I -. /Ali kv kw

P Vp'' p

La fonction W(«, v^ w) sera harmonique en tout point extérieur à la surface S'; elle deviendra égale à O(P') en tout point P' de la surface S'; elle se comportera à l'infini comme une fonction potentielle; elle résoudra donc le problème de Dirichlet pour l'espace extérieur à la surface S'.

On démontrerait de même que, si Von sait résoudre le problème de Dlrichlet pour V espace extérieur à une surface S, on sait le résoudre pour l'espace intérieur à la surface S', transformée de la surface S par rayons vecteurs réciproques.

Quelques conséquences de cette importante proposition :

Nous avons vu que l'on savait résoudre le problème de Dirichlet pour l'espace intérieur à une surface sphérique et aussi pour l'espace extérieur à cette même surface ; par ce que nous venons de démontrer, chacune de ces deux solutions peut être déduite de l'autre.

On sait, trouver la fonction de Green pour l'espace intérieur à un dièdre commensurable avec u ; on sait donc résoudre le problème de Dirichlet pour l'espace extérieur à deux sphères qui se coupent sous un angle commensurable avec tt.

On sait trouver la fonction de Green pour l'espace compris entre deux plans parallèles ; on pourra donc déterminer la distribution électrique sur deux sphères égales ou inégales qui se touchent.

La détermination de la distribution électrique sur deux sphères qui se touchent est en effet un des beaux résultats auxquels est D. - I. i4

DISTIUBUTION ET PROBLEME DE DiniCllLET-

parvenu Poisson ('). Un grand nombre de géomètres, parmi lesquels on peut citer surtout Plana, Sir W. Thomson, G. Kirchlioff, se sont ensuite occupés de ce problème. On trouvera un exposé remarquable de la solution dans l'Ouvrage consacrée par É. Mathieu à l'exposé de la Théorie du potentiel (-).

§ 2. — Application. — Distribution électrique sur une calotte sphérique.

L'une des belles applications que Sir W. Thomson (^) ait faites de la méthode de l'inversion est la détermination de la distribution électrique sur un conducteur infiniment mince ayant la forme d'une calotte sphérique. Nous allons exposer la solution de ce problème sous la forme que lui a donnée Lipschitz ('■), en nous bornant au cas où la calotte sphérique est soustraite à toute influence.

La solution que nous allons développer repose sur quelques remarques que nous allons indiquer tout d'abord.

Soit S une surface sphériqvie ayant son centre à l'origine des coordonnées et un rayon égal à R. Soit W une fonction qui se comporte à l'infini comme une fonction potentielle, qui est harmonique à l'intérieur de la sphère, harmonique à l'extérieur de la sphère, mais discontinue sur la sphère, en sorte qu'au voisinage d'un point M de la surface de la sphère elle prenne à l'intérieur ■de la sphère une valeur voisine de W/(M) et à l'extérieur de la sphère une valeur voisine de We(M).

Une pareille fonction n'est pas la fonction potentielle d'une cer-

(') Poisson, Mémoire sur la distribution de l'électricité à la sur/ace des corps conducteurs {Mémoires des Savants étrangers, p. 1811, p. i).

(^) E. Mathieu, Théorie du potentiel et ses applications à l'Électrostatique et au Magnétisme, t. II, p. 65; Paris, 188G.

(') W. Thomson, Extraits de deux lettres adressées à M. Liouville {Journal de Liouville, t. XII, p. 243; 18^7. — W. Thomson, Reprint of papers on Electrostatics and Magnetism, 1" édition, p. 162 ). W. Thomson, Détermination of the distribution of Electricity on a circulçir segment of plane or spherical conducting surface, under any given influence ( W. Thomson, Reprint of papers on Electrostatics and Magnetism, 2» édition, p. 178).

(*) Lipschitz, Uebkr die Vertheilung der stâtischen Electricitàt in einem kreisformig begrenzten Segment einer Kugelflàche {Rorchardt's Journal, JBd. LVIIl, p. i52; 1861).