LE PROBLÈME DÉRIVÉ DE LEJEUNE-DIRICHLET
§ 1. — Le problème dérivé de Lejeune-Dirichlet pour les cylindres.
Nous avons vu que la détermination, d'après les données expérimentales, de la distribution magnétique fictive équivalente à un aimant plein conduisait à résoudre, pour l'espace extérieur à cet aimant, le problème dérivé de Lejeune-Dirichlet. Ce problème s'énonce de la manière suivante :
Soit S la sur/ace de l^ aimant; soit N<. la normale extérieure à cette surface; on demande de trouver une fonction t?, harmonique dans tout l^ espace extérieur à la surface S, se comportant à l^ infini comme une fonction potentielle et telle que
-jj^ prenne sur la surface S des valeurs données finies, variables
dUine manière continue.
Il serait désirable que l'on eût, pour résoudre ce problème, des méthodes aussi puissantes que celles qui ont été créées pour résoudre le problème même de Dirichlet. Malheureusement, il s'en faut bien qu'il en soit ainsi, et l'on ne sait résoudre le problème en question que dans quelques cas assez particuliers.
Supposons, en premier lieu, que l'aimant ait la forme d'un cylindre pratiquement très long et théoriquement illimité, dont les génératrices sont parallèles à l'axe des 5, et admettons que l'aimantation de cet aimant soit la même en tout point d'une ligne quelconque parallèle à l'axe des z. La fonction potentielle magnétique "Ç sera alors indépendante de z.
Soit L le contour de la section du cjlindre par le plan XOY.
CIIAP. V. — LE PROBLÈME DÉRIVÉ DE LEiBUNB-DIRICHLET. 67
Soit Ne la normale à la courbe L vers rexlérieur de l'aire limitée par celte courbe. Le problème proposé se réduira alors à celui-ci :
Trouver une /onction t? des deux variables x et y, harmonique en tout point de Vaire plane illimitée extérieure à la courbe L, se comportant à V infini comme une fonction poten-
tielle et telle que -r^ prenne j en tout point de la courbe L, des
valeurs données , finies, variables d'une manière continue.
Ce problème n'est autre chose que le problème dérivé de Lejeune-Dirichlet, réduit au cas de deux variables.
Or, dans ce caSy si l'on sait résoudre le problème de Lejeune- Dirichlet pour l*aire illimitée extérieure à la courbe L, on sait, pour la même aire, résoudre le problème déris^é de Lejeune-Dirich let ,
Q)mmençons par déterminer une fonction v{x^y)^ harmonique en tout point de Taire illimitée extérieure à la courbe L, se comportant à rinfini comme une fonction potentielle, et prenant en tout point de la courbe L une valeur constante et positive donnée a. On sait faire cette opération puisque, par hypothèse, l'on sait résoudre le problème de Lejeune-Dirichlet pour la région extérieure à la courbe L.
Considérons les deux familles de courbes
ç = const., u = const.,
les courbes de la seconde familUe étant les trajectoires orthogonales des courbes de la première famille. Ces deux familles de courbes forment un système de coordonnées curvilignes orthogonales. Dans ce système, l'élément linéaire est représenté par l'expression
 et B étant deux fonctions positives de u et de \?, D'après ce qui a été démontré ailleurs (Livre V, Chap. V, § 2), le système de coordonnées orthogonales dont il s'agit forme un système isotherme, en sorte que l'on a
A = F(M, i;)/(a), B = F( a, 1^)^(0, F(tt, i?), /(m), g{v) étant trois fonctions positives.
38 LIVRE Vil. — LES FORCES M.IGNKTIQUES.
D'après les principes exposés ailleurs (Livre II, Cliap. V1I,§ 1), Téquation
deviendra, dans le nouveau système de coordonnées,
ou bien
du\B du)^ dv\\ Ov)~^
Prenons deux nouvelles variables a, p, liées respeclivemenl ù // el V par les relations
La fonction F(</, r) deviendra *(a, [i). Le carré de l'élémenl linéaire aura pour nouvelle expression
L'équation qui exprime que la fonction \'^ est harmonique deviendni simplement
da»
c)fi
D'ailleurs les deux familles de lignes coordonnées
a = const., p = const.
coïncideront respectivement avec les familles de lignes
Si l'on pose
u = consl., V = const,
K= f f{u)du,
la ligue L sera représentée par l'équation
Ges préliminaires posés, nous remarquerons en premier lieu que,
