LES PRESSIONS A L'INTÉRIEUR DES SOLIDES POL.\RISÉS

§ 1. — Conditions d'équilibre d'un solide primitivement isotrope,

peu déformé et polarisé.

Après avoir étudié les conditions d'équilibre d'un fluide polarisé, nous allons, par une voie analogue, chercher les conditions d'équilibre d'un solide polarisé. Mais, au lieu d'aborder le problème dans toute sa généralité, nous nous bornerons à considérer un solide qui, soustrait à toute force extérieure et à toute action magnétique, serait isotrope, et auquel des forces extérieures et des actions magnétiques ont imposé de très petites déformations.

Considérons tout d'abord le solide dénué de toute polarisation magnétique, mais conservant exactement l'état qu'il présente dans le système que nous voulons étudier. Son potentiel thermodynamique interne a, dans ces conditions, une valeur qui est fournie par la théorie de l'élasticité. Soient

les composantes du déplacement subi, à partir de la position qu'il occupait dans l'état naturel, par le point (x,y, z) du solide. Le potentiel thermodynamique interne du solide non polarisé aura pour expression ( * )

' l\àz Oy J \ôr dz J \0y àx J \\

( • ) G. Green, On the laws of reflexion and refraction of light ' at the common sur/ace of two non crystallized média ( Transactions of the Cambridge Philosophical Society, i838. — Papers of G. Green, p. 24^)' — P- DuiiKM, Hydrodynamique, Élasticité, Acoustique. Livre V, Chap. II; Paris, 1891.

A et [ji étant deux constantes positives qui caractérisent la nature du corps, et l'intégration s'étendant au volume entier du corps. La quantité Û dépend seulement de Pétat naturel du corps.

Pour obtenir le potentiel thermodynamique interne du corps polarisé, il faut joindre au terme précédent deux autres termes ; le premier terme a pour valeur (Livre X, Chap. IV)

L*^ \ Ox ÔY Oz ! Oy I

[r # /'^U «^V 0\\\ ,'AVl^

\ dJi' dz ]

'h kl- h -— -Uïllï'C^i».

\ây ôx I \

y, g^ h sont trois fonctions de Tintensité d'aimantation dlL, qui se réduisent à trois constantes si Ton admet l'approximation de Poisson.

Le second terme est le potentiel magnétique. Si l'on désigne par t) la fonction potentielle magnétique du corps considéré, et par "<? la fonction potentielle magnétique des aimants extérieurs, ce potentiel a pour valeur

Vo — OX

(ii\

Nous admettrons en outre que le système est soumis à certaines forces extérieures; les unes seront appliquées aux divers éléments de volume du corps solide étudié; si p désigne la densité en un point de l'élément dv, nous désignerons par

p X dvj p Y dvj pZ dv

les composantes de la force qui sollicite l'élément rf(^ ; les autres sont appliquées à la surface S qui limite ce solide ; nous désignerons par PdS la grandeur de la force appliquée à l'élément rfS.

Donnons au solide une déformation infiniment petite. Soient u, ç, iv les composantes du déplacement du point {x^y^ ^); les

forces extérieures effectuent un travail qui a pour valeur

dl^e= rp(Xw-i-Yi>-hZ«r)^ç^-f-Cp:|MCOs(P,5-)||^S.

la première sommation s' étendant au volume entier du solide et la seconde à la surface qui le limite.

Dans le déplasem^nt considéré, les quantités U, V, W subissent respectivement des variations w, p, w. Le terme du potentiel thermodynamique interne donné par l'égalité (i) subit une variation

J i \àx^ ôy^ dz ) \ôx dy dz )

/âV du âV ^ dW dw\ ^\âx dx dy ây ôz dz /

^ y\dz "^ dy ) \dz ~^ cir/ \ àx ' dz ) \l)x '^ dz )

\dy 0.r I \dy dx J \ \

ij \ \àx dy dz I ' Wàx j \dy J \ Oz J \

\\àz dy I \dx dz J \dy Ox j \\

On sait que

^ , (du àv dw\ ,

ûf t; = ( h -^ h -r- 1 at?.

\dx dy dz j

On voit donc que, dans l'expression de A, l'élément sous le signe / de la première intégrale est de l'ordre de

d\} du , - - — dv dx dx

ou de

U u dv^

tandis que l'élément sous le signe / de la seconde intégrale est de l'ordre de

\ dx J dx

ou de

\}^udv.

43o LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISES.

U étant supposé très petit, on peut négliger la seconde intégrale et écrire simplement

J { \0x Oy 0:, ) \ôx Oy dz ) /d\] du 0\ dv 0\\ Oa'\

I ^ \âx Ojt ày ày dz Oz J

\là\ dW\ Idsf dw\ /()W ô\}\ (àw i)u\

\ày

ày\ (du ç^rNTj dxj \dy ^ dxj\\'''

On peut supposer que, dans le déplacement, chacune des masses élémentaires qui composent le système se déplace sans que son aimantation change de grandeur et de direction. Dès lors, si Ton se souvient que

^ , /du dv dw\ J \dx Oy dz J

on trouve que le terme (2) du potentiel thermodynamique interne éprouve, dans le déplacement considéré, la variation suivante

n r\ i .^r^ m / àu dv dw\ . / , ^du ,t^dv ^»à\v\

tï ,x^fàv dw\ ^ , /'^w du\ , ., /dit dv\\k , ^- L"''^ (si -*- ^) -^ ^■^' ( Ji -^ ôi) -*- -'-"'•• [oj- - or) 1 1 ''••

V dz dy j

\ Cx Oz J

. I d[j d\ \ ) /du ds> dw\

Par un calcul identique à celui qui a été fait au Chapitre précé-

dent, OD trouve que le terme (3) du potentiel thermodynamique interne subit, dans le déplacement considéré, la variation suivan te

dx dx ày dx dz dx J

r^(r)-+-v^) dx c>(v)H-v)) d\^ (^(t')-hV>) dzi

dx dy dy dy dz dy J

dx dz dy dz dz àz J )

• acos(N/, j:) û?S,

N| étant la normale à Télément ^S vers Tintérieur du corps solide considéré. Les lois de Taimantation du corps [Livre X, Chap. IV, égalité (7)] permettraient de transformer cette expression ; mais nous lui laisserons provisoirement cette forme.

Pour obtenir les conditions d^équilibre du corps, nous écrirons que Ton a, en toute transformation virtuelle du système,

Considérons tout d^abord une transformation dans laquelle chaque élément de volume se déplace sans changer de forme. On a alors, en tout point,

du

dv

dx dy dz

dv div

dw du

du àv

dz dy

dx dz '

dy dx

Dans ces conditions, on a certainement

D^ailleurs, si les quantités u, v^ w sont des fonctions continues de Xj y, z, le corps ne se creuse pas de cavités ; la modification est renversable, et la condition (8) devient

G — disg = o

OU bien, en vertu des o<;aIitc's (.\) et (7),

Ow O.r ôy 0.r ôz

Oy Oy ds ày ^ J

L c/j" ty^ dy dz dz dz ^ \

rc^(V)-h-VM d\. dix

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