CII.VP. VIII. — L.V METIIODK DE L INVERSION
taine quantilé d'électricité distribuée sur la calotte sphérique. Transformons l'espace par inversion en prenant le pôle d'inversion au centre de la sphère et le carré R^ du rayon pour coefficient d'inversion ; tout point M de la sphère se transformera en luimême ; tout point intérieur à la sphère se transformera en un point extérieur et inversement.
Considérons la fonction
Elle sera harmonique à l'intérieur de la sphère S, harmonique à l'extérieur de la sphère S, mais discontinue sur la sphère S. Au voisinage du point M de la sphère S, elle prendra, à l'intérieur
de la sphère une valeur voisine de ^ We(M), et à l'extérieur de la
sphère une valeur voisine de ^ W,(M).
Considérons alors la fonction
Elle sera harmonique à l'intérieur de la sphère S, harmonique à l'extérieur de la sphère S, et continue sur la sphère S, en sorte que cette fonction sera la fonction potentielle d'une certaine quantité d'électricité distribuée sur la sphère S.
Une méthode analogue s'appliquerait au cas plus général que voici :
Une surface fermée est composée en partie par une portion S
Fig. 38.
RW'ix,y,z)
(le surface sphérique, en partie par une autre surface S de forme* ([uelconque (/?^. 38). La fonction ^/(x, y, z) est harmonique tant à l'intérieur qu'à l'extérieur de cette surface fermée ; elle se
ai-i
comporte à l'infini comme une fonction potentielle ; elle varie d'une manière continue au passage de la surface S et d'une manière discontinue au passage de la surface S. Soit O le centre de la sphère S pris pour origine des coordonnées ; soit R son rayon. La fonction
sera la fonction potentielle d'une certaine quantité d'électricité distribuée sur la surface fermée que composent la surface S, la surface S et la surface S' transformée de la surface S par rayons vecteurs réciproques.
C'est un procédé de ce genre qui va nous permettre de déterminer la fonction potentielle de l'électricité en équilibre sur une calotte sphérique.
Soit S cette calotte sphérique {^/îg- Sg) ; soit R son rayon; soil
H la distance du cercle de base S au centre O de la sphère. Le cercle de base a pour rayon la quantité
Considérons la quantité u définie par F équation
(lO)
(z-BY^
et considérons la fonction
(il) V(a:-,7, s) = K( ^ — ai-ctang^
où K est une constante quelconque
CHAP. VIII. - LA MÉTHODE DE l/ INVERSION. "ilS
D'après ce que nous avons vu au Chapitre VII, § 3, cette fonclion est harmonique dans tout l'espace, sauf sur le cercle de base (le la calotte ; elle se comporte à l'infini comme une fonction potentielle ; elle varie d'une manière continue lorsqu'on traverse ce cercle, à une distance finie de ses bords 5 sur ce cercle, elle prend
la valeur -;— • Lorsqu'on traverse le cercle, les dérivées partielles
du premier ordre de cette fonction changent de signe sans changer de valeur absolue.
Soit T la surface fermée formée par la calotte S et le plan S. Prenons une fonction 'W[x,y,z) égale, à l'intérieur de la surface T, à
et, à l'extérieur de la surface T, à
arc tane
K \^ ^ — arc tang ^
Cette fonction sera harmonique à l'intérieur de la surface ï ; elle sera harmonique à l'extérieur de la surface T ; elle variera d'une manière continue à la traversée de la surface S et d'une manière discontinue à la traversée de la surface S. Ses dérivées du premier ordre ne subiront pas de discontinuité au passage de la surface S.
Envisageons la fonction
Si l'on définit la quantité u' par la relation
(10 bis)
P*(«'^-f-i<') \ I p'^ / Ril est facile de voir que l'on aura, à l'intérieur de la surface T,
KR 1
' Tt
arc tang — » a y
- arc tang —
(••2) \{x,yz)
à l'intérieur du volume compris entre la surface S et la calotte 2'
•il 4 LIVRE II. - DISTRIBUTION ET PROBLÈME DE DIRICHLET.
en laquelle elle se transforme par inversion,
, . „,, ,A T. u- \ KR / TT a'- 1
[vihis^ V(a:,jK,z) = K l - — arc tang — / -; — \- arc tang — ^
et, à l'extérieur de la surface T', formée par les calottes S et S',
s Tr, ■ ^ri "^ u-\ KR Tz * u'"'-
( 12 ter) y (x. )-, ^ ) = K \ arc tang — / -r- - — \ — f- arc tang —
Cette fonction sera, d'après ce qui précède, la fonction potentielle d'une certaine quantité d'électricité distribuée sur la surface S, sur la surface S et sur la calotte S', en laquelle le plan S se transforme par inversion.
Mais les dérivées partielles du premier ordre de cette fonction varient d'une manière continue lorsqu'on traverse soit la surface S, soit la surface S'; la densité électrique est donc nulle sur chacune des deux surfaces S, S', et la fonction précédente est la fonction potentielle d'une certaine quantité d'électricité distribuée seulement sur la calotte S.
D'ailleurs, sur cette calotte, \ ix^y^ z) prend la valeur constante Ktt. La distribution en question est donc une distribution d'équilibre.
Pour achever la détermination de la fonction potentielle d'une quantité Q d'électricité distribuée en équilibre sur la calotte S, il suffît d'établir la relation qui relie la constante K à la charge totale Q.
Nous allons, pour obtenir cette relation, écrire de deux manières la valeur de la fonction potentielle au point O.
Cette valeur pourra s'écrire, d'une part.
D'autre part, elle pourra se déduire de la formule (12). L'égalité (10) montre qu'au point O, on a
L'égalité (10 bis) montre qu'au même point O on a
CIIAP. VIII. — LA MÉTHODE DE l'INVERSION. '215
On a d'ailleurs
it «'" a
arc tang — = arc tang — - >
et, dans le calcul actuel,
I / TT u '■ \ a
- \ arctang — / "^ tt'
Vo = K ( - -h arc tang ) -h K cr . \'i. a j K
Soit y l'angle sous lequel le rayon du cercle de base est vu du centre de la calotte ; les égalités
-^^sinY, jj = tangY
permettent d'écrire
Vo = K(7: — Y -+-sinY).
Comparons les deux valeurs de Vo, et nous trouvons enfin
R(Tr — Y "T~ sinY)
Celte égalité achève de déterminer la fonction potentielle d'une quantité Q d'électricité répandue en équilibre sur la calotte sphérique S.
Cette quantité d'électricité élève le niveau potentiel de la calotte sphérique à une valeur Kt:, ou, d'après l'égalité (i3), à une valeur
R T. — Y "^ sinY La capacité de la calotte sphérique est donc
§ 3. — Théorèmes de Liouville et de M. P. Painlevé.
On peut, d'une infinité de manières, obtenir une représentation conforme d'un plan (^, y) sur un autre plan (X, Y), c'est-à-dire
2l6 LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLÈME DE DIRICHLET.
trouver des formules de transformation
telles que si les deux courbes représentées par rapport aux axes des ce et des j" par les équations
se coupent sous vin angle a, les deux courbes transformées, représentées, par rapport aux axes des X et des Y, par les équations
F(X,Y) = /[c?(X,Y), .KX,Y)l = o, G(X,Y) = ^[<p(X,Y), .KX,Y)l = o,
se coupent aussi sous le même angle a.
Toutes ces transformations s'obtiennent de la manière suivante ( * ) :
Soit une fonction analytique quelconque de la variable complexe
Elle peut toujours se mettre sous la forme
Si l'on porte ces deux fonctions cp et ^ dans les égalités (i5), on obtient la forme la plus générale des transformations qui nous occupent.
Supposons qu'une semblable représentation conforme transforme tou5 les points intérieurs à une courbe s du plan des x., y, en tous les points intérieurs à une courbe S du plan des X, Y, et tout point de la courbe s en tout point de la courbe S. Nous dirons alors que l'on sait effectuer la représentation conforme de l'aire a, limitée par la courbe s sur l'aire A, limitée par la courbe S.
Si la fonction V(^, y) satisfait, à l'intérieur de l'aire a, à l'équation
(') Voyez Livre V, Cliap. V, § 1.
CHAP. VIII. — LA METHODE DE l/lNVERS!ON. 2I7
la l'onction
W(X,Y)-V[cp(X,Y), ^(X,Y)],
en laquelle les formules (i5) transforment la fonction V(x, y), satisfait, à l'intérieur de l'aire A, à l'équation
Si donc on sait, pour l'aire a, résoudre le problème de Dirichlel réduit au cas de deux variables, on sait aussi le résoudre pour l'aire A.
Réciproquement, si l'on sait résoudre le problème de Dirichlet pour les deux aires a et A, on sait, en général, effectuer la représentation conforme de ces aires l'une sur l'autre.
Ces propositions, que nous nous contentons de rappeler, marquent le lien intime qui existe entre ces diverses questions :
Théorie des fonctions de variables imaginaires ; Représentation conforme d'une aire plane sur une autre aire plane ;
Problème de Dirichlet réduit au cas de deux variables.
Un quatrième problème, celui de l'étude d'une surface d'aire ininima passant par un contour donné, se relie également d'une manière intime aux trois précédents.
L'étude comparée de ces différents problèmes a permis à un grand nombre de géomètres, parmi lesquels on doit surtout citer B. Riemann et M. Schwarz ( ' ) d'en pénétrer profondément la nature et d'en avancer la solution.
On est naturellement porté à chercher l'extension aux fonctions de trois variables de ces problèmes dont la liaison se montre si féconde dans l'étude des fonctions de deux variables. Cette tendance est fortifiée par la découverte de la transformation par rayons vecteurs réciproques qui offre, dans l'espace, les propriétés que toute représentation conforme possède dans le plan.
(') On aura une idée précise des relations qui existent entre le-probléme de Dirichlet pour le cas de deux variables et la théorie de la représentation conforme d'une aire plane sur une autre par la lecture de Axel Harnack, Die Grundlagen cler Théorie des logarithmisclien Potentiales und der eindeutigen Potenlialfunktionen in der Ebene (Leipzig, 1887).
■2 1 8 LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLÈME DE DIBICHLtT.
Mais cette tendance vient de suite se heurter à un obstacle infranchissable : il est en général impossible, lorsqu'on a un domaine limité par une surface fermée donnée, de le représenter d'une manière conforme en un autre domaine limité par une autre surface fermée donnée. Cela n'est possible que si le second domaine peut être obtenu en transformant le premier par rajons vecteurs réciproques et en déplaçant sans déformation le domaine transformé. En d'autres termes, si nous cherchons des formules de transformation
telles que l'espace (X, Y, Z) offre une représentation conforme de l'espace (^, JK, -•)■, ces formules exprimeront simplement une transformation par rajons vecteurs réciproques suivie d'un changement d'axes de coordonnées rectangulaires.
Ce théorème, qui établit une différence radicale entre l'étude des fonctions harmoniques de deux variables et l'étude des fonctions harmoniques de trois variables, est dii à Liouville (').
Mais, s'il n'existe pas de transformation autre que la transformation par rayons vecteurs réciproques qui puisse fournir une représentation conforme d'un espace à trois dimensions en un autre espace à trois dimensions, on pourrait du moins espérer que des méthodes de transformation autres que la méthode de l'inversion sont capables de fournir la solution du problème de Dirichlet pour un domaine transformé lorsqu'on l'a déjà obtenue pour le domaine donné.
La question qui se pose alors est la suivante :
Trouver des formules de transformation
et une fonction F(Q telles que, si la fonction V(^, .1', s) est ( ' ) Liouville, Note VI à la Géomélrie de IVIonge.
CHAP. VIII. - L\ MliTIIODE DE I, IXVERSIOX. 219
rég-udère et satisfait à l^ équation
Ox- Oj'^ uz-
en tout point du domaine d pris dans V espace des (;r, r, 2), la fonction
\V(X,Y,Z)-=FJV[çrX,Y,Z), ij>(X,Y,ZK x(X,Y,Z),j
soit régulière et satisjasse à l'équation
en tout point du domaine D, transformé de d dans V espace
rfe,v(X, Y,Z).
En réponse à celte question, on peut affirmer que les formules de transformation cherchées représentent forcément une transformation par rayons vecteurs réciprociues suivie dhin changement d'^axes de coordonnées rectangulaires .
Ce théorème important, en marquant bien le rôle exclusif de la méthode de l'inversion, limite étroitement le champ de l'Analyse dans la voie ouverte par Sir W. Thomson. Il est dû à M. Paul Painlevé ( ' ).
(') Paul Painlevé, Sur la transformation des fonctions \ {x, y, z) qui satisfont à l'équation AV = o et sur les coordonnées curvilignes orthogonales ( Travaux et Mémoires des Facultés de Lille, l. I, n° I ; 1889).
DISTRIBUTION ET PROnLEME DE DIRICHLET.
