AV
LorsquUin corps à la fois bon conducteur et diélectrique parfaitement doux est en équilibre^ il n'y a pas d^ électricité libre à son intérieur.
On voit donc que tous les résultats établis au Livre II pour la distribution électrique sur les corps homogènes qui sont bons conducteurs demeurent exacts, même lorsque l'on admet la possibilité d'une polarisation diélectrique, pour les corps à la fois bons conducteurs et diélectriques parfaitement doux. Lorsque nous complétons la théorie des phénomènes électriques en introduisant la polarisation diélectrique dans nos raisonnements, nous ne perdons aucun des résultats déjà acquis.
§ 4. — Propriétés d'un condensateur à lame isolante diéleotrique. Mesure du pouvoir inducteur spécifique.
Imaginons un condensateur formé de la manière suivante : une surface fermée S| {fig* 25) entoure un corps bon conducteur et diélectrique parfaitement doux 1, formant armature interne.
A l'extérieur de la surface S| , un espace 2 est vide ; il est limité par une surface fermée Sa, enveloppant S«.
Entre la surface S^ et une surface fermée S3 qui l'enveloppe est un espace 3 rempli par un diélectrique parfaitement doux, mais parfaitement mauvais conducteur.
156 LIVRE XI. — LES CORPS DIELECTBIQtJES.
A la surface Sj succède un nouvel espace vide i que limile exlérieuremenl une surface fermée S» eaveloppant la surface Sj,
Entre la surface S» et une surface fermée S, qui l'enveloppe se trouve un espace S rempli par la même substance que l'espace 1.
Fig. aS.
Enfin l'espace illimité 6, extérieur à la surlace S5, est un espace vide.
Le corps 1 est mis en communication par un fil de même substance avec un corps très éloigné, également de même substance, maintenu au niveau potentiel U (source).
Le corps 5 est mis en communication par un Ql de même substance avec un corps très éloigné, également de même substance, maintenu au niveau potentiel o (sol).
Le corps 3 ne renferme aucune charge électrique. De plus, nous admettrons qu'il a un coefficient de polarisation diélectrique k indépendant de l'intensité de l'induction diélectrique.
Nous nous proposons de déterminer l'état d'électrisation et de polarisation d'un semblable condensateur.
Cette détermination se ramène évidemment à celle des deus fonctions V et tî.
Ces deux fonctions sont continues dans tout l'espace et égales à o à l'infini à la manière d'une fonction potentielle.
La fonction V admet, dans tout Vespacc, des dérivées partielles du premier ordre qui sont finies et continues sauf sur les surfaces Sj et S4 ; il est aisé, en effet, de voir que la surface S 5 n'est pas électrisée; il suffit, pour cela, de remplacer le diélectrique polarisé par une couche superficielle équivalente et d'appliquer les théorèmes connus sur Tinduction électrostatique des conducteurs creux. Dans chacune des régions 1, 2, 3, 4, 5, 6, la fonction V est harmonique.
La fonction V est harmonique dans chacune des régions 1, % 4, S, 6. Elle Test aussi dans la région 3. Dans cette région, en effet, les égalités (3) sont satisfaites. Si l'on différentie la première de ces égalités par rapport à ^, la seconde par rapport à j^, la troisième par rapport à 2, et si on les ajoute membre à membre les résultats obtenus, on trouve
Si l'on observe que l'on a, dans cette région,
AV = o,
\ dx dy d
on voit que l'on a
(1 -{- iTzzk) ^V = o,
ou bien, puisque k ne peut être négatif,
AU = o.
A V intérieur du conducteur 1, d'après ce que nous avons dit au paragraphe précédent, V aura une valeur constante Vj et U une autre valeur constante 1P«. De plus, comme il doit y avoir équilibre entre le conducteur 1 et la source, nous aurons
(9) V,4-1lt=U.
Dans V espace % V continuera à avoir la valeur constante V|, car ses dérivées premières n'éprouvent pas de discontinuité à la traversée de la surface S|. Au contraire, V aura une valeur variable.
Dans l'espace 5, V et V auront des valeurs constantes. Gomme les dérivées partielles du premier ordre de ces fonctions sont continues sur la surface S5, ces fonctions auront encore les mêmes
Atï = 4Trf ^ -h ^ -+- ^)
358 LIVRE XI. — LES CORPS DlÉLECTRlQUEf.
valeurs constantes dans l'espace 6. Or, chacune d'elles étant égale à o à l'infini, on voit que, dans les espaces 5 et 6, on a
La fonction H a ses dérivées partielles du premier ordre continues à la traversée de la surface S4. Donc, dans V espace 4, on a
encore
ti> = o,
tandis que la fonction V varie.
Enfin, dans V espace 3, les deux fonctions V et U sont variables. En un point de la surface S29 on a
— -^— =47r||JUcos(N„a?)||;
on a aussi
aN,
et
Xcos(N3,ar)||=-7:5X:(.|J.--^J-)
L'égalité précédente devient donc
dV dW
(lo) (i.^4TCeA:)^ -H4TteA:^ = o.
Une égalité analogue a lieu pour tous les points de la surface S4.
Il nous est maintenant facile d'indiquer la marche à suivre pour résoudre le problème proposé.
Soit s> une fonction égale à i dans l'espace 1 et sur la surface S| ; à o dans les régions 5 et 6 et sur la surface S4; harmonique dans les régions 2, 3, 4.
Soit iv une fonction égale à 1 dans les régions 1 et 2 et sur la surface S^; à o dans les régions 4, 5 et 6 et sur la surface S3; harmonique dans la région 3.
La détermination de ces deux fonctions s'obtient en résolvant deux fois le problème de Lejeune-Dirichlet.
Quelles que soient les deux constantes U, et V| , les deux formules
(il) V = Vic, V =Vxw
CHAP. II. — PROPRIÉTÉS DES DIÉLECTRIQUES. SSg
donnent la forme générale des fonctions satisfaisant à toutes les conditions que nous venons d'énumérer, sauf aux conditions exprimées par les égalités (9) et (10). Si Ton observe d'ailleurs que le problème doit admettre une et une seule solution, on voit que cette solution sera fournie par les égalités (11), pourvu que l'on détermine les constantes V| et V« de la manière suivante : 1° On a
(9àis) Vt-f-1>i=U;
2*^ Prenant un point P soit sur la surface S2, soit sur la surface S3, on a
{10 bis) (. + 4„eA)»,(^^-)^-f-4«^*V.(|^)^=o.
Un cas intéressant est celui où le diélectrique remplit complè* tement l'intervalle des deux armatures. On a alors, évidemment,
Les égalités (9 bis) et (10 bis) donnent
On a donc, pour expression de la charge du conducteur 1,
La capacité du condensateur, c'est-à-dire la quantité --^ > a pour valeur '
Si le diélectrique est remplacé par le vide, ce qui revient à remplacer k par o, on obtient un nouveau condensateur dont la capacité, inférieure à la précédente, a pour valeur
On a donc
- =(i-h4Tr6A:)= D,
D étant le pouvoir inducteur spécifique du diélectrique.
La solution générale se simplifie dans le cas où les surfaces Sa,
36o LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES.
S$, S4 sont des surfaces de niveau extérieures du conducteur 1. Soit W une fonction harmonique dans tout l'espace extérieur à la surface S«, égale à o à Tinfini et à i sur la surface S| ; soient 0L2, OL^, (X4 les valeurs de cette fonction sur les surfaces S2, S3, S4. Il est facile de voir que les deux fonctions désignées dans ce qui précède par v et w sont ici définies par les égalités suivantes :
i^ = (dans les régions 2, 3, 4
(la)
(dans la région 3).
En un point quelconque P de l'une des surfaces S2 ou S3, on a
dw
âW
— as
dN,
L'égalité (10 bis) devient donc
tï| -h ^ — :- Vi = o.
I — av
Jointe à l'égalité (9 6w), cette égalité donne
(l-f-4Tî£^).(i — «v) — 4~£^'(«i — «3)
4 TtsA:(gt — as)
(I ■+■ ^Tze,k){i — «4) — ^TZzk{aLi— a.,)
Les égalités (i i), (12) et (i3) déterminent les deux fonctions V et H, et, par conséquent, résolvent le problème que nous nous sommes posé.
Cherchons la charge du conducteur 1.
Cette charge Q aura pour valeur
ou bien, en vertu des égalités (i i) et (12),
^ - ~ 4Îï "i"^ S 5n", ''^"
CHAP. II. — PROPRIÉTÉS DBS DIÉLECTRIQUES. 36l
OU enfin, en vertu des égalités (i3),
Comme
l'égalité précédente devient
0= i^JTzzk ^
La capacité du condensateur est le rapport de cette charge Qaii produit eU de la constante des lois de Coulomb par le niveau potentiel de la source. Si C désigne cette capacité, on voit que Ton peut écrire
Faisons décroître au delà de toute limite l'épaisseur du diélectrique; cette capacité tendra vers une certaine limite F qui s'obtiendra en faisant dans la formule (i4)» «a = aa. On aura donc
C'est la capacité du condensateur privé de lame diélectrique. La formule (i4) peut alors s'écrire
Cette formule montre comment la capacité du condensateur varie avec l'épaisseur de la lame diélectrique. Si la lame diélectrique, d'abord supprimée, croît jusqu'à remplir entièrement l'intervalle des deux armatures, la quantité (a^ — «3) croît depuis o jusqu'à (i — a^) et la capacité du condensateur croît depuis F jusqu'à la limite
C'=(i-+-4Tr8X:)r.
Cavendish avait découvert, dès 1771, que l'introduction d'un isolant solide entre les deux plateaux d'un condensateur augmentait la capacité de ce condensateur. Faradaj^, qui ignorait ces recherches, publiées seulement en 1879 par Maxwell, retrouva de son côté le même fait en 1837.
La formule (j 5) permet de déterminer la coDstante k et, par conséquent, le pouvoir inducteur spécifique
Prenons, en effet, deux condensateurs identiques, dont Tun renferme une lame diélectrique, tandis que l'autre n'en renferme pas. Le rapport de leur capacité peut être mesuré par diverses méthodes. Or ce rapport aura pour valeur, d'après la formule (i5),
G La mesure de — fera donc connaître k si l'on connaît a2, aj, a^.
Supposons que les surfaces S|, S2, S3, S4 soient des sphères concentriques de rayons R«, R2, R3, R4. Soit r la distance d'un point de l'espace au centre commun de ces sphères. On aura
et l'égalité (16) deviendra
Par cette égalité, on peut déterminer le pouvoir inducteur spécifique.
Si, comme Cavendish ou Faraday, on emploie deux condensateurs identiques dont l'un est dépourvu de lame diélectrique, tandis que, dans l'autre, le diélectrique remplit l'intervalle des deux armatures, on aura, quelle que soit leur forme, ainsi que nous l'avons vu plus haut,
et alors, comme nous l'avons vu,
(18) ^ = (,-+.4,reX:) = D.
CUAP. II. — PROPRIÉTÉS DES DIÉLECTRIQUES. 363
§ 5. — Causes d'erreur. — Expériences de Gaugain.
La relation (17) permet, nous l'avons dit, de déterminer le pouvoir inducteur spécifique des corps solides; la relation (18) permet de déterminer le pouvoir inducteur spécifique non seulement des solides, mais encore des liquides et des gaz.
L'établissement de ces relations est subordonné à certaines conditions qu'il n'est pas toujours facile de réaliser dans la pratique, en sorte que la mesure des pouvoirs inducteurs spécifiques présente de grandes difficultés.
Voyons quelles sont ces causes d'erreur :
I® La théorie précédente suppose le diélectrique parfaitement mauvais conducteur. Or, tous les corps sont plus ou moins con> ducteurs. Dès lors, l'état que nous venons de décrire ne sera pas, pour le système, un état d'équilibre. Dans l'état d'équilibre, la distribution électrique sur le système sera indépendante de la nature du diélectrique; elle s'obtiendra en appliquant au diélectrique les lois de la distribution sur un corps conducteur.
Si donc on charge un condensateur dont la lame diélectrique soit médiocrement conductrice, la distribution électrique et diélectrique sera, au début, définie par les formules précédentes; puis cet état se modifiera peu à peu et, au bout d'un temps plus ou moins long selon la nature du diélectrique, toute polarisation aura disparu ; la distribution sur le système sera la même que si l'on remplaçait le diélectrique par un conducteur non polarisable.
Ces considérations rendent compte des observations de Gaugain (•).
Reprenons le condensateur représenté parla^î^. 25; imaginons encore que les surfaces Sj, S3, S4 soient des surfaces de niveau du conducteur 1 ; mais supposons de plus que l'espace 3 soit rempli par un corps bon conducteur. On verra sans peine que la fonction V doit être continue dans tout l'espace, constante et égale à U à l'intérieur du corps 1, harmonique dans l'espace 2,
(') Gauqain, Mémoire sur la conductibilité électrique et la capacité induetive des corps isolants {Annales de Chimie et de Physique, 4* série, t. II, p. 2765 1864 ).
constante dans l'espace 3, harmonique dans la région 4, égale à o dans les régions 5 et 6. De plus, la charge totale du conducteur 3 est supposée égale à o.
Ces conditions, on le sait, déterminent une et une seule fonction V.
Quelle que soit la constante K, on satisfait à toutes ces conditions, sauf à la dernière, en posant
Dans la région i V = U
Dans la région 2 V = ^^^^W— ^''*"" ^
I — aj I — aj
Dans la région 3 V = K
Dans la région 4 V = (W — a^)
Dans les régions 5 et 6 V = o
Ces formules détermineront la fonction V si l'on choisit la constante K de manière que la charge totale du conducteur 3 soit égale à o.
Or la charge de la surface S^ est
La charge de la surface S 3 est
n ' C ^V ,ç K n aw .ç
Si l'on remarque que l'on a
on voit que l'égalité devient
OU bien
1 — aj -f- aj — «4
K= îiHf!» U.
CHAP. II. — PROPRIETES DES DIÉLECTRIQUES. 365
On a alors
Dans la région 1 V = U
Dans la région 2 V = (W — «j-f-aj — a4)
(19) i Dans la région 3 V = U '''"""^
' I — aj H- «3 — OL^
Dans la région 4 V= U ? (W — a^)
I — aj -f- as — «4
\ Dans les régions 5 et 6. V = o
Ces formules (19) déterminent la distribution électrique sur le condensateur à lame conductrice; elles déterminent aussi la distribution limite qui s'établit au bout d'un temps plus ou moins long sur le condensateur à lame diélectrique.
La charge du collecteur est
et, comme
I — a,-ha3— ai
Dans les expériences de Gaugain, les surfaces S|, S2, S3, S^i étaient des plans parallèles; d'une expérience à l'autre, on faisait varier l'épaisseur de la lame diélectrique, c'est-à-dire la dislance des deux plans Sj, S3. Mais la distance des plans S|,' S2, d'une part, et la dislance des plans 83,84, d'autre part, étaient, par l'interposition de pastilles de gomme laque, maintenues les mêmes dans toutes les expériences. Dès lors, dans toutes les expériences, les deux binômes (i — a,) et (a., — a4) reprenaient les mêmes valeurs.
La charge limite Q« devait, dans ces conditions, être indépendante de l'épaisseur du diélectrique et de sa nature; elle devait être identique à la charge immédiatement obtenue en remplaçant le mauvais conducteur par un bon conducteur.
Les résultats obtenus par Gaugain sont conformes à ces indications de la théorie; voici ces résultats : la charge du collecteur est
366 LIVRE XI. — LBS CORPS DIÉLECTRIQUES.
mesurée par le nombre d'élîncelles obtenues en le déchargeant au travers de l'électroraètre-jauge.
Disque interposé.
Zinc
Acide stéarique (épaisseur 6""™)
Temps.
Au bout de quelques instants. . .
Au bout de quelques instants. . .
Après une charge de 6 minutes. .
Après une nouvelle charge de lo
Charge
du
collecleor.
Acide stéarîque (épaisseur 17""")
Après une charge de quelques instants Après une nouvelle charge de 5™.
Gutta - percha ( épais seur 6"™)
Gomme laque (épaisseur 6""")
Après une charge de quelques instants Après une nouvelle charge de 5"..
Après une charge de quelques instants Après une nouvelle charge de 5". . .
c- e ,, ' /,m™N \ Après une charge de quelques instants
Soufre (épaisseur 6""). ^ , . 1 j ko «
'^ ( Après une charge de y'^So™
2** La difficulté que nous venons de signaler n'est pas la seule que présente la détermination des pouvoirs inducteurs spécifiques. Si, comme dans les expériences de Cavendish et de Faraday, le diélectrique est en contact avec les armatures du condensateur, et si, de plus, le diélectrique n'est pas parfaitement isolant, il j aura pénétration d'électricité dans le diélectrique, contrairement aux conditions supposées par la théorie précédente.
3 * Enfin la théorie précédente suppose le diélectrique parfaitement doux^ ce qui, comme nous l'avons vu, n'est loin d'être exact pour tous.
§ 6. — Courant permanent dans un diélectrique.
Si un diélectrique n'esl pas parfaitement mauvais conducteur, il peut être le siège de courants électriques. Quelles seront les lois
auiLquelles obéiront de semblables courants parvenus au régime permanent?
Nous fonderons l'établissement de ces lois sur l'hypothèse qui nous a constamment servi, aux J Jvres V et VI, dans Télude de ce genre de questions.
Nous calculerons l'expression du potentiel thermodynamique interne J qu'aurait le système si, arrêtant à un instant donné tous les courants, on conservait au système son état d'électrisation et de polarisation.
A une charge dq placée en un point M, nous donnerons une translation infiniment petite quelconque (oxj ùy, oz), La quantité rf subira une variation S^f. Nous admettrons que Ton a, quels que soient 8jc, 8^, Ss,
//, V, iv étant les composantes du flux électrique au point M et V la résistance électrique spécifique en ce point.
Appliquons cette hypothèse.
D'après Texpression (aS bis) du potentiel thermodynamique interne, nous aurons
-r- ■^[e(VH-1l)+e]8aJrfy.
Notre hypothèse conduira donc aux égalités suivantes
ox ôx
ày Or
oz Oz
En outre, si le diélectrique est parfaitement doux, les égalités {^.) sont satisfaites en tout point.
Bornons-nous à étudier un diélectrique homogène, parfaitement doux, ayant un coefficient de polarisation constant. Dans ces con-
dilions, les égalités (21), jointes à l'égalité
du dç dw dx ây dz ~^ ^
qui exprime que le courant est uniforme, donnent
{'11) A(V-hU)=o.
D'autre part, les égalités (4) donnent
ou bien, à cause de l'égalité ,
drX. (^ui> da I ,^
dx ày dz 4"'^ (23) (i -+- ir.tk) AU -f- iizzk AV = o.
k ne peut jamais être négatif; dès lors, la comparaison des égalités (22) et (23) donne les deux égalités
(25) AV=o.
L'égalité (24) nous enseigne que, dans un diélectrique homogène, parfaitement doux, à coejjîcient de polarisation constant, parcouru par un courant permanent, la polarisation est à la fois solénoïdale et lamellaire simple.
L'égalité ( 25) nous enseigne qu'à V intér ieur de ce diélectrique il n*y a pas d^ électricité libre,
La comparaison des égalités (6) et (21) donne, pour un diélectrique homogène,
I al« — AUw,
( Z r^kXiw.
D'après ces conditions, dans un semblable diélectrique, l'intensité de polarisation est, en chaque point, dirigée comme le flux électrique; elle lui est proportionnelle en grandeur ; le coefficient de proportionnalité est le produit du coefficient de polarisation diélectrique par la résistance spécifique.
Les équations que nous venons de donner supposent essentiellement que le régime permanent est établi ; elles ne peuvent servir,
du moins sans justification préalable, à étudier Tétat variable d^un condensateur à lame diélectrique.
Nous pourrions étendre indéfiniment l'élude des corps diélectriques et reprendre pour eux la plupart des questions que nous avons traitées pour les aimants; nous ne nous y attarderons pas; c'est ainsi que nous laisserons au lecteur le soin d'étendre aux cristaux diélectriques ce que nous avons dit au sujet des cristaux magnétiques (*).
(*) Voir au sujet des propriétés diélectriques' des cristaux : Jacques. CuRiR, Becherches sur le pouvoir inducteur spécifique et la conductibilité des corps cristallisés {^Annales de Chimie et de Physique^ 6" série, t. XVII, p. 385; 1889).
