L II

\\X- ^ cos(N/, c)-f-Pc()s(P,3) Kv^fS

\\ dx J )

/()«' du\

^■is^gj-'-.d*^)]'"

Posons

Nj^F,-

--la : Il y

dx dx dx

les trois quantités N<, N2, N3 seront, comme F|, Fj, F3, trois fonctions de x^ y y Zy uniformes, finies et continues à l'intérieur du corps étudié. Une intégration par parties permettra de transformer l'égalité (10) en la suivante :

J { \^ ox^ ox Oy Ox ôz âx Oy Oz J

\J ojr ox oy^ Oy oz ox oy àz \

\J dzox ozây oz^ ox ày oz \ \

j [Pcos(P, a?)— Nicos(N/, x)— T3C0s(N|-, ^) — TjCos(X/, ^)]w -4-[Pcos(P, j) — T,cos(N/, T) — NjCos(N/, ^)-- Tj cos(N/, 5)]i^ -+-[Pcos(P, z) -^TjcosCN/, x) — TiCos(Nx,7) — N, cog(I>(/, <5)] fp j €<S ^ o.

Telle est l'égalité qui doit avoir lieu quels que soient m, v^ w.

Nous allons démontrer, en premier lieu, que le coefficient de u dans l'intégrale triple est égal à o en tout point intérieur au corps considéré. Supposons, en effet, que ce coefficient soit différent de o en un point A {fig* 3o) intérieur au corps. Comme ce coeffi-

Fig. 3o.

cient est une fonction continue de x^y^ z, on pourrait tracer autour du point A et à l'intérieur du corps un domaine 1, en tout point duquel ce coefficient aurait le même signe qu'au point A. Soit 2 ce qui reste du corps lorsqu'on supprime le domaine 1. On pourrait imposer au corps une transformation telle que l'on eût, en tout point de l'espace 1,

u > o, 1^=0, iV = o

et, en tout point de l'espace 2,

W = o, W = o, iV = o.

D. — II. a8

Le premier membre de l'égalité (12) se réduirait alors à

/ \f "' Ox* àxày ^ dx dz âx ày dz \

Tous les éléments de cette intégrale auraient le même signe et, contrairement à l'égalité (12), cette intégrale ne pourrait être égale à o. Ainsi se trouve démontrée la première des égalités

^ , c^VO-h-C)) ., ()«(l')-+--C>) ^(^2(r)-f-V>) c^Ni r^Ta d'Y.

P A — -lo : — U« ; r <^ ^ ; = — ; 1 ^ ! ï — »

^ ôx^ ôx oy ox oz ox ôy dz

(i3)jpY--l. ^^^^ "'"""^ ^ Oyàz =1^-^7^""'5J'

pZ— Jl, r-— 1)1) p- S = -7 h--T h-;— •

^ Oz âx oz ây Oz^ ox oy âz

Les deux dernières se démontrent d'une manière analogue.

Ces égalités permettent d'effacer l'intégrale triple au premier membre de l'égalité (12); l'intégrale double que renferme ce premier membre doit alors être égale à o quels que soient w, ç^, tv; on en conclut aisément que l'on doit avoir, en tout point de la surface du corps,

!Pcos(P, x) = Ni cos(N/, x)-h T8Cos(N/, ^)H-T, cos(N|-, z)y P cos(P, y) = T3 cos(N/, X) -h Nj cos(N/, y) -4- Ti cos(N/, z), Pcos(P, z) = TîCOs(N|, a?)-HTicos(N/, ^)-+-N3Cos(N/, -5).

En vertu des égalités (i3) et (i4)j l'égalité (10) est identiquement satisfaite quels que soient a, v, «>. La condition (8) devient donc, pour toute modification virtuelle renversable,

f]hO\

,. , ./âV âV 0\V\ \dx ôy dz I

■^V-^^KJx-^ry'^-ô^j^^TxV^'

y \àw oy Oz I dy \

\, ,/dV e)V à\\\ ,à\y\^.

,/dW dl]\^.

\dy âx / ' ] \ ôx ôy ' ôz /

ày

ôx

(?(V)-f-XP)

J oz

(dXi

Sj-^-^-

'■*Wy*t)'-'

Posons, pour abréger,

\rlx

, \(d\' aWN „ ^ /(JW dlJ\o, /

Une intégration par parties transformera l'égalité précédente en la suivante :

J \ ôx dx\Ox dy àz / ().r

oa? IJ J

ôx

Is-f-AXlft)

UK'À'-S)---H!"*

\ , ^'^rt'

^r L ày I! '>/• Il

efx ox "

^ / c^3 (^5 \dj7 ôy dz / dz

L^ Il II ^M

Nt-H**<»' cos(N/, t)

S\ri..v«. % /^U dV dV/\ ,

+ a(i -+- Il X ^^'^\'^'^'^^ Il "^ "^^ "^ *^'] <=°*('^''->'>

^ Ksj-^ ^) + T. + A-il!,3] cos(N„ z)

H- [[x (^ "*" 5Z ) ■+■ T,-H X:ill.xl cos( N/, x) I P rfS

• " e^ --^— : ^ +N,-f-A:3* cos(N/, 2)

da; Il J

^^ dz

Cette égalité doit avoir lien quels que soient w, ç', (v. Par un raisonnement analogue à celui que nous avons appliqué à l'égalité (la), nous prouverons qu'il est nécessaire et suffisant pour cela que Ton ait :

1^ En tout point intérieur au solide polarisé, Tégalilé

dx \dx ôy dz / ^

ôx^

"^^ ày\ày '^ âx)'^^ dz\dx "*" ('5)( à [^ \\ , d(V)-^\^)

dz)

-:^(Ta-+-A:.l>ift))- t(j^^kXZ\ oy ' oz

\ et deux autres égalités analogues; 2° En tout point de la surface du corps considéré, l'égalité

= -rNiH- Il <^^ — ^^^^ -h4;-hA0rL«-+-A--.l,«l cos(N/,x)

— (Ts-t- Ar^Wo) cos(N,, ^) — (Ti4- A- A£ ) cos(N/, ;;) = o, et deux autres égalités analogues.

Les égalités (i 3), (i4)> (*5) et (i 6), jointes aux conditions de Téquilibre magnétique [Livre X, Chap. IV, équalions (7)], fournissent les conditions qui sont nécessaires et suffisantes pour l'équilibre du corps polarisé. Il nous reste à discuter les conséquences de ces équations.

§ 2« — Pressions à l'intérieur d'un solide primitivement isotrope,

peu déformé et polarisé*

Considérons un solide polarisé en équilibre. Il existe six fonctions uniformes, finies, continues de Xy y, z^

qui vérifient les équations (i3) en tout point de ce solide et les équations (i4) en tout point de sa surface.

Traçons dans ce solide une surface S qui, soit seule (Jig' 3i), soit avec une portion S| de la surface S {/ig' 32), isole une partie A du corps solide. Désignons par B ce qui reste de ce corps lorsqu'on a supprimé la partie Â.

Définissons, comme au Chapitre précédent, les aimants qui pour la partie A seraient équivalents à la partie B.

Supprimons la partie B sans rien changer à l'état de déformation de la partie A et en laissant cette partie A soumise :

I** A Faction des forces extérieures qui agissaient sur elle;

2^ A l'action des aimants qui agissaient sur le solide primitif;

3® A l'action des aimants équivalents à la partie B.

Fig. 3i. Fig. 32.

Il est facile de voir que l'aimantation de la partie A demeure ce qu'elle était avant la suppression de la partie B; que, d'autre part, les déplacements de la partie A ne sont plus soumis aux liaisons que leur imposait la présence de la partie B ; mais que, pour rétablir l'équilibre de la partie A, il suffit d'appliquer à la surface S des pressions convenablement choisies; la grandeur et la direction de la pression en chaque point de la surface S sont données par les équations

P cos(P, x) = Ni cos(-\/, jr) -\- T3 co5( N/,jk) -+■ Tj cos(N,-, a),

(l4) { Pcos(P,^)-.T3COS(N/,ar)-hN,cos(N/,j^)-t-T,cos(N/,^),

Pcos(P, 2)-^T, cos(X/,j-)-+-T| cos(N,-,7)-+-N3CosrN/, «).

Dans ces équations, N/ représente la direction de la normale à l'élément ctE en un point duquel on veut déterminer la pression, cette normale étant orientée vers l'intérieur de la partie A.

La grandeur et la direction de la pression sont ainsi définies en tout point du corps et pour toute orientation de l'élément passant par ce point, en fonction des six quantités

Aussi dirons-nous que connaître les valeurs de ces six quantités

au point (:r, y^ z) du corps, c'est connaître les pressions en ce point.

Nous ne nous attarderons pas ici à étudier les belles conséquences que Cauchy et Lamé ont déduites des équations (i4)« Oii les trouvera exposées dans tous les Traités d'Élasticité; elles ne sont pas essentielles au développement de la théorie qui nous occupe.

§ 3. — Pressions fictives à l'intérieur du solide polarisé.

Supposons que l'on se donne l'état d'aimantation du corps et les valeurs que prennent, en tout point du corps, les six quantités

N„ N„ Ns, T„ T,, T3.

La déformation du corps sera déterminée par les égalités (i5) et (16).

Si le corps n'était pas aimanté, ces égalités seraient de la forme suivante

l ' ^>j~ \(>jr dy dz ) ' ^ âx* , ... , 1 [à fdV dy\ à (dW Ù\J .1

\ dx dy dz /^

= — [Ni cos(N/, x) -+- Ts cosCN/, y) -+- Tj cos(N/, z)].

Ces équations et les équations analogues que l'on en déduit par des permutations tournantes déterminent les déformations du solide non polarisé en fonction des pressions; elles jouent le même rôle, dans l'étude de la déformation des solides élastiques et primitivement isotropes, que Téquation de compressibilité dans l'étude des fluides.

Si l'on compare les égalités (i5) et (i6) aux égalités (i5 bis) et (16 bis)^ on arrive aux conclusions suivantes :

On peut, dans un solide polarisé, donner aux équations qui

440 LIVRE XII. — LES DÉPOBliATIONS DBS CORPS POLARISÉS.

lient les déformations aux pressions la forme qu'elles ont pour un solide non polarisé, mais à la condition de remplacer les valeurs réelles des six quantités

par des valeurs fictives

N't, Ni, n;, r„ T'„ T'„

liées aux premières par les relations

ôx

^^hmL^-\-kB^,

Les égalités (17) peuvent se transformer. Si l'on se reporte, en effet, aux lois de l'équilibre magnétique [Livre X, Chap. IV, équations (7)], on voit qu'on a

Les égalités (17) deviennent donc

<J/ H- /l OIV* -(- X ,.l,«,

--V + AiTt-'+Aife»,

Nj-