LK PRESSION A L'INTÉRIEUR DES FLUIDES POLARISÉS

§ 1. — Condition d'équilibre diélectrique ou magnétique d*un fluide

compressible.

Nous avons déjà étudié (Livre IX, Chap. VIII) les conditions d^équilibre d'un fluide magnétique quelconque, parfaitement doux ou non, mais supposé incompressible. Nous allons maintenant reprendre cette étude pour un fluide compressible quelconque, magnétique ou diélectrique, mais parfaitement doux.

Désignant par a- le volume spécifîque en un point de ce fluide, par dv un élément de volume de ce fluide, nous admettrons que le potentiel thermodynamique interne de ce fluide à Pétat neutre soit de la forme

4>((t) di\

C'est admettre que l'état du fluide peut être déterminé sans qu'on ait à tenir compte de la position mutuelle de ses divers éléments; c'est, par conséquent, négliger dans cette étude hydrostatique les actions des pressions capillaires. C'est là une hypothèse que nous faisons non pas par nécessité, mais seulement pour abré-

4o3 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISES.

ger nos ralsonnemenls; on pourrait se départir de cette hypothèse en suivant les méthodes que nous avons Indiquées ailleurs (*).

Nous admettrons également, pour simplifier notre élude, que le système ne porte aucune charge électrique; si nous ne faisions pas cette hypothèse, nous aurions à tenir compte des diverses pressions électriques, que nous pourrions déterminer comme nous l'avons fait dans un Mémoire spécialement consacré à cette étude (2).

Nous admettrons enfin que notre fluide à l'état neutre est soumis à deux sortes de forces extérieures :

I® Des forces appliquées à ses divers éléments de volume; ces forces ont pour potentiel la quantité

V étant une fonction de x, j', z finie, uniforme et continue en tout point du fluide, et dont la forme ne dépend ni de la forme ni de l'état du fluide; telles seraient Taction de la pesanteur, l'action de plusieurs corps fixes soumis à la loi de la gravitation universelle.

2® Des forces appliquées aux divers éléments de la partie déformable de la surface qui limite le fluide. Un élément rfS de cette surface supporte une force PrfS; P est la grandeur de la pression en un point de l'élément rfS; la direction de la force PrfS est la direction de la pression en un point de l'élément rfS.

Ce fluide sera ou aimanté, et alors il sera soumis à l'action d'aimants extérieurs; ou polarisé diélectriquement, et alors il sera soumis à l'action de corps électrisés ou polarisés extérieurs; en toutes circonstances, ces corps extérieurs seront supposés d'état invariable.

Nous allons étudier en détail, par une méthode que nous avons déjà employée dans une question analogue (^), les conditions d'é-

(*) P. DuHEM, Applications de la Thermodynamique aux phénomènes capillaires {Annales de l'École Normale supérieure, 3* série, t. II, p. 207; i885).

(» ) P. DuHEM, Sur la pression électrique et les phénomènes électrocapillaires, !'• Partie : De la pression électrique {Annales de V École Normale supérieure, 3« série, t. V, p. 97; 1888).

(•) P. DuuEM, Sur les dissolutions d'un sel magnétique {Annales de V École Normale supérieure, 3* série, l. VII, p. 289; 1890).

CIIAP. I. — PRESSION DES FLUIDES POLARISES. 4^7

quilibre d^un semblable fluide; nous devrons faire cette étude avec d'autant plus de soin que nous en déduirons des conséquences complètement en désaccord avec celles qui ont été introduites dans la science par Maxwell. Dans un prochain Chapitre nous examinerons ces dernières et nous verrons pourquoi il est nécessaire de les rejeter.

Le potentiel thermodynamique interne du système aimanté que nous considérons (nous parlerons sans cesse d'aimants, mais les raisonnements développés et les conséquences obtenues s'appliqueront aussi bien aux diélectriques) peut s'écrire

,f ^ E(\ — TV) -i-jr-i- fri{^^K)di^.

Dans celte formule, ^ est le potentiel magnétique du système. Les autres lettres ont la signification que nous leur avons constamment attribuée au cours de ^e Volume.

Ce potentiel thermodynamique interne ne figure jamais, dans aucune question, que par sa variation; il en résulte que l'on peut, sans inconvénient, supprimer tous les termes qui sont assujettis à demeurer constants.

Supposons le système formé du fluide parfaitement doux considéré et d'aimants permanents et invariables.

La partie variable de E (V — TS) se réduira à

f^(7)dv,

l'intégration s'étendant au volume entier du fluide parfaitement doux.

La partie variable du terme / .T{;)rL)^A', où l'intégration s'étend à tout le système, se réduira à l'intégrale

j(on, 7)(iVf

clendue au fluide polarisé; nous avons mis en évidence la variable 0- dont, évidemment, la forme de la fonction ^ (DXL) dépendra en général.

Enfin, si -Al, 1)1), 3 sont les composantes de l'aimantation en un point du fluide; si O est la fonction potentielle magnétique au

4o8 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS.

même point; si 'Ç est la fonction potentielle magnétique des corps extérieurs, la partie variable de ^ sera

dv.

Nous pourrons donc, en altérant seulement ^ d'un terme constant, écrire

(1) .f= f^{i3)dv+ ÇS{DXL,^)dv-^^- riLl.

^1 dx I

dv.

Si nous posons

F(DîL,a) = -^^

Tétat de polarisation du fluide dénué de force coercitive sera représenté par les équations

cll,=-F(OK, j)

{ u^=-F(orL,cT)

âx ôy dz

§ 2. — Condition d'équilibre mécanique du fluide polarisé.

Cherchons à quelle condition le fluide considéré pourra demeurer immobile.

Pour que l^ équilibre soit assuré, il faut et il suffit que, dans toute déformation virtuelle imposée au fluide, la variation éprouvée par le potentiel thermodynamique du fluide soit égale ou supérieure au travail effectué par les forces extérieures.

Si Ton désigne par d^e le travail effectué par les forces extérieures dans une modiflcation élémentaire, cette condition s'exprimera ainsi

8cf — <ie5,>o.

Dans le cas particulier où la déformation virtuelle imposée au fluide est renversable, c'est-à-dire où l'on obtient une nouvelle déformation virtuelle en changeant tous les signes des déplacements que les divers points éprouvent dans la première, le signe d'inégalité doit évidemment disparaître de la condition précédente, qui devient

(5) 8J— rfSc=-o.

Le travail externe d^e est la somme du travail rfC'^ eflFeclué par les pressions que supporte la surface du fluide et du travail rfS* des forces appliquées à ses divers éléments de volume :

(6) rfcr, = é/s; -4- rf^:;.

Nous avons d'ailleurs

(7) dç^c = ^ P [ " cos(P, X) -h PCOs( P, j) -h (v cos(P, ^)] rfS ,

u^ i^y w étant les composantes du déplacement d'un point de l'élément dS et l'intégrale s'étendant à la partie déformable de la surface qui limite le fluide.

Le travail d^^ est la variation changée de signe du potentiel des forces extérieures, potentiel qui a pour expression

\dv.

Si u, V, iv sont les composantes du déplacement du point qui avait pour coordonnées initiales :r, y, z^ nous aurons

du dv Oii'^ Ox dy d:

/ du âv âiv \ ~~ \dT à y ôz J

et, par conséquent,

(9) rfG,.-oVV=/-(-«-H^-.-^^-..)./..

Les égalités (6), (7), (9) nous fournissent l'expression complète de d(De,

Calculons maintenant la variation S^ subie par le potentiel thermodynamique interne du fluide.

4lO LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLAIIISKS.

D'après Tégalité (i), on peut écrire (10) o,f = .V-hB4-C,

les trois quantités A, B, C ayant les significations suivantes

(il) I B = 8 f:f(DK,<j)dv,

j II ^^ \ ••* j II

Calculons successivement les trois quantités A, B, C.

1° Calcul de A. — Le calcul de A est facile. D'après les égalités (8), on a

, , . r r^ / > d^(<j)'] (du dv àiv\ ,

2** Calcul de B. — Supposons que, dans la déformation du fluide, chaque élément entraîne avec lui son aimantation sans que celle-ci change de grandeur ni de direction ; OTL demeurera alors invariable, et, d'après les égalités (8), on aura simplement

(i3) B =y [,f OR, ,) -^ — ^s— J ( ,- - ,- ^T.r-

3° Calcul de C. — La quantité dont C est la variation dépend uniquement de la forme du fluide et de l'aimantation de chaque élément de volume. Donc, pour calculer C, on peut calculer la variation subie par la quantité en question dans une série quelconque de modifications amenant les éléments dont il s'agit du même état initial au même état final que la modification considérée.

Soient

V {fig- 27) le volume occupé par le fluide avant et après la modification ;

Vj le volume qui était rempli par le fluide avant la modification et ne l'est pas après;

Va le volume qui n'était pas rempli par le fluide avant la modification et l'est après.

CHAP. I. — PRESSION DES FLUIDES POLARISES. 4ll

11 est aisé de voir que, en négligeant les infiniment petits d^ordre supérieur, la modification considérée pourra être regardée comme résultant des modifications suivantes :

1° En chaque point du volume V-h Vj, on donne à Jl», ilî>, 8

les variations

^ - / d'\o d'Ao àf'Xo \

\dx dy dz I

Ollî» = — ( - - u H 7— V

\ t)x dy

d dz

dB \

2** On supprime ce qui se trouve à l'intérieur du volume V^ .

Fig. 37.

3^ On remplit le volume V2 par une masse de fluide aimanté 'dont l'aimantation , en chaque point, ait sensiblement même grandeur et même direction qu'aux points du volume V infiniment voisins de celui-là.

On a alors

C, c, G" étant les quantités analogues à C relatives à ces trois modifications partielles.

Si le volume et la forme du fluide demeurent invariables et si, en même temps, X, i)l), 8 subissent des variations quelconques SAo, 8tjI>, §8, on sait que la quantité

ds^

, dV) dx

subit une variation

/Il

OeA».

On a donc

a(r)-4-t:>) dx

ôx ôx

dx dy

Ox âz

dy dx

dy dy

d{X)-^X)) d^ dy Oz

d{XD-\-'<}) d2> dz dx

^(t)-4-\:>) dz

dv.

Si Ton désigne par <iSi l^un des éléments de la surface S qui confinent au volume V| , on verra facilement que

evv>

MCOS(N/, x) ll^/Si,

N| étant la normale à la surface S vers l'intérieur de cette surface.

De même, si ^^82 désigne un élément de la surface S contigu au volume V2, on aura

di V) -h <> )

Il acos(N/, ar) j| dSx.

Les égalités (3) donnent

"Ào

diV)-^^,)) dx

Ole»

F(;)lc, j;

d(l0-+-'O) dA.

^^^ ' dx dy

diV-^-'O) dX

dy dx Oz dx

a(r)-4-t?) ^»ii> d{X)-^-<>) (^

dy dy dz dy

d{X)-^-<>) d\\\y . (?( D -4- t?) dC

dOTL*

ày

2F(JrL,cr) dx

i dd\L^

•iF^^lL, cr) dy '

2F(0rL,cr) dz

D'après l'égalité (2), on a

f),m» d ff( ,m, a) d .f (on., <j) <)(i

'2^\0rL,(r; dx 2F(^ll,<j; dy

<^ff dy

c'T dz

CHAP. I. — PRESSION DES FLUIDES POLARISAS. .^l'i

Les égalités (i4)> (>3), (i6), (17), (18), (19) et (20) donnent

— / — K — - — - ( ,- Il -h ^- V -+■ —- w ) av. j &s \dx vy oz j

Une intégration par parties permet, enfîn, de donner à cette égalité la forme suivante :

~~ J O7 \dx t{y t)z I

-yj(OR,a)(g^-':^ + "^-u/..

/du ()v âw ày Oz

Nous allons maintenant écrire que, dans toute modification du fluide où chaque élément se déplace en gardant une aimantation invariable de grandeur et de direction, on a, conformément à l'inégalité (4) et à Tégalité (10),

( 22 ) A -H B H- C — d(Bc L o.

§ 3. — De la pression à l'intérieur d'un fluide polarisé.

Imaginons d'abord la modifîcation suivante :

A l'intérieur du fluide on trace une surface canal infiniment déliée, de section w, ayant pour directrice une courbe fermée /. A chacun des éléments du fluide compris à l'intérieur de cette surface canal, on donne une translation 8/, ajant pour tous la même grandeur et parallèle, pour chacun d'eux, à la tangente au point infiniment voisin de la directrice. Dans une semblable modification, le volume de chaque élément demeure invariable. On a

donc

du dv dw

dx dy dz

en tout point du fluide. Nous supposons, en outre, que les molécules fluides infiniment voisines de la surface demeurent immo-

4l4 LIVRE XII. — LES DEFOEMATIONS DES CORPS POLARISÉS.

biles, en sorte que ron a, en tout point de la surface S,

M = O, V = O, fV = o.

Ces dernières égalités ont encore lieu pour tout point extérieur à la surface canal. En tout point de la surface canal, on a

Dans ces conditions, l'égalité (7) donne

d^'g — o; Tégalité (9) donne

rintégrale s'é tendant à la directrice de la surface canal. L'égalité (6) donne alors

dlBe= u) 8/ / — T7 ^'•

L'égalité (12) donne

L'égalité (i3) donne

Enfin l'égalité (21) donne

l'intégration s'étendant à la directrice de la surface canal.

La modification considérée étant renversable, l'inégalité (22) se change en une égalité qui s'écrit

/•rd.fr.m,<j) d<j f rfV I ^, J[ ôT-dl-^.-dir^'''

Cette égalité doit avoir lieu quelle que soit la courbe fermée tracée à l'intérieur du fluide qui sert de directrice à la surface canal. Il doit donc exister une fonction de x^y, z, finie, continue

CHAP. I. — PRESSION DES FLUIDES POLARISÉS. 4l5

et uniforme à Fintérieur du fluide, dont

ch H a\

soit la différentielle totale.

Si la quantité

est la différentielle totale d'une fonction uniforme, finie et continue des coordonnées, il en sera de même de la quantité

du moins, si le fluide ne renferme aucune surface le long de laquelle son aimantation ou sa densité varient d'une manière discontinue. Nous arrivons donc à la conclusion suivante :

// existe une /onction II, uniforme, finie et continue à V intérieur de toute région où le fluide est continu, telle que l'on ait

(23; di -+- d -T— 7: . -f. - c?V = dU,

(]le premier résultat permet de modifier la forme de l'inégalité (22).

Il en résulte, en effet, que la somme du terme

J di \djr dy dz /

qui figure dans G d'après l'égalité (20) et du terme

ri fd\ à\ d\ \ ^

qui figure dans (— rfS<.), d'après les égalités (6) et (9), peut s'écrire

àz LF(^n.,(T) J \ '

4l8 LIVRE XII. — LES DEPORTATIONS DES CORPS POLARISÉS.

volumes Ûi, Û27 ^s? •••• La surface déformable S du fluide se compose de la surface S qui le limite extérieurement et des surfaces S|y £2, S3, ... qui limitent les cavités.

Les pressions P ne sont appliquées qu'à la surface S. Il n'y a pas de pression extérieure appliquée aux divers éléments des surfaces 2n j 2é2y ^3) . • • ■

La fonction II est continue; tous les points de la surface S| sont infiniment voisins du point A| ; donc, en tout point de la surface S4, la fonction II a sensiblement la valeur Ilf qu'elle a au point Â|. Les surfaces £2, £3, ... donnent lieu à des considérations analogues.

La modification considérée- n'étant pas renversable, on devra,

dans la condition (24)? conserver le signe d'inégalité, et cette condition deviendra

— V P[a cos(N,-, a*)H- t'cos(N/,^) -h w cos(N/, z)] dX -h W n[acos(N/, x)-^ V cos(N/,^)h- w cos(N/, z)]dl^ -r- Ui W [acos(N/, a7)-i-pcos(Ni,^) ■+- w cos(N|>^)] rfSi -+- tlj W facos(N/, ar)-4-i? cos(N/, j^) -+- w cos(N/, 5)]<i2,

L'égalité (28), invoquée à son tour, transforme cette condition en

— G C[mcos(N/, :c)-4-PC0s(>[/,7)-r- M'cos(N/. z)] dl,

. -+- IIi W [a cos( N/, j-) -4- t' cos(N/,^) -f- ip cos(N/, 5)] rfSi

-»- Ht W [w cos(N/, x)-r- V cos(Ni,y) -4- w cos(N/, z)] dZi \ -t- ^ o.

La normale N/ étant la normale dirigée vers l'intérieur du fluide, on voit que

W [m co8(N/, .r) -h Pcos(N/,^') -h w cos(N/, .5)] rfSi représente l'accroissement subi, durant la modification considérée,

par le volume qu'enferme la surface 2| . Or ce volume, nul au début de la modification, est égal à û| à la fin. On a donc

V [wcos(N/, a?)-+-PC0s(N/,7)-4- «c cos(N/, z)] rf2i= ûi;

on a de même

W [ttcos(N/, j?)h- Pcos(N/,^)-h ivcos(N/, 5)]c/Sj = l2,,

D'autre part, le volume enfermé par la surface S augmente de

iij l i2ju*

On a donc

— V [mcos(N/, a:) ■+- vcos(^i^y) -\~ w cos(N/, z)]d2, = Û|-4- Ûj-h

Moyennant ces égalités, la condition (29) devient

(ni + C)û,-i-(n,4-C)û,-h...>o.

Les points Ai , A2, . . . sont des points quelconques situés dans la masse du fluide. Les volumes ûi, Û2, ... des cavités sont des quantités nulles ou positives quelconques. L'égalité précédente entraîne donc cette nouvelle proposition :

La quantité (Il -h C) ne peut être négative en aucun point du fluide.

Appliquons ce résultat aux points de la surface même du fluide, en remarquant que, pour ces points, d'après l'égalité (28), on a

et nous arriverons à la conclusion suivante :

Pour V équilibre du fluide, il faut que toute pression extérieure qui n'est pa^ égale à o soit dirigée vers l'intérieur du fluide.

La quantité (II -h G) n'est jamais négative; elle est égale à la pression extérieure P en tout point de la surface qui limite le fluide. Nous la désignerons par la lettre P et nous la nommerons \di pression au point {x,y, z) intérieur au fluide. Nous verrons

tout à rheure de quelle définition mécanique cette quantité est susceptible.

Envisageons, en dernier lieu, une modification quelconque où le fluide ne se creuse pas de cavités, mais où chaque élément subit une variation quelconque de volume. La modification étant renversable, la condition (24) se transforme en une égalité qui peut s'écrire, en vertu de la relation (28),

— G ^ [mcos(N|-, ar)-4-t'C05(N/,/)-f- tv cos(N/, 3)]t/S

(du àv dw \ , , __ dx ày àz I

Mais on a

^ [acos(N/, a?)-f- PCos(N/, ^)-4- ivcos(N/, z)\d'^ = -J (^ "^ J^"^ d^) ^^•

Si Ton se souvient qu'on a, par définition,

on voit que la condition d'équilibre peut s'écrire

Or la quantité

du àv àw

ùx ôy dz

est une fonction arbitraire de x,y, z; la quantité entre accolades est une fonction continue de .r, j^, z\ dès lors, on voil aisément que l'égalité précédente exige que l'on ait, en tout point de la masse fluide,

(30) ^f,<i.(.; + ,i(3ll,,)] + l..-^^^^o.

Ces résultats obtenus, considérons une masse fluide polarisée en équilibre. Soit S la surface qui la limite. Isolons-en une partic A, soit {/ig* 28) par une surface fermée S, tracée en entier à l'inlérieur de la surface S, soit {/ig* 29) par une surface 2 formant une surface fermée avec une portion S| de la surface S.

CIIAP. 1. — PRESSION DES FLUIDES POLARISES. 421

Soit B ce qui reste de la masse fluide lorsqu'on supprime la masse A.

La masse entière étant en équilibre, Taimantation distribuée sur la masse B a, au point (^,^', z) de la masse A, une fonction potentielle magnétique ^{x, y, z). Il est toujours possible de trouver des aimants qui ne soient pas en contact ai^ec la masse A et qui aient aux divers points de cette masse la même fonction potentielle magnétique ^ (x, ^, z) que la masse B. Nous les nommerons les aimants équivalents à la masse B.

Fig. 28. Fig. 39.

Supprimons la masse B. Supposons la masse A soumise :

I® A Faction des forces extérieures dont la fonction potentielle est V;

a^ A Faction des aimants qui agissaient sur l'ensemble des masses A et B;

3° A Faction des aimants équivalents à la masse B.

L'aimantation d'équilibre de la masse A, placée dans de telles conditions, sera évidemment identique à l'aimantation que présentait cette même masse dans le système primitif.

Si l'on applique à la surface S| les pressions qu'elle supportait dans le sj^stème primitif^ à la surface S une pression normale en tout point à cette surface, dirigée en tout point vers l'intérieur du fluide A, et égale en tout point à la valeur que, dans le .système primitif, la quantité P avait en ce point, la masse de fluide A demeurera en équilibre.

En effet, il existera une fonction II uniforme, finie et continue à l'intérieur du fluide A, telle que l'égalité (aS) soit vérifiée en tout point de ce fluide; ce sera la même fonction II que dans le système primitif.

Diaprés la définition même de la quantité P, on aura, en tout point de la surface qui limite la masse A, Tégalité

(•ji8) P— Dr^C,

C aj'ant la même valeur que dans le système primitif.

Comme la quantité (II -|- C) n'était négative en aucun point de l'ensemble des masses A et B, elle n'est négative en aucun point de la masse A.

Enfin l'égalité (3o) continue à être vérifiée en tout point de la masse A, puisque aucune des variables qui y figurent^ n'a changé de valeur par la suppression de la masse B.

On voit donc que l'application à la surface S de pressions dont la valeur est P en chaque point remplace la liaison qu'imposait à la masse A la présence de la masse B. Ainsi se trouve justifié le nom de pression à l'intérieur du fluide donné à la quantité P. Ce qui précède montre que ce mot a bien ici la signification que Lagrange lui attribue dans la Mécanique analytique (* ), signification que trop peu d'auteurs ont comprise.

§ 4. — Changement de volume d'un fluide polarisé.

Lorsqu'un fluide n'est pas aimanté, on a, en tout point de ce fluide,

3rL=0, r^(01l, <J) =0.

L'égalité (3o), qui doit toujours avoir Heu en tout point de ce fluide, devient alors

(3i) ^[cr*(a)]-f-P:=o.

Le premier terme du premier membre est une fonction du volume spécifique c au point considéré ; cette équation est donc la relation qui lie le volume spécifique c en chaque point du fluide non polarisé à la pression en ce point; c'est V équation de com^ pressibilité du fluide non polarisé.

(*) P. DuHEM, Cours de Physique mathématique et de Cristallographie de ta Faculté des Sciences de Lille : Hydrodynamique, Élasticité, Acoustique, Livre V, Chap. III; Paris, 1891.

CHAP. I. — PaESSlON DES FLl'IDES POLARISÉS. 4^^

Quand, au contraire, le fluide est polarisé, l'équation de cornpressibilité est remplacée par la relation (3i) qui lie entre elles les valeurs prises, en chaque point du fluide, par le volume spécifique, la pression et l'intensité de polarisation.

Ce résultat met en évidence une vérité fondamentale : c'est que, dans un fluide polarisé, le volume spécifique en chaque point ne dépend pas uniquement de la pression au même point.

On admet en général, sans démonstration, que, dans un fluide de température déterminée et de nature déterminée, la densité est liée à la pression par une relation qui demeure la même de quelque manière que la pression soit engendrée.

Nous avons vu (t. I, p. 355) que l'exactitude de cette proposition était subordonnée à une condition. Cette condition est vérifiée (^) dans le cas particulier où chaque élément est défini exclusivement par des paramètres qui lui sont propres, cas auquel aucune force intérieure n'agit dans le système. Elle est encore vérifiée dans le cas où les seules forces intérieures au système sont les forces dues à la gravitation universelle; mais elle n'est pas vérifiée en général. Aussi, dans chaque cas particulier, doit-on déterminer directement la loi qui définit le volume spécifique.

Nous avons, à plusieurs reprises, indiqVié la méthode qui permet de le faire ; nous avons appliqué cette méthode d'abord aux fluides soumis aux seules actions capillaires (^), puis aux fluides qui sont soumis non seulement aux actions capillaires, mais encore aux actions électrostatiques (').

C'est cette méthode qui nous permet maintenant de déterminer les lois suivant lesquelles varie le volume spécifique d'un fluide polarisé.

Considérons un point d'un fluide polarisé; en ce point le volume spécifique est c, la pression P, l'intensité d'aimantation dit, et l'on

(*) P. DuHEM, Cours de Physique mathématique et de Cristallographie de la Faculté des Sciences de Lille : Hydrodynamique, Élasticité, Acoustique, t. l, p. 72; Paris, 1891.

(•) P. Du HEM, Applications de la Thermodynamique aux phénomènes capillaires {Annales de l^ École Normale supérieure, 3* sériei t. II, p. 207» i885).

(') P. DuHEM, Sur la pression électrique et les phénomènes électrocapillaires, 1" Partie ; De la pression électrique {Annales de V École IVormale supérieure, 3« série, t. V, p. 97; 1888).

a, d'après Fégali té (3 i)y

Pour que le volume spécifique eût la même valeur en un point intérieur au fluide non polarisé, il faudrait que la pression eût, en ce point, une valeur P' qui serait, d'après l'égalité (3i),

La comparaison des deux égalités que nous venons d'écrire donne

(32) P'p = ^[a^(aiv, (T)]- ^'

Ainsi, pour obtenir le volume spécifique en chq.que point (Tun

fluide aimanté, on peut faire usage de la loi de compressibilité

du fluide non aimanté, mais à la condition d^augmenter la

valeur de la pression à V intérieur de ce fluide d'une pression

fictive donnée par l'égalité (32).

On sait que l'on a

On a donc

— • .T(.m, (j) — — ; =r-,T^ Tî ; «Jll.

Ors ^ J^ F(^lL, <J)\* 07

D'autre part, on sait [Livre IX, Ghap. V, équation (lo)] que l'on a

la quantité W(3(\L, t) étant positive pour tous les corps magnétiques.

D'après ces deux relations, l'égalité (32) peut s'écrire

Le second membre est la somme de deux termes ; le premier est

négatif pour tous les corps magnétiques; le signe du second n'est

pas connu ; si Von néglige la quantité --— — des?ant¥{^^^ o")

on pourra négliger le second terme devant le premier. (P' — P) sera alors certainement négatif. Ainsi, pour obtenir le volume spécifique en un point d*un fluide aimanté, on peut, dans les conditions que nous venons d^indiquer, se servir de la loi de cornpressibilité valable pour le fluide non aimanté; mais on doit remplacer la pression qui s'exerce réellement au point considéré par une pression fictive plus faible. On en conclut immédiatement la proposition suivante :

Le volume spécifique en un point d^ un fiuide polarisé est supérieur au volume spécifique qu^ offrirait le même fluide non polarisé sous une pression égale à celle qui règne en ce point,

La loi de celte dilatation est facile à trouver.

Soit C le coefficient de compressibilité du liquide non polarisé. Soit s le volume spécifique du liquide non polarisé sous la pression P. Le volume spécifique <t du liquide polarisé sous la pression P est identique au volume spécifique que prendrait le liquide non polarisé sous la pression P'. On a donc

7o étant le volume spécifique du fluide non polarisé sous une pression égale à o.

Remplaçons (P' — P) par sa valeur (33), en négligeant le second terme devant le premier, et nous aurons

Adoptons l'approximation de Poisson; soit A'(a') le coefficient d'aimantation du fluide dont le volume spécifique est 7; nous aurons

\ïf(on.,î) =

•xk{rs)

cl, par conséquent,

i — s C.Tl»

La pression demeurant la même en un point d*un fluide,

lorsque ce fluide passe de l'état neutre à Vétat de polarisation, il se produit en ce point une dilatation qui est :

i** Proportionnelle au coefficient de compressibilité du fluide;

2** Proportionnelle au carré de l^ intensité de polarisation;

3° En raison inverse du coefficient de polarisation.

Supposons le fluide peu magnétique, et soit J l'intensité du champ dans lequel il est placé. Nous aurons alors

et, par conséquent, l'égalité (34) deviendra (35) lUi^Çil^j..

La dilatation considérée est alors proportionnelle : i^ Au coefficient de compressibilité du fluide; 1^ Au coefficient d* aimantation du fluide; '6"* Au carré de l'intensité du champ.

La dilatation des liquides diélectriques par l'effet de la polarisation a été constatée par M. Quincke et M. Rôntgen.

Un fluide soumis à une polarisation magnétique ou diélectrique demeure toujours isotrope; on ne saurait donc expliquer par des déformations ici étudiées la double réfraction qui se manifeste, d'après les expériences de M. Kerr, dans les diélectriques polarisés.