera en une figure infiniment petite semblable formée par les points M',, M.,, M'^, ....
On exprime cette propriété en disant que l'espace (^', 7'', z') (pie la transformation par inversion fait correspondre à l'espace [X, y, z) en est une représentation conforme.
11 est aisé de voir que ce résultat enlraîne les suivants :
Deux courbes ou deux surfaces qui se coupent au point M sous un angle a se transforment par inversion en deux courbes ou deux surfaces qui se coupent sous le même angle a au point M' transformé du point M.
En particulier, trois familles de surfaces orthogonales se transforment en trois autres familles de surfaces orthogonales.
Uo6 I.IVRK 1 . — DISTRIBUTION ET PROBLÈME DE DIRICIILET.
Soit un point M' de l'espace transformé, et soient u^ v, w ses coordonnées cartésiennes. La position du point M qui lui correspond dans le premier espace est fixée par la connaissance de ces trois quantités u, v^ w. On peut donc regarder ces trois quantités comme trois coordonnées curvilignes fixant la position d'un point dans le premier espace.
Le point M' est à la rencontre des trois plans orthogonaux
Le point M doit donc se trouver à la rencontre de trois sphères orthogonales. On le vérifie aisément, car les trois plans précédents donnent en se transformant, d'après les égalités (i his)^ les trois surfaces
qui sont trois sphères se coupant au point O et tangentes respech'vement en ce point aux plans ZOY, XOZ, YOX.
Les coordonnées m, c, w constituent donc, pour le point M, un système de coordonnées curvilignes orthogonales. Les équations précédentes fournissent les formules de transformation qui permettent de passer des coordonnées cartésiennes {x^y^ z) aux coordonnées curvilignes (m, p, w) ou inversement.
Ces formules peuvent s'écrire encore
' a:---HjK-+2' —
L'égalité (2) nous donne Mais, si nous posons
du^ -+- di>- -\- dw^ = j- ( dx^ -h dy''- -\- dz-).
CHAP. MU. - I.A .MKTHODE DK L INVERSION. 'loy
nous savons que
el l'égalilé précédente deviciil
(2 bis) dx'^ H- dy'>- -\- dz^= -^ ( du^ -+- dv^ -\- dw^- ).
Si l on se reporte à l'égalité (8) du Chapitre précédent, on voit (|ue l'on a, pour le changement de coordonnées que nous considérons,
Cela posé, considérons une fonction \ (.r,jKj ^) qui est harmonique à V intérieur d'une certaine surface S appartenant au premier espace; pour toutes les valeurs de x^y^ z, qui correspondent aux points intérieurs à la surface S, on a
[^es points {x,y, z-) intérieurs à la surface S correspondent à un ensemble de valeurs des quantités u, v, w. Soit ^{ii, p, a) ce que devient la fonction V lorsqu'on j remplace a:, y, z par leurs expressions en fonction de u, v, w. Nous aurons, d'après les équations (i bis),
Pour l'ensemble de valeurs de u, v, (v, que nous avons défini, cette fonction vérifiera l'équation transformée de AV = o, c'eslà-dire, d'après les équations (4),
du \p'2 du /
\p'- div
Ceci peut encore s'écrire
p' Idu^ Vp' / "^ dv^ \'f') '"' à^^\ô''
2Ï El 1 ^ ^ 1 • ^^ 1
p' [^àu^ p' ' dv^ p' ~^ àiv^ p'
Si l'on pose
ai d' d^
et si l'on remarque que
celte équation deviendra simplement
Le résultat que nous venons d'obtenir est susceptible d'une interprétation qui en fait l'importance.
Les coordonnées u^ v^ w peuvent être considérées comme les coordonnées cartésiennes d'un point M' dans un espace transformé par rayons vecteurs réciproques de l'espace auquel appartient le point M(^,j^, ^). Cette transformation fait correspondre à la surface S une surface S'; à tout point intérieur à la surface S un point extérieur à la surface S'^ aux points infiniment voisins de l'origine dans le pi-emier espace les points infiniment éloignés de l'origine dans le second espace.
Si la fonction Y(.r,jK> ^) est harmonique à l'intérieur de la surface S, la fonction
iy) Wiu, V, w) = -, *(«, P, w) = -, V i-^^, ^, -,-^j
sera, d'après les égalités (6) et (5), harmonique à l'extérieur de la surface S'.
Si la fonction \(x,y, z) prend, au point O, la valeur Vo, la
fonction W(«, ç, w) tendra vers zéro comme ~ lorsque p' croîtra au delà de toute limite.
Si la fonction Y[x,y, z) prend la valeur A au point P de la surface S, la fonction W (m, t^, w) prendra au point P', transformé de P, sur la surface S', la valeur
