CHAP V. — LE PROBLEME DÉRIVÉ DE LEJEUNE-DIRICHLET

si la fonction \*> vérifie l'équation (2), la fonction V)(Xjy) définie par

V) ^ ^ Ot.

vérifiera aussi cette même équation. Celte fonction est donc harmonique dans la région extérieure à la courbe L.

Nous remarquerons en second lieu qu'on a, en lout point de la courbe L,

ou bien

I^a fonction t) prend donc, en tout point de la courbe L, des valeurs qui peuvent être regardées comme données.

La fonction X!) sera alors déterminée en résolvant le problème de Lejeune-Dirichlet pour la région extérieure à la ligne L-

Une fois la fonction V connue, on obtiendra la valeur de la fonction "v;^ en un point de coordonnées a, (3, par la formule

en sorte qu'une quadrature achèvera la solution du problème.

tj 2. — Le problème dériTé de Lejeune-Dirichlet pour la sphère.

Dans le cas où deux variables seulement figurent dans la question, le problème dérivé de Lejeune-Dirichlet se ramène, comme nous venons de le voir, au problème de Lejeune-Dirichlet. Cette réduction repose essentiellement sur la possibilité de faire figurer le contour de Taire étudiée au nombre des lignes qui composent un système divisant le plan en carrés infiniment petits.

Une réduction analogue s'opérerait dans l'espace si la surface de Taimant pouvait faire partie d'un système triplement orthogonal divisant l'espace en cubes infiniment petits.

Dans quel cas la surface de l'aimant possédera-t-elle une semblable propriété ?

Le système classique des coordonnées rectangulaires forme un système divisant l'espace en cubes infiniment petits; ce système correspond au cas où Taimant a la forme d^une plaque théoriquement illimitée, comprise entre deux plans parallèles.

Dans ce cas, si Ton suppose que Tune des faces de la plaque soit formée par le plan XOY, Taimant étant situé au-dessous de ce plan, on commencera par déterminer une fonction X)(x^y^ z), harmonique dans tout l'espace situé au-dessus du plan XOY, se comportant à Finfini comme une fonction potentielle, et prenant aux divers points du plan XOY des valeurs égales aux valeurs

de -r; données par l'expérience. Gela fait, la fonction t? sera déterminée en tout point de l'espace considéré par la formule

\*^=— r V)dz.

Peut-on trouver un autre système triplement orthogonal divisant l'espace en cubes infiniment petits ? Si l'on remarque qu'un semblable système constituerait une représentation conforme du premier et si l'on se souvient du théorème démontré par Liouville (Livre II, Chap. VIII, § 3), on voit qu'un semblable système doit se déduire du précédent par inversion. Un plan se transformant en sphère par inversion, nous arrivons à cette conclusion que la méthode par laquelle, dans le cas de deux variables, on ramène le problème dérivé de Dirichlet au problème de Dirichlet, est applicable à l'espace extérieur à une sphère, mais non à une autre forme d'espace illimité. Comme on sait résoudre le problème de Dirichlet pour l'espace extérieur à une sphère, on saura aussi résoudre le problème dérivé de Lejeune-Dirichlet pour cet espace. Voici la manière la plus simple et la plus pratique de résoudre effectivement ce problème :

Marquons la situation d'un point à l'extérieur de la sphère par sa distance r au centre de la sphère, sa longitude occidentale ^ et sa colatitude septentrionale 6.

La fonction t?, étant harmonique dans l'espace extérieur à la sphère, est développable (Livre II, Chap. VI, § 3) en série uniformément convergente ordonnée suivant les puissances croissantes