R ( I, K'rt

Soient

V une fonction de la sevde variable u : t? une fonction de la sevde variable ç; ^ une fonction de la seule variable iv,

ces trois fonctions étant déterminées respectivement par les équations différentielles du second ordre

dw

dans lesquelles A et B sont deux constantes arbitraires. Posons ensuite

et substituons cette expression dans l'égalité (3o); celle-ci de-

a02 MVRK II — DISTRIDUTION ET PROBMiMK DE DIRICIILET.

viendra

t)\!P'C^[(A + BiA)(p-«0-4-CA + Bp)((P — f/)-f-(.V + Bw)rfi — t')] = o.

Elle sera identiquement satisfaite.

Or, Lamé a montré que l'on pouvait intégrer les équations (3i) par certains développements en série dont les coefficients peuvent en outre être déterminés de manière que la fonction V, obtenue par la combinaison (32), se réduise à Q pour u =^ c^. Le problème de Dirichlet se trouve donc ainsi résolu pour l'espace extérieur à l'ellipsoïde.

La voie féconde qui avait conduit Lamé à ce beau résultat, à savoir la transformation de l'équation AY = o en coordonnées orthogonales, a permis à Lamé et à d'autres analystes de résoudre le problème de Dirichlet pour un grand nombre de cas, et notamment pour tout espace, limité ou illimité, qui confine seulement à une surface du second ordre (').

(') Voyez Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, -i" édition; Berlin, 1878-

niAP. vni.

rA METHODE DK L IXVEKSION.