CHAPITRE PREMIER

§ 1. — Pôles magnétiques (').

Si Ton fait agir F une sur l'autre deux aiguilles aimantées très minces, AB, A'B', on observe que le mouvement pris par l'aig^uille AB peut toujours être attribué à quatre forces : deux sont appliquées au point A et dirigées suivant les droites A'A, B'A;

(') Les premières idées nettes sar les aclions mutuelles des aimants sont dues à Tobias Mayer [Theoria magnetica {Gœtting. gel. Anz., 1760)] et à i^pinus [Examen theoriœ magneticœ a Tob. Mayero propositœ {Novi Commentarii Academiœ PetropolUanœ, t. XII, p. 3i5; 1766)].

deux autres sont appliquées au point B et dirigées suivant les droites A'B, B'B. Les extrémités des aiguilles auxquelles sont appliquées ces forces portent le nom de pôles magnétiques des aiguilles.

Supposons que A, A' soient, pour nos deux aiguilles, les pôles qui, à Paris, se dirigent vers le nord, et B, B' les pôles qui se dirigent vers le sud. On dit que les pôles A, A' renferment du magnétisme austral et les pôles B, B' du magnétisme boréaL

On observe que l'action de A' sur A et l'action de B' sur B sont toujours répulsives, tandis que l'action de B' sur A et l'action de A' sur B sont toujours attractives; d'où la loi :

Les pôles magnétiques de même nom se repoussent ; les pôles magnétiques de noms contraires s^ attirent.

L'action qu'un pôle magnétique, A', par exemple, exerce sur un autre pôle magnétique, A, par exemple, est égale et de sens contraire à l'action que le pôle magnétique A exerce sur le pôle A'. Les actions mutuelles des pôles magnétiques sont soumises ci la loi de Inégalité entre Inaction et la réaction, \ (^

Lorsque plusieurs aiguilles aimantées A'B', A'^B", ... agissent simultanément sur une même aiguille AB, les forces qui sollicitent celte dernière s'obtiennent en composant entre elles les forces qui la solliciteraient si elle subissait séparément l'action de l'aiguille | p,

A'B', puis de l'aiguille A^B", ....

L'action qu'un pôle magnétique A' exerce sur un autre pôle magnétique A dépend de la distance r qui sépare ces deux pôles; elle décroît lorsque cette distance augmente. Toble Majer avait déjà soupçonné que cette action devait varier comme l'inverse du carré de la distance r. Coulomb (*) et, plus tard, Hansteen {-) ont démontré expérimentalement l'exactitude de cette proposition. Leurs [^ expériences laissent beaucoup à désirer. Nous verrons, au prochain ^g Chapitre, comment Ganss a établi cette loi avec une admirable précision. Provisoirement, nous laisserons indéterminée la fonction

(') Coulomb, Second Mémoire sur V Electricité et le Magnétisme, où l'on ,.

détermine suivant quelles loix le fluide magnétique, ainsi que le fluide élec- '^^

trique, agissent, soit par répulsion, soit par attraction {Mémoires de l^Aca- nias demie royale des Sciences pour 1786, p. 578).

( *) Hansteen, Lettre à M. Œrsted, professeur à V Université de Copenhague H

(Journal de Physique de Delamétherie, t. LXXV, p.4i8;i8ia). c

ne-

li-:

de la distance qui régit Taction mutuelle de deux pôles magnétiques.

Si, sur le pôle austral A d'une aiguille aimantée AB, nous faisons agir successivement, à la même distance R, les pôles de même nom a, a\ a", ... de diverses aiguilles a&, afb', o!'b"^ ... et les pôles de nom contraire 6, 6', i", ... de ces mêmes aiguilles, nous observerons que les actions exercées sont différentes. Nous représenterons par F, F', F", ...>/,/', /", . . . ces actions, les actions répul- ^ sives F, F', F", . . . étant comptées positivement, et les actions

attractives/, /', /" . . . étant comptées négativement.

Lorsque le pôle austral A et la distance R ont été choisis une fois pour toutes, ces actions F, F', F", .. ., f, f'^f"^ ... caractérisent les pôles a, «', a", . . ., 6, b\ 6", On donne à ces actions

le nom de masses magnétiques ou de quantités de fluide magnétique que renferment les pôles considérés.

D'après cette définition, une masse magnétique australe est positive; une masse magnétique boréale est négative.

On voit aussi, d'après cette définition, qu'un pôle de masse magnétique {m + m') équivaut à la juxtaposition d'un pôle de masse magnétique m et d'un pôle de masse magnétique m'. Lu pôle de masse magnétique o équivaut à l'absence de pôle magnétique.

L'expérience montre que les masses magnétiques de signes contraires, placées aux deux pôles dhine même aiguille, sont égales en valeur absolue.

Prenons les pôles a, a\ a", . . ., 6, 6', 6", ... ; plaçons-les successivement à une même distance r d'un même pôle quelconque P. Le pôle P subira des actions 4>, 4>', 4>-', ...,©, cp', cp'', L'expérience montre que l'on a

A or

cf,»

Il 1 * fl

Les actions que divers pôles d^ aimants exercent, à une même distance, sur un pôle quelconque, sont proportionnelles aux masses magnétiques que renferment ces pôles.

Il est facile de tirer de là la conclusion suivante :

Soient P et P' deux pôles magnétiques ; soient m et m' les masses

i LIVRE VII. — LES FORCES MAGNETIQUES.

magnétiques qui se trouvent en ces deux pôles ; soit T Faction que ces deux pôles exercent l'un sur Tautre à la distance /•, cette action étant comptée positivement lorsqu'elle est répulsive et négativement lorsqu'elle est attractive. On pourra écrire

T= mm'/(/'),

/(r) étant une fonction de la distancer, qui est la même pour tous les pôles d'aimants, qui est positive pour toute valeur de /*, qui décroît lorsque /* augmente.

La fonction /(/*) dépend du choix du pôle étalon A et de la distance R; si l'on remplace ce pôle et cette distance par un autre pôle et une autre distance, on augmente ou on diminue /(/') dans un certain rapport indépendant de t\

Le choix du pôle A et de la distance R est arbitraire; le plus commode est le suivant : pour distance R, on prend l'unité de longueur; on choisit le pôle A, de façon qu'un pôle identique A', séparé du pôle A par l'unité de longueur, exerce sur le pôle Aune action répulsive égale à l'unité de force.

D'après cette définition, on voit que la masse magnétique du pôle A' est égale à l'unité. Il en est de même de la masse magnétique du pôle A. La masse magnétique du pôle étalon A est Vunité de masse magnétique; elle est définie par cette propriété : deux masses magnétiques égales à l^unité, séparées par une longueur égale à r unité, exercent l'une sur r autre une action répulsis^e égale à l^ unité de force.

On voit sans peine que cette définition équivaut à la condition suivante : la fonction f (^r) devient égale à l'unité lorsque la distance r est prise égale à r unité de longueur.

§ 2. — Des éléments magnétiques. Action d*un aimant sur un pôle.

Ce qui précède ne s'applique qu'aux actions mutuelles des aiguilles aimantées qui sont très longues et très minces. Voici comment on peut étendre les considérations exposées au précédent paragraphe à l'étude des aimants quelconques (*).

(*) Celte extension est due à Coulomb [Septième Mémoire sur l'Électricité et le Magnétisme : du Magnétisme. Art. X\X {Mémoires de l'Académie des Sciences, pour 1789, p. 488)].

Prenons un corps aimanté de forme quelconque et découpons-le en éléments de volume. Nous admettrons que chacun de ces éléments de volume agît sur un pôle d^ aimant extérieur à V aimant comme s'il renfermait une certaine magnétique m, positive ou australe, placée en un de ses points a et une masse magnétique ( — m) égale à la précédente, de signe contraire et placée en un point b très voisin de a ; en d'autres termes, nous regarderons les actions de cet élément comme identiques aux actions d'une petite aiguille aimantée placée selon 6a. Les définitions et les propositions données dans ce qui précède pour les aiguilles aimantées s'étendront maintenant aisément aux actions exercées par un aimant quelconque sur un pôle magnétique qui lui est extérieur.

Considérons un élément magnétique dv ou 6a, et cherchons son action ( < ) sur la masse magnétique M placée en A.

La masse /n, située en a, exerce sur la masse M une action

F = Mm/(/-),

r désignant la distance aA et la force F étant dirigée suivant aA. La masse ( — m), située en 6, exerce sur la masse M une action

r' désignant la distance 6 A, et la force F' étant dirigée suivant 6 A. Si l'on déplace l'un par rapport à l'autre le pôle A et l'élément, les forces précédentes et les actions égales et directement opposées que le pôle A exerce sur l'élément effectuent un travail

Soit <p{r) une fonction quelconque de r, telle que

d^(r) —dT-- ^^"^^^ nous aurons

«fS = - Mm § \^{r) — «p(r')].

Désignons par l la direction 6a; par dl la longueur 6a; nous

aurons

àr r' = r — rf/ = r -+- cos ( r. l)dl

dl ' '

( *) Tout ce qui suit est dû à Poisson [Mémoire sur la Théorie du magnétisme {Mémoires de l'Académie des Sciences, t. V, p. 347î '824)]»

el, par conséquent,

rfÇ = — MmdlS [/(/•) cos(r, /)].

Les actions mutuelles cTun élément magnétique et d'un pôle d'aimant admettent un potentiel qui a pour valeur

(I) P = yLmdlf{r) cos(/-, dl).

Les aclLons mutuelles d^un aimant quelconque et d'un pôle d^aimant admettent un potentiel, qui s'obtient en faisant la somme des potentiels de chacun des éléments magnétiques sur le pôle.

Posons

'<? =^f{r)cos(r,l)mdl,

le signe \! indiquant une sommation qui s'étend à tous les éléments magnétiques qui composent un aimant. La fonction \*>, définie par cette égalité, est ce qu'on nomme la fonction potentielle magnétique de l'aimant au point A.

Le potentiel mutuel de Faimant et d'une masse magnétique M, placée au point A, a alors pour valeur

On voit qu'un élément magnétique ne figure, dans l'expression de la fonction potentielle, que par la direction / et la valeur du produit mdL

La direction / ou ba est ce que Ton nomme la direction de V aimantation en un point de Vêlement,

Le produit mdl est ce que l'on nomme le moment magnétique de Vêlement.

Soit dv le volume de l'élément, et posons

mdl — Oit dv,

d\^ est une quantité qui a, en tout point de l'aimant, une valeur finie, et que nous nommerons V intensité d'aimantation en un point.

On voit, par ce qui précède, que les actions mutuelles d'un aimant et d'un pôle extérieur à cet aimant sont complètement définies lorsque Von connaît la grandeur et la direction de Vaimantation en tout point de Vaimant.

CIIAP. 1. — PRBIIIÈRBS DÉFINITIONS. 7

Sur la ligne /, dans la direction de cette ligne, portons une longueur égale à OÏL. Soient «1>, lib, G les projections de cette grandeur sur trois axes de coordonnées rectangulaires Ox^ Oy, Oz. Ces trois quantités Jl>, ifi>, G sont les trois composantes de Vaimantation en un point de Vêlement dv.

La connaissance de ces trois quantités en tout point d'un aimant suffit à définir Taction de cet aimant sur tout pôle extérieur, car rintensité de l'aimantation est alors donnée en tout point par Tégalité

OÏL = (cl.» H- 'OV»-+-e»)«

et la direction de l'aimantation est définie par

cos(/, a:)^ ^, cos(/,^) = ^, cos(/, ^) = ^*

Ces relations permettent de donner une forme commode à la

fonction potentielle magnétique définie par Tégalité (2).

On a, en efi^et,

mdl — DïLdi^j

cos(r, /) = cos(r, x) cos(/, x) -+- cos(r,^) cos{f,y) -+- cos(r, z) cos(/, z).

Soient X, j^, z les coordonnées du point A, et Ç, r,, f les coordonnées d'un point de l'élément dç. On aura

y . àr . . dr . . dr

cos(r, x) = — —, cos(r, ^)== — j-> cos(/-, 5) = — — .

Si donc, comme nous l'avons déjà fait, on définit la fonction f{r) par l'égalité

la fonction potentielle magnétique au point A aura pour expression

(S, ^(..^,,)./[^^-^.^^^a^-lCL)]..

Dans la suite de cet Ouvrage, nous rencontrerons constamment des expressions de la forme

fi et /a se déduisant de/et gi et g2 de g par permutation tournante.

Pour abréger les formules, nous représenterons une semblable expression par

ii/^ii-

Moyennant cette notation, la formule précédente devient

dv.

D'après la formule (3), on voit qu'une masse, magnétique M, placée au point (a:, y^t z) extérieur à l'aimant, subit, de la part de cet aimant, une action dont les composantes sont

En effet, si l'on donne au pôle A un déplacement dont les composantes soient 8jr, Zy^ Ss, sans déplacer l'aimant, les actions mutuelles de l'aimant et du pôle devront effectuer un travail

Mais, d'après l'expression du potentiel mutuel de Taimant et du pôle que donne la formule (3), ce travail doit aussi avoir pour valeur

\dx

8ar

ce qui démontre l'exactitude des formules (6).

§ 3. — Potentiel mutuel de deux aimants.

Ayant le potentiel d'un aimant sur un pôle magnétique, nous pouvons trouver le potentiel d'un aimant sur un autre élément magnétique.

Soient A et B les pôles de ce dernier; soit L la direction de son axe magnétique; soit dh la distance BA. l^e point A a pour

coordonnées r, y^ s, et le point B (a: — -^ rfL] j (y — ^ rfL),

CHAP. 1. — PRElIlêRBS DÉFINITIONS. 9

(z — -,,- rfL)- Les deux pôles A et B renferment des masses magnétiques M et — M.

Soit rfr' un élément de volume de raimant; soient (x'y y'^ z') un point de cet élément; fX^, iJV, C' les composantes de Taimanlation en ce point; r la dislance de ce point au point A; r^ la dislance de ce point au point B.

D'après les égalités (3) et (5), Taimant et le pôle A onl un potentiel mutuel

"'"fh'-'Pi

dv'.

De même, Taimant et le pôle B ont un potentiel mutuel

Mais on a

MdL=zDTidv,

dv étant le volume de l'élément et OÏL son aimanlation.

Le potentiel mutuel de l'aimant v^ et de Télément dv a donc pour valeur

dv'.

Cette expression peut se transformer de diverses façons. On a

fà II ,,<)<?(r)

, , ^ dx à

~ dL dx

dL ôyj II ôx

dz d /-.l d^ir) dl d^J In "ài'^

dv'

dv\

ce qui peut encore s'écrire, d'après l'égalité (5), en désignant par '^'Ix^yy z) la fonction potentielle de l'aimant p'au point (^,j% 5),

Il li -v ^'

dç' =

dx &<?l dl dx

On a, d'ailleurs,

OÏL ^ = oH,, OR/ T> = -^ft», OÏL -jT = <^,

dz dl

lo LIVRE VII. - LES FORCES MAGNÉTIQUES.

en sorte que Tégalité (7) peut s'écrire :

di\

On voit aussi, d'après les calculs précédents, que l'on peut écrire

Ces formules trouvées, on obtient aisément, par sommation, le potentiel des actions mutuelles d'un aimant ^^ et d'un autre aimant v'. D'après la formule (8), ce potentiel peut s'écrire

( it»)

dv.

Il est évident, par raison de symétrie, que l'on peut aussi bien

1» ' écrire

(10 bîs)

=/ll - £■

dv'.

La forme symétrique de ce potentiel est en évidence dans l'expression que l'on obtient en partant de la formule (9)

oy ox oy ây ày oz

dzdx

OZ oy az oz J

Cette dernière formule renferme les lois des forces qui s'exercent entre deux aimants de forme quelconque. Elle nous montre que toutes ces lois peuvent être regardées comme les conséquences de la définition suivante, que nous conserverons désormais à l'exclusion de toute autre, comme définition des aimants :

Un aimant est défini par la connaissance d^une certaine grandeur géométrique, V aimantation, affectée à chacun des points de sa masse.

Les actions mutuelles de deux aimants rigides admettent un potentiel donné par l'une quelconque des trois formules équivalentes (lo), (lo his) et (il); f ('0 ^^^ ^^^ fonction de r, dont la forme sera déterminée ultérieurement.

Tout ce qui précède cette définition doit être regardé comme une simple introduction à cette définition.

§ 4. — Forces qui agissent sur un aimant rigide.

Un aimant rigide s? est soumis à Faction d'un certain nombre d'autres aimants. Les actions qu'il subit peuvent toujours- se réduire à une force (X, Y, Z) appliquée en un certain point O de l'aimant, et à un couple (L, M, N). On peut aisément calculer cette force et ce couple lorsqu'on connaît la fonction potentielle magnétique \'/ des aimants agissants.

Prenons le point O pour origine des coordonnées et nous trouverons, en faisant usage du principe des vitesses virtuelles et de la formule (lo),

ày àx

=-/(lh^

dx dxdz

llî>

}ih

dx dy dzây

lîAo

dxdy

^dK>,

dx dz dy dz

tO)

dt?'

dxdy

àx^ r / J \ dy dx J

'^o ~ r- Il J? lûfl'

dxdz d^V

Ces formules permettront, en toutes circonstances, de trouver le mouvement d'un aimant rigide soumis à l'action d'aimants don-

nés et de forces étrangères données.

12 LIVRE Vil. — LES FORCES MAGNETIQUES.

J 5. — Actions d'aimants éloignés. Moment magnétique.

Nous terminerons ce Chapitre par deux propositions relatives à Faction d^un aimant très éloigné sur un pôle d^aimant et aux actions mutuelles de deux aimants très éloignés. Ces propositions nous seront utiles au Chapitre suivant.

Le potentiel d'un aimant sur un pôle d'aimant M est donné par les formules (3) et (5). Supposons le pôle d'aimant M extrêmement éloigné de l'aimant. Soit p la distance d'un point O (i, 7), ^), intérieur à l'aimant, au pôle M. Le terme principal du potentiel sera

Posons

La formule précédente pourra s'écrire

p = -»/Wa|.b| + c|)

Si l'on compare cette formule à la formule (i), on arrive à la proposition suivante :

Pour calculer les actions mutuelles d^un aimant et d'un pôle d* aimant très éloignés l'un de l^ autre, on peut remplacer Calmant par un élément magnétique situé en un de ses points et dont le moment magnétique serait la grandeur géométrique (A., B, C), définie par les égalités (i3).

La direction de la grandeur géométrique (A, B, C) porte le nom à^axe magnétique de l'aimant; sa grandeur est le moment ma^ g né tique de V aimant.

Le potentiel mutuel de deux aimants est donné par l'égalité (i i)* Supposons ces deux aimants très éloignés. Soit p la distance d'un point O ($, 71, Ç) du premier à un point 0'($', tj', 'CJ) du second. Définissons encore A, B, C par les égalités (i3) et posons de même

X':=Çx'dv\ B'=Ajyrfp', C'^fe'dv'.

CHAP. I. — PREMIERES DÉFINITIONS. l3

Le terme principal du potentiel mutuel des deux aimants sera

A V ^l2il^ ^ AB' ^'?^°^ ^ AC ^^ ?(?^

L'action mutuelle de deux aimants très éloignés est la même que V action de deux éléments magnétiques dont chacun serait situé à V intérieur d^un de ces aimants et aurait même moment magnétique et même direction d^axe magnétique que cet aimant.

wCj^^.

l\ LIVRE VII. — LKS FORCES SIAGNÊTIQL'ES.